GEOMETRIA

Il nome significa… Misura della terra

Nacque…. In Egitto all’incirca nel 1000 A.C. Per ripristinare i confini delle terre coltivabili dopo le inondazioni del Nilo

Infatti … Ai contadini veniva dato in gestione un appezzamento di terra che dovevano ripagare al Faraone devolvendogli una quantità del raccolto direttamente proporzionale alla grandezza del terreno affidato. Per questo era importante, dopo un’inondazione, saper ricostruire i confini dei vari appezzamenti di terra.

Per realizzare questo obiettivo c’erano… Gli agrimensori (misuratori di terra), che tramite l’uso delle corde sapevano tracciare rette e cerchi. Loro sono stati i primi geometri della storia

Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti NILO punto in cui voglio disegnare l’angolo retto punto scelto a caso

Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti NILO RADDOPPIAMO LA LUNGHEZZA DELLA CORDA PROSEGUENDO LA STESSA DIREZIONE DELLA PRIMA

Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti NILO PRENDIAMO UNA CORDA PIU’ LUNGA FISSIAMO UN’ESTREMITA’ E LASCIAMO LIBERA L’ALTRA

Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti NILO FACCIAMO LO STESSO USANDO COME PUNTO FISSO. SI OTTIENE

Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti NILO TIRANDO LA CORDA DAL PUNTO SCELTO ALL’INTERSEZIONE DELLE DUE TRACCIE SI OTTIENE L’ANGOLO RETTO.

Geometria Euclidea La geometria che noi studieremo è la Geometria Euclidea in onore al matematico e scienziato greco vissuto nel terzo secolo A.C.

Scrisse GLI ELEMENTI Fondamentale opera di geometria che racchiudeva tutti i risultati ottenuti fino ad allora

Ma quindi esistono anche Geometrie non Euclidee? Sì. La geometria Euclidea è ottima per studiare oggetti posti in un piano. Esistono altre geometrie che sono più indicate per lo studio di oggetti che si muovono su superfici diverse ad esempio la sfera.

Esempio Per la geometria Euclidea la via più breve per congiungere due punti è sempre la linea retta:

Ma questo non è più ovviamente vero per un aereo che viaggia fra due città.

Purtroppo… Le Geometrie non Euclidee non fanno parte del nostro piano di studi

I concetti Primitivi Si definisce concetto primitivo (o anche ente primitivo) un concetto che non si può spiegare meglio del significato intuitivo che ha. Gli enti primitivi sono le fondamenta su cui si basa il nostro “edificio geometrico” e sono:

ENTI PRIMITIVI Il punto La retta Il piano

Da un punto e una retta nasce … LA SEMIRETTA (ha un inizio e non una fine)

Da due punti e una retta nasce… Il segmento. Definizione di segmento: la porzione di retta compresa fra due punti

Osservazioni La semiretta ha un inizio e non una fine. Adatta quindi a rappresentare graficamente l’insieme dei numeri Naturali: 0 1 2 3 4 L’insieme dei numeri interi invece non ha un inizio né una fine. Per rappresentarlo graficamente si usa una retta -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Da due semirette aventi la stessa origine … Definizione: L’ angolo è la porzione di piano compresa fra due semirette aventi la stessa origine

Angoli “famosi” Se le due semirette sono sovrapposte si ottiene l’angolo giro (che coincide con tutto il piano)

Angoli “famosi” stessa retta) si ottiene l’angolo piatto Se le due semirette sono opposte (cioè giacciono sulla stessa retta) si ottiene l’angolo piatto

Angoli “famosi” L’angolo retto (metà dell’angolo piatto)

Angoli acuti e ottusi Un angolo contenuto in (minore di) un angolo retto si dice angolo acuto Un angolo contenente (maggiore del) l’angolo angolo ottuso

Unità di misura dell’angolo L’unità di misura dell’angolo è il grado. Si definisce un grado (simbolo °) la 360esima parte dell’angolo giro Di conseguenza: un angolo giro misura 360° un angolo piatto misura 180° un angolo retto misura 90° L’angolo si misura con il goniometro

