Competenze matematiche 1 Istituto Comprensivo Capaccio Capoluogo A.S. 2013 – 2014 Scuola Secondaria Primo Grado Capaccio Classe IIIA Progetto PON Competenze matematiche 1 Esperto esterno: prof. Nicola TANCREDI Tutor: prof. ssa Antonietta De Gregorio

Articolazione del progetto Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni Rapporti e proporzioni; Studio delle equazioni ed applicazioni ai problemi. Laboratorio di geometria Costruzione e rappresentazione delle figure geometriche tramite software informatici; Simmetria, rotazione e traslazione delle figure geometriche Raccolta ed elaborazioni dei dati La probabilità; Rappresentazione informatica dei dati (utilizzo di Excel) ;Gli eventi La statistica

Laboratorio dei numeri, delle relazioni e funzioni Dai problemi alle equazioni. L’attività è centrata sulla costruzione di un modello risolutivo di una situazione problematica, partendo dalle condizioni e relazioni tra dati ed incognite e arrivando alla conseguente procedura risolutiva. Le fasi risolutive di un problema vengono presentate con delle schede passando dal linguaggio naturale, in cui sono formulati i problemi proposti, al linguaggio algebrico, giungendo a trovare un modello e la soluzione del problema. L’impostazione, la risoluzione e la verifica di problemi modellizzabili attraverso equazioni sarà fatta anche utilizzando mediatori informatici.

I Protagonisti La PROF. Federica Marcello Dario

PROBLEMA! In un allevamento ci sono polli e conigli. Le teste sono in tutto 49, le zampe sono 168. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

Federica , Marcello e Dario hanno individuato i dati Quanti sono i polli e quanti i conigli? Le zampe sono 168 Le teste sono 49 La somma degli animali è 49 (ogni animale ha una testa) La somma delle zampe è 168 (i polli hanno 2 zampe, i conigli hanno 4 zampe) 

Ok! ma l’equazione per risolvere il problema qual è? Marcello si rivolge all’amico Dario che gli traduce il problema in equazione Come incognita si può scegliere uno qualsiasi dei numeri da trovare numero di polli x Se gli animali sono in tutto 49 e x sono i polli, i conigli saranno gli animali rimanenti, cioè 49-x. numero di conigli 49-x Come procediamo? Ok! ma l’equazione per risolvere il problema qual è?

Quindi basta risolvere l’equazione? Dario scrive l’equazione Per scrivere l'equazione utilizza la seconda relazione tra i dati la somma delle zampe è 168 2·x + 4·(49-x)=168 i polli hanno 2 zampe i polli sono x i conigli hanno 4 zampe i conigli sono 49-x le zampe in tutto sono 168 Quindi basta risolvere l’equazione? Bisogna usare i principi di equivalenza

Dario, Federica e Marcello risolvono l’equazione 2·x+4·(49-x)=168 eseguiamo la moltiplicazione ed eliminiamo la parentesi 2x+196 -4x=168 portiamo al secondo membro i termini senza incognita (I Principio) 2x-4x=168-196 sommiamo i monomi simili -2x=-28 moltiplichiamo per -1 in quanto il coefficiente della x è negativo (II Principio) 2x=28 equazione in forma normale, dividiamo primo e secondo membro per 2 (II Principio) Per essere sicuri, bisogna fare la verifica! Quindi la soluzione è x=14

Soluzione e verifica delle soluzioni del problema Quanti sono i polli e quanti i conigli? I polli sono 14 I conigli sono 49-14=35 Le soluzioni trovate sono accettabili in quanto sono numeri interi positivi. Verifichiamo le condizioni richieste: 14+35 = 49  gli animali sono in tutto 49 2·14+4·35 = 28+140 = 168 le zampe sono in tutto 188  

Indovinello popolare Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?

Considera una bilancia a bracci uguali: Mantieni la bilancia in equilibrioeffettuando le seguenti operazioni. Poni un mattone su un piatto della bilancia e sull’altro piatto un peso da 1Kg e mezzo mattone.

