Alla ricerca dellA simmetria Liceo Scientifico “Filippo Silvestri” Portici Piano lauree scientifiche Matematica e Statistica 2013-2014

Indice Introduzione Trasformazioni del piano Natura Musica Arte

Introduzione Lo studio della simmetria è un modo per accostarsi alla bellezza, una misura di essa fondata su proporzionalità ed equilibrio. Allo stesso modo costituisce un assunto fondamentale nello studio del mondo che ci circonda, come accade nel caso della meccanica quantistica. Esistono infinite simmetrie e il loro studio costituisce un elemento fondamentale nel variegato panorama della matematica contemporanea. Filo conduttore di questo nostro impegno progettuale è stato lo studio della simmetria affrontato come chiave di lettura delle molteplici e composite esperienze che ciascuno di noi, talvolta, senza nemmeno averne certezza, affronta nella vita di tutti i giorni. La matematica, infatti, come diceva Galileo Galilei, è ‘’l’alfabeto con cui Dio ha scritto l’Universo’’ e poiché la curiosità è l’arte che unisce l’uomo alla sua ricerca, la simmetria altro non può essere che l’esperienza viva dell’armoniosa ricerca, della «grande bellezza» dentro e fuori di noi.

Trasformazioni del piano Una trasformazione f del piano è una applicazione biunivoca del piano euclideo E2 in sé, dove per biunivoca si intende che f associa punti distinti a punti distinti ed è tale che ogni punto del piano è immagine di un altro punto. In altre parole f ammette un’applicazione inversa. Tra le trasformazioni più importanti troviamo le trasformazioni lineari (affinità) caratterizzate algebricamente dalla proprietà che le funzioni componenti sono funzioni lineari ovvero polinomi di grado minore o uguale a uno, del tipo sotto indicato con la condizione che a1b2 - a2b1 sia non nullo per garantire la biunivocità:

Un’isometria (o simmetria) del piano è una trasformazione h del piano che conserva le distanze, cioè la distanza tra due punti qualsiasi A e B coincide con la distanza dei loro trasformati h(A) e h(B). Un’isometria è un’affinità, di conseguenza si rappresenta allo stesso modo con qualche condizione aggiuntiva che traduce l’ulteriore proprietà imposta. Tra le isometrie ricordiamo la traslazione, trasformazione t del piano caratterizzata dalla proprietà che il segmento congiungente un punto e la sua immagine ha lunghezza, direzione e verso fissati.

Tra le isometrie che presentano più applicazioni visibili nel mondo reale vi sono: Simmetria centrale La simmetria centrale di centro O è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che O è il punto medio del segmento PP'. Considerando la proprietà delle coordinate del punto medio, possiamo dedurre che la rappresentazione di una simmetria di centro il punto di coordinate (x0, y0) è:

Simmetria assiale La simmetria assiale di asse una retta r è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P' tale che il segmento PP' sia perpendicolare all'asse r e il punto medio M di PP' appartenga ad r. Per simmetria di una figura piana F intendiamo una isometria del piano che trasforma F in F. Dire che una figura F è più simmetrica di un’altra F’ vuol dire che le simmetrie di F in sé sono di più delle simmetrie di F’ in sé. Ad esempio, diremo che un quadrato è più simmetrico di un triangolo equilatero perché le simmetrie del quadrato in sé sono otto, mentre quelle del triangolo equilatero in sé sono sei. Più simmetrico di questi due è l’esagono regolare che presenta dodici simmetrie.

Natura Fiocchi di neve  I cristalli di neve hanno una forma molto simmetrica. Sembrano tutti uguali ma in realtà sono diversi per motivi di aggregazione molecolare. Molti avranno sentito dire che non esistono in natura due fiocchi di neve identici, come non esistono due persone uguali. Ma è vero? Simbolo di unicità irripetibile e singolarità, i fiocchi di neve sono davvero unici, come lo sono tutti gli esseri viventi, esseri umani compresi. Siamo come i cristalli di ghiaccio che formano i fiocchi di neve, apparentemente uguali ma solo se visti da lontano.

Alveare Le api raccolgono il miele in celle tutte uguali, piccoli prismi a base esagonale. La scelta di questa figura simmetrica come base non è casuale e segue dei criteri: - Non lasciare spazi vuoti; - Usare minima quantità di cera per ottenere la massima raccolta di miele. Usare celle con base un cerchio (la figura più simmetrica di tutte) comporterebbe uno spreco di spazio. Bisogna allora servirsi di poligoni regolari.

Broccolo romanesco Il broccolo romanesco ha una strana conformazione fisica; invece è semplicemente uno straordinario esempio di simmetria frattale naturale. In geometria un 'frattale' è un complesso modello, in cui ogni parte ha la stessa 'forma’ del tutto, e ciò ripetuto all'infinito. Ingrandendo una sezione dell’oggetto, la forma/modello geometrico è sempre la stessa e si ripete all'infinito. In altre parole un frattale si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse. Nel broccolo romanesco ogni singolo fiore ha lo stesso 'disegno' dell'intero broccolo, solo in formato più piccolo. L'intero broccolo è una grande spirale, composta a sua volta da tante mini spirali della stessa forma della spirale principale.