Rette parallele, incidenti, perpendicolari Definizione: due rette si dicono parallele se non si intersecano mai Definizione: due rette non parallele si dicono Incidenti Definizione: due rette incidenti si dicono perpendicolari se formano 4 angoli retti

Angoli opposti al vertice Se abbiamo due rette incidenti gli angoli si dicono opposti al vertice. Così come sono opposti al vertice gli angoli

Teorema: angoli opposti al vertice sono uguali Ipotesi: a e b opposti al vertice Tesi: a=b a g b Sia g l’angolo in figura. Si osserva che a e g insieme formano un angolo piatto. Ma anche b e g formano un angolo piatto, quindi risulta che g+a=180° e anche g+b=180°. Ne segue che a=b

Il punto medio Definizione: si definisce punto medio di un segmento AB, il punto M tale che AM=MB A B M

Problemi con il punto medio Si consideri il segmento AB. Si prolunghi dalla parte di A di un segmento CA e dalla parte di B di un segmento BD tale che BD=CA. Si dimostri che il punto medio M del segmento AB è anche il punto medio di CD.

Formuliamo ipotesi (i dati) e tesi (ciò che vogliamo dimostrare) Hp: AM=MB (perché M è punto medio di AB) CA=BD Th: CM=MD (perché vogliamo dimostrare che M è punto medio anche di CD) Risolvo: CM=CA+AM=BD+MB=MD Quindi CM=MD. c.v.d.

Figure aperte chiuse intrecciate Figura chiusa Figura aperta Figura chiusa Figura aperta non intrecciata non intrecciata intrecciata intrecciata DEFINIZIONE DI POLIGONO: un poligono è una figura chiusa non intrecciata il cui bordo è formato solo da segmenti detti lati

I triangoli Definizione: Il triangolo è un poligono di 3 lati

Classificazione dei triangoli (secondo i lati) Triangolo equilatero (3 lati e 3 angoli uguali) Triangolo isoscele (2 lati e 2 angoli uguali) Triangolo scaleno (angoli e lati tutti diversi)

Teorema La somma dei gradi degli angoli di un triangolo è sempre 180. PROBLEMI Un triangolo scaleno ha un angolo di 55° ed un altro di 45°. Determinare il terzo angolo Un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 50°. Determinare l’angolo alla base Determina gli angoli di un triangolo equilatero

Altezza di un triangolo Definizione: l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso, che congiunge il vertice opposto con il lato (od un suo prolungamento) Osservazione: ogni lato ha la “sua altezza” pertanto ogni triangolo ha 3 altezze

Esempio L’altezza relativa al lato AB è il segmento CH L’altezza relativa al lato BC è il segmento AK L’altezza relativa al lato CA è il segmento BL

Osservazione Si può verificare che il prodotto dell’altezza relativa al lato moltiplicato per il lato stesso non cambia, cambiando il lato. Quindi:

Altezza di un triangolo (altri esempi) Qual è l’altezza relativa al lato AB? Nel caso di un triangolo rettangolo, l’altezza relativa ad un lato “accanto” all’angolo retto coincide con l’altro lato “accanto” all’angolo retto. Quindi l’altezza relativa ad AB coincide con CA

Altezza di un triangolo (altri esempi) Qual è l’altezza relativa al lato AB? Nel caso di un triangolo ottusangolo, l’altezza relativa ad un lato “accanto” all’angolo ottuso “cade” fuori dalla base finendo sul prolungamento di AB.

I PARALLELOGRAMMI Definizione: i parallelogrammi sono poligoni di 4 lati (quadrilateri) con i lati opposti paralleli Caratteristiche: i lati opposti sono uguali Gli angoli opposti sono uguali Le diagonali si tagliano a metà

Parallelogrammi con tutti i lati uguali Definizione: un parallelogramma con 4 lati uguali si dice rombo. Più conosciuto sotto questa forma

Parallelogrammi con tutti gli angoli uguali Definizione: un parallelogramma con 4 angoli uguali si dice rettangolo.