Togli mezzo mattone da ciascun piatto della bilancia Togli mezzo mattone da ciascun piatto della bilancia. Mezzo mattone pesa? Quindi il mattone pesa?

Quindi un mattone pesa 2Kg Mezzo mattone pesa 1 Kg Bravi, ma vi ho aiutato, provate a risolverlo con le equazioni Quindi un mattone pesa 2Kg Abbiamo risolto il problema senza usare le equazioni! 

Si ottiene: x=x+1/2 Facendo il m.c.m. Usando i principi di equivalenza si ha: 2x-x=2 x=2 Indichiamo con x il peso del mattone Cioè un mattone pesa 2 kg. Bravi, adesso indicate con x il peso di mezzo mattone cosa ottenete?

Si ottiene: 2x=x+1 Usando i principi di equivalenza si ha: 2x-x=1 x=1 Indichiamo con x il peso di mezzo mattone Quindi un mattone pesa 2 Kg (come avevamo già trovato) Cioè mezzo mattone pesa 1 kg. Bravi, come avete visto si può scegliere l’incognita in modo diverso (“opportuno “)ma il risultato non deve cambiare

La probabilità Il disco della variabilità In questo percorso didattico, pensato per la terza classe della scuola secondaria di primo grado, si vogliono consolidare i concetti base della matematica dell’ incerto ed ampliare la capacità di applicazione dei medesimi, a contesti tratti dalla genetica che usualmente viene trattata nelle scienze. Dalla riflessione sulla variabilità degli individui si sollecitano i ragazzi a svolgere una serie di attività nelle quali si utilizzano facili modellizzazioni e strumenti di rappresentazione diversi per fare considerazioni probabilistiche su situazioni tratte dalla vita reale.

Abbiamo osservato la scheda ricevuta e dopo attenta lettura della legenda dei simboli, partendo da centro del disco abbiamo colorato ognuno il proprio percorso ed annotato, scegliendo per ogni disco concentrico le proprie caratteristiche. Questa rappresentazione è stata usata molte volte a Scuola Città Pestalozzi, ma è di origine ignota, probabilmente è presa da qualche vecchio libro di testo di scienze.

Nel disco della variabilità secondo alcuni caratteri somatici del fenotipo, i simboli usati sono da leggere come indicato sotto: T = capelli scuri t = capelli chiari E = pigmentazione dell‟occhio e = mancanza di pigmentazione (bruno, verde, nocciola) (azzurro) M = naso a narici larghe m = naso a narici strette L = lobi auricolari sporgenti l = lobi auricolari aderenti R = lingua arrotolabile r = lingua non arrotabile B = mento con fossetta b = mento senza fossetta H = capelli ricci h = capelli lisci

Ci siamo trovati a dover decidere se il nostro fenotipo (insieme dei caratteri manifesti) poteva essere rappresentato da uno o l’ altro dei simboli? Il tipo di rappresentazione richiede di rispondere ogni volta: il carattere è presente oppure no, non si possono esprimere qualità intermedie. Quale modello matematico può essere adatto a rappresentare questa costruzione? Siamo di fronte ad una situazione che ha una natura binaria SI/NO, identica a quella che si riscontra nel lancio di due monete.

Se lanci due monete hai 4 possibilità TC,CT,TT,CC ossia 22 Se lanci 3 monete hai 8 possibilità TCT, TCC, CTT,CTC, TTC,TTT,CCT,CCC ossia 23 (basta aggiungere alle coppie precedenti ogni volta sia T sia C). Quante possibilità avremo con 4 monete? Abbiamo bisogno bisogno di scrivere tutto o possimao fare subito il calcolo perché abbiamo scoperto la regola? Saranno proprio 24. Perché i numeri sulla circonferenza arrivano proprio a 128 considerato che i dischi concentrici sono 7? Allora il modello per il nostro disco dei caratteri è appunto lo stesso del lancio di monete: 27 =128

Grazie per l’attenzione!