Musica Da secoli, in musica, la simmetria è uno strumento molto usato dai compositori. A volte ciò avviene su piccola scala, come quando in una fuga di Bach un arpeggio viene ripetuto prima dal basso verso l’alto e subito nella battuta successiva dall’alto verso il basso. Altre volte invece avviene su larga scala, come nei cosiddetti “canoni cancrizzanti”, quando le stesse note sono suonate in avanti e all’indietro allo stesso tempo. Per esempio il primo canone dell’Offerta musicale di J.S.Bach è un canone di questo tipo. Brano tratto dall’Offerta musicale di J.S.Bach La simmetria per traslazione genera un sottogruppo ciclico infinito. In musica ciò è rappresentato dalla ripetizione di un qualche ritmo o melodia. Un celebre esempio è l’inizio della mano destra della Sonata al chiaro di luna di Beethoven Brano tratto dalla Sonata al chiaro di luna di Beethoven Certamente, un brano musicale ha una lunghezza finita, quindi non si può realmente parlare di simmetria per traslazione. Effettivamente, in musica, le simmetrie approssimate sono molto più comuni delle simmetrie perfette.

Arte La simmetria è una tecnica compositiva molto utilizzata nel campo artistico. Può essere di diversi tipi: - Simmetria assiale o di riflessione (una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a un punto, una retta, o un piano, detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione). - Simmetria radiale (definita anche come variante del ritmo, consiste nella ripetizione di figure lungo assi passanti per uno stesso punto e simmetriche rispetto ad essi). - Simmetria rotatoria o centrale (le forme hanno caratteristiche simili e si sviluppano attorno ad un punto, il centro. È tipica dei formati circolari e della architettura in generale (Borromini). La simmetria permette di dare equilibrio e armonia all'opera in cui viene utilizzata.

Simmetria assiale o di riflessione Un esempio di questa trasformazione geometrica è presente nel famoso dipinto di Caravaggio “Narciso”, qui a lato. Il dipinto, situato nella galleria d’arte antica nel palazzo Barberini a Roma, ritrae la figura mitologica di Narciso mentre si specchia nell’acqua. Questi, osservando la sua bellezza, si innamora perdutamente della sua immagine a tal punto da volerla baciare; e proprio quest’atto gli sarà fatale. Caravaggio per rappresentare al meglio l’effetto di riflessione adotta la tecnica della simmetria assiale dando vita a due figure perfettamente uguali.

Simmetria radiale Questa trasformazione è stata utilizzata particolarmente nell’arte araba specialmente nei mosaici: Il divieto di rappresentare figure sacre ha portato la cultura figurativa islamica ad orientarsi verso i pattern geometrici con esempi in opus sectile dagli incredibili intrecci che creano particolari illusione ottiche. Il problema di ricoprire una superficie, ovvero il piano, con uno o più moduli ripetuti in maniera periodica costituisce un affascinante campo di ricerca per la matematica e per le arti grafiche.

Chi più di ogni altro ha cercato di approfondire entrambi gli aspetti della questione è senza dubbio il grafico olandese Maurits Cornelis Escher (1898 –1972). Consapevole dell'unicità dell'Alhambra, si spinse due volte fino alla Spagna - nel 1922 e nel 1936 - per contemplare e studiare quella che lui stesso non esitò a definire "la più ricca fonte di ispirazione mai incontrata". La religione islamica impedisce di rappresentare animali o figure umane; per questo motivo tutti i moduli dell'Alhambra - così come in tutte le altre tassellazioni prodotte da artisti islamici - sono esclusivamente geometrici. Fin dal suo primo viaggio Escher cercò di spingersi oltre questo limite, e la sua prima opera di questo tipo è una tassellazione del piano con otto volti umani (Otto teste, 1922). Con gli anni saranno proprio uomini e soprattutto animali a stimolare la sua fantasia, e riuscirà a ricoprire il piano con conchiglie, stelle marine, granchi, pesci, uccelli, cavalieri…

Simmetria rotatoria Questa trasformazione è stata usata in architettura dal Borromini nella cupola di Sant’Ivo alla Sapienza. Sul piano tipologico Sant’Ivo è uno spazio a pianta centrale con tre assi di simmetria ruotati di 120 gradi. L’impianto esagonale che ne deriva presenta alternativamente all’occhio dello spettatore absidi semi circolari e spazi più complessi formati da lati convergenti e da un fondale convesso così che complessivamente il controllo planimetrico assuma una forma stellare.

Si ringraziano i professori del laboratorio nelle persone della Docenti: Antonina Giampaglia Si ringraziano i professori del laboratorio nelle persone della prof.ssa Sara Dragotti La dirigente scolastica prof.ssa Enrichetta Idato Allievi partecipanti Barbato Luca Borrelli Chiara Caruso Veronica Casale Dario Cirenza Cristina Cozzolino Monica De Maria Pasquale Di Paolo Alessandro Fusco Francesco Moio Camilla Monopoli Rosa Morale Raffaele Morante Chiara Negri Margherita Ruggiero Francesca Russo Gaetano Russo Gelsomina Solaro Raffaele Varriale Francesco