Parallelogrammi con tutti gli angoli uguali e tutti i lati uguali Definizione: un parallelogramma con 4 angoli uguali e 4 lati uguali si dice quadrato.

Il trapezio Definizione: un quadrilatero con una sola coppia di lati opposti paralleli si dice trapezio. Dei due lati paralleli il maggiore si chiama base maggiore e il minore si chiama base minore Esistono tre tipi di trapezio: isoscele, rettangolo e scaleno

Trapezio isoscele Base maggiore altezza base minore Questo trapezio si dice isoscele perché ha i 2 lati non paralleli uguali

Trapezio rettangolo Questo trapezio si chiama rettangolo perché ha 2 angoli retti

Trapezio scaleno Tutti i lati e tutti gli angoli sono differenti fra loro

Il calcolo delle aree Il rettangolo. Area del rettangolo: lato maggiore x lato minore (o come spesso si dice base x altezza) Il significato di questa formula è evidente. Tramite questa determineremo la formula delle aree degli altri poligoni

Il calcolo delle aree Il quadrato. Area del quadrato = lato x lato (cioè lato²)

Il calcolo delle aree Il triangolo. Osservazione: una diagonale taglia un rettangolo in due parti uguali (quindi della stessa area) La parte blu è uguale alla parte bianca

Il calcolo delle aree. Il triangolo Nel triangolo in figura consideriamo l’altezza relativa al lato AB e chiamiamola CH Disegniamo un rettangolo ABDE che ha la stessa base del triangolo e la stessa altezza

Il calcolo delle aree. Il triangolo Il lato CA è diagonale del rettangolo CEAH e lo divide a metà: metà sta dentro il triangolo. Metà sta fuori. Lo stesso vale per il lato BC e il rettangolo HBDC.

Area del triangolo Quindi il rettangolo è diviso in due parti di uguale area. Una parte è il triangolo L’altra parte è quella che sta fuori del triangolo. Quindi l’area del triangolo è uguale a metà dell’area del rettangolo.

Area del triangolo Ma l’area del rettangolo è ABxEA, quindi, dato che DA=CH, si può scrivere come ABxCH. Essendo l’area del triangolo la metà di quella del rettangolo risulta che l’area del triangolo ABC è (ABxCH):2 Il famoso “base per altezza diviso 2”

L’area del rombo DB e AC sono le diagonali del rombo Costruiamo il rettangolo EFGH con base e altezza uguali alle diagonali del rombo

L’area del rombo Le diagonali del rombo dividono il rettangolo in 4 parti uguali A loro volta i lati del rombo dividono in due parti uguali ciascuna di queste parti

L’area del rombo Di conseguenza l’area del rombo è metà di quella del rettangolo Essendo l’area del rettangolo HExEF o anche DBxAC, L’area del rombo risulta DBxAC:2 Cioè diagonale minore x diagonale maggiore diviso 2

L’area del trapezio Prendiamo per esempio un trapezio rettangolo (ma la formula varrà per ogni trapezio) AB è la base maggiore (simbolo B) DC è la base minore (simbolo b) DA (e anche CH) è l’altezza (simbolo h)

L’area del trapezio Si osserva che il trapezio è formato dal rettangolo AHCD più il triangolo HBC. Quindi: Area trapezio = area rettangolo AHCD + area triangolo HBC

L’area del trapezio Area del rettangolo Area del triangolo Area trapezio=

La geometria e il calcolo letterale La geometria è una buona applicazione del calcolo letterale. Ad esempio: Il perimetro di un triangolo di lati 2m, 3m e 5m è Perimetro=2m+3m+5m=10m Il perimetro di un quadrato di lato 6m è Perimetro=4x6m=24m L’area del rettangolo di lati 3m e 5m è Area =3m x 5m = 15m²