Lezione 3: Esempi di sistemi LTI tempo-discreti Ing. Raffaele Carli (email: r.carli@poliba.it) Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 28 ottobre 2013

Sommario Sistemi LTI discreti: Esempi di sistemi del I ordine Piano di ammortamento Esempi di sistemi del II ordine Andamento del PIL Samuelson

Esempio 1 – Sistema discreto I ordine Piano di ammortamento con rate costanti Richiami teorici Al tempo k = 1 viene erogato un mutuo d’importo C la somma è restituita in rate di importo u(k), pagate a partire dal tempo k = 1 r è il tasso d’interesse costante con il quale viene calcolato l’interesse sul debito residuo Risoluzione analitica Bla bla bla Variabile di stato: x(k) : debito residuo prima del versamento k Condizione iniziale: x(1) = C 𝑥 𝑘+1 = 1+𝑟 𝑥 𝑘 −𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 =𝑥(𝑘)

Esempio 1 – Risoluzione I Piano di ammortamento Matlab CST

Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 10

Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 5

Esempio 1 – Risultati Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 1.5 * k

Esempio 1 – Risoluzione II Piano di ammortamento Matlab – metodo ad iterazioni

Esempio 1 – Risoluzione III Piano di ammortamento Blocco State-Space con Simulink

Esempio 1 – Risoluzione III Piano di ammortamento Blocco State-Space con Simulink

Esempio – Risoluzione IV Piano di ammortamento Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

Esempio 2 – Sistema discreto II ordine Modello economico di Samuelson (modello moltiplicatore-acceleratore) Richiami teorici y(k) = c(k) + i(k) + u(k) y : prodotto nazionale c : consumi delle famiglie; i : investimenti delle imprese; u : spesa pubblica c(k) = 𝜶 y(k-1) 𝜶 : propensione al consumo (dove 0<𝜶<1); 1/(1- 𝜶) : moltiplicatore i(k) = 𝛽 ( c(k)-c(k-1) ) 𝛽: acceleratore 𝑦(𝑘)=𝛼(𝛽+1)∙𝑦(𝑘−1)−𝛼𝛽∙𝑥(𝑘)−𝑢(𝑘) Risoluzione analitica Bla bla bla 𝑥 1 𝑘+1 = 𝑥 2 𝑘 𝑥 2 𝑘+1 = −𝑏∙𝑥 1 𝑘 +𝑎∙ 𝑥 2 𝑘 +𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 =𝑥(𝑘) 𝑥 1 𝑘 =𝑦 𝑘−1 𝑥 2 𝑘 =𝑦 𝑘−2 𝑎=𝛼 𝛽+1 𝑏=𝛼𝛽

Esempio 2 – Risoluzione I Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Blocco State-Space con Simulink

Esempio 2 – Risoluzione I Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Blocco State-Space con Simulink

Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 < 1/𝜶 (contrazione) 𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 1.5 ; y0 = [20 90]

Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 = 1/𝜶 (fluttuazioni) 𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 2.0 ; y0 = [20 90]

Esempio 2 – Risultati Caso 𝛽 > 1/𝜶 (crescita) 𝜶 = 0.5 ; 𝛽 = 2.5 ; y0 = [20 90]

Esempio 2 – Risoluzione II Previsione Prodotto interno lordo Samuelson Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink

Continua…

Laboratorio di Analisi dei sistemi Grazie per l’attenzione! Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione email: r.carli@poliba.it