Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Napoli

Pitagora utilizzando… …l’inversione circolare

Euclide e “Gli Elementi” Negli Elementi Euclide parte da postulati formula proposizioni le dimostra utilizzando postulati o proposizioni precedentemente dimostrate. Alla fine del Primo libro Euclide dimostra il teorema di Pitagora con una serie di equivalenze di figure, senza utilizzare i concetti di rapporto e di proporzione. 3

Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Allora: TEOREMA DI TOLOMEO Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Allora: AB * CD + BC * AD = AC * BD.

Trasformazioni del piano Una trasformazione del piano è un’applicazione biunivoca del piano in sé. Un’importante trasformazione del piano è l’isometria che conserva le distanze tra i punti. Si può provare che manda rette in rette e conserva il parallelismo.

Inversione Circolare Assegnata, nel piano euclideo, una circonferenza Γ di centro O e raggio r, si definisce inversione circolare rispetto a Γ la trasformazione fΓ che associa ad ogni punto P del piano, distinto da O, il punto P’ appartenente alla semiretta OP e tale che il prodotto delle distanze di P e P’ da O sia uguale a r², cioè: OP*OP' = r². Osserviamo che fΓ non è una trasformazione del piano, ma del piano privato del punto O, e in tale sottoinsieme è biunivoca. fΓ non è una isometria. 6

L’Inversione Circolare gode delle seguenti PROPRIETA’: Una circonferenza passante per O si trasforma in una retta non passante per O Una circonferenza non passante per O si trasforma in una circonferenza non passante per O Una retta non passante per O si trasforma in una circonferenza passante per O privata del punto O Una retta passante per O si trasforma in se stessa È involutoria

Dove vanno le circonferenze passanti per il centro? Nel 1864 Peaucellier costruisce un apparecchio e riesce a verificare l’importante proprietà: una circonferenza Ω passante per il centro O di una inversione circolare rispetto a Γ viene mandata da fΓ nell'asse radicale delle due circonferenze Γ e Ω. Si costruisce la circonferenza Γ di inversione di centro O. Si disegna la circonferenza Ω passante per O e si applica l’inversione circolare ad un suo qualsiasi punto P, ottenendo P'. Al variare di P sulla circonferenza Ω, P’ descrive una retta: l'asse radicale delle due circonferenze. 

Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 1) Lemma: siano P',Q' le controimmagini di P,Q. Allora: P'Q' = PQ * r² /(OP*OQ) Dim: dalla definizione di inversione e da uno dei criteri di similitudine segue che i triangoli OPQ e OP’Q’ sono simili. Si ha quindi P’Q’:PQ=OQ’:OP. Sapendo che OQ’ = r² /OQ, segue la tesi. 9

Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 2) Consideriamo un generico quadrilatero OABC inscritto nella circonferenza Ω, e l’inversione circolare di centro O associata ad una circonferenza Γ, di centro O e raggio r. Indichiamo con A’, B’, C’ le immagini di A,B,C mediante l’inversione assegnata. Le immagini sono allineate, in particolare: A'B' + B'C' = A'C'. 10

Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l’Inversione Circolare (parte 2) Utilizzando il Lemma precedentemente dimostrato, l’uguaglianza assume la seguente forma: Moltiplicando tutti i membri per OA*OB*OC, segue la tesi.

...E ora? Teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti di un triangolo rettangolo ABC è pari al quadrato dell'ipotenusa. Dimostrazione: costruisco un punto D tale che ABCD sia un rettangolo, che è un quadrilatero inscritto in una circonferenza. La tesi segue immediatamente dal teorema di Tolomeo: infatti, tenendo conto del fatto che AB=CD, BC=AD e AC=BD, segue che: 12

Bibliografia Appunti e dispense distribuite nel laboratorio PLS, prof.ssa S. Dragotti; R. Courant e H. Robbins, Che cos’è la matematica, casa editrice Universale Bollati Boringhieri; http://kchico.wordpress.com/2010/04/06/linversione-circolare/; http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/geomeccan0.php?id=5;

Liceo Scientifico “Renato Caccioppoli” Napoli Grazie per l’attenzione