La scomposizione col metodo di Ruffini

Per comprendere la scomposizione col metodo di Ruffini procediamo per passi: Cominciamo con il seguente esercizio: Effettuare la seguente divisione: Osserviamo che: La divisione si può fare (grado dividendo maggiore grado divisore) Si può effettuare la divisione con Ruffini (grado del divisore=1) Il quoziente avrà grado 2 (grado dividendo meno grado divisore) Il resto avrà grado zero (deve essere minore del grado del divisore che è 1). Quindi il resto è un numero

Effettuiamo quindi la divisione Quindi Q= e R=0

Se uno volesse fare la verifica: Quoziente x Divisore + Resto = Dividendo Ma, dato che il resto è zero, abbiamo semplicemente: Quoziente x Divisore = Dividendo O anche, leggendo da destra a sinistra: Dividendo = Quoziente x Divisore Quindi nel nostro esempio:

Osserviamo che quanto appena scritto è la scomposizione del polinomio Che abbiamo scritto come un prodotto di polinomi di grado minore . Questo è vero solo perché il resto della divisione è zero!!!!!!!!!!

Questo vuol dire che sappiamo scomporre il polinomio ? Assolutamente NO! Perché se l’esercizio fosse stato: scomponi il polinomio nessuno poteva Immaginare che andava diviso per x-1 e che tale divisione avrebbe avuto resto zero. Almeno per ora…

Voltiamo per adesso pagina (ma non dimentichiamoci quanto appena visto) Con l’espressione P(x) (che si legge pi di x) si intende un qualunque polinomio nella lettera x. Esempio: Sia Cosa intendiamo con l’espressione ? Si intende l’espressione numerica che si ottiene sostituendo a tutte le x del polinomio il numero 2. In questo caso quindi:

Che è un’espressione che sappiamo calcolare: Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

Che è un’espressione che sappiamo calcolare: Proviamo P(3) Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

Che è un’espressione che sappiamo calcolare: Proviamo P(-1) Diventa Che è un’espressione che sappiamo calcolare: In conclusione quindi

Affrontiamo adesso il seguente Esercizio. Sia . Si calcoli P(2) e dopo si effettui la divisione

Cominciamo con P(2): Adesso la divisione: 2 0 -1 +3 -2 2 +4 +8 +14 +34 2 +4 +7 +17 +32 Quindi Si osserva però che abbiamo calcolato P(2) e abbiamo diviso per x-2. E soprattutto che: Il resto della divisione è uguale a P(2)

Sarà una coincidenza??? Cambiamo il polinomio e la divisione e scopriamo cosa succede Esercizio. Sia . Si calcoli P(-3) e dopo si effettui la divisione

Cominciamo con P(-3): Adesso la divisione: -1 0 +6 +2 -3 +3 -9 +9 -1 +3 -3 +11 Quindi Stavolta abbiamo calcolato P(-3) e abbiamo diviso per x+3. Il resto della divisione è uguale a P(-3)

Che non sia una coincidenza ce lo assicura il TEOREMA DEL RESTO Il resto della divisione fra un polinomio P(x) e un binomio (x-a) è sempre P(a).

Se adesso vogliamo trovare P(a) bisogna sostituire a ad x in Dimostrazione. Consideriamo la divisione P(x):(x-a). Sappiamo che vale l’uguaglianza: Dividendo = Quoziente x Divisore + Resto. Nel nostro caso il dividendo è P(x) e il divisore è (x-a) quindi possiamo scrivere: P(x) = Quoziente (x-a) + Resto Se adesso vogliamo trovare P(a) bisogna sostituire a ad x in tutti i termini della precedente uguaglianza. Si ottiene quindi: P(a)=Quoziente (a-a) + Resto Ma a-a è ovviamente zero quindi rimane soltanto P(a)=Resto Che è quello che volevamo dimostrare

Immediata conseguenza del precedente teorema è il TEOREMA DI RUFFINI Un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e soltanto se P(a)=0. Dimostrazione. Un polinomio è divisibile per (x-a) se il resto della divisione è zero. Ma abbiamo visto che il resto è uguale a P(a). Ne segue che il polinomio è divisibile per (x-a) solo se P(a)=0 che è quello che volevamo dimostrare.

Possiamo quindi tornare al problema della scomposizione di un polinomio… Infatti dato un polinomio da scomporre, grazie a quanto imparato fino ad ora, possiamo: - Chiamare P(x) il polinomio Cercare un numero a tale che P(a)=0 Se si trova, effettuare la divisione fra il polinomio ed (x-a) La scomposizione cercata è quoziente (x-a) Ma c’e ancora un problema…

I numeri sono infiniti, come possiamo trovare quel numero a tale che P(a)=0?? Sarebbe un’impresa impossibile se non ci venisse incontro il seguente TEOREMA Dato un polinomio P(x), se P(a) è uguale a zero, allora a è un divisore del termine noto del Polinomio.

In altre parole, dato un polinomio P(x), se vogliamo trovare un numero a tale che P(a)=0, dobbiamo cercarlo fra i divisori, negativi e positivi, del termine noto. Esempio. Sia dato il polinomio Il termine noto è 4. I divisori di 4 sono: 1, -1, 2, -2, 4, -4. Il teorema ci dice che gli unici numeri per cui “il P di quel numero” può (ma non è sicuro) essere zero sono 1, -1, 2, -2, 4, -4

Osservazione importante Dato un polinomio P(x) non è detto che esista un numero per cui il “P di quel numero” sia zero

Quinta tecnica: la scomposizione col metodo di Adesso siamo in grado di scomporre un polinomio con il metodo di Ruffini Quinta tecnica: la scomposizione col metodo di Ruffini: Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero. Se per nessun numero, il “P di quel numero” è zero si scrive irriducibile Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a). La scomposizione cercata è Quoziente (x-a)

Esempio: scomporre il polinomio 1) Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di +4: {1, -1, 2, -2, 4, -4}

Divisori di +4: {1, -1, 2, -2, 4, -4} Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo:

4) Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a) -1 0 +2 +4 2 -2 -4 -4 -1 -2 -2 0 Quindi e R=0

In conclusione… 5) La scomposizione cercata è: Quoziente (x-a) Quindi: Abbiamo scritto il polinomio iniziale come prodotto di polinomi di grado minore. L’abbiamo cioè scomposto

Esempio: scomporre il polinomio 1) Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di -3: {1, -1, 3, -3}

Divisori di -3: {1, -1, 3, -3} Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo:

4) Se si trova invece un numero a tale che P(a)=0, si effettua la divisione P(x):(x-a) 1 0 0 -26 -3 3 +3 +9 +27 +3 1 +3 +9 +1 0 Quindi e R=0

In conclusione… 5) La scomposizione cercata è: Quoziente (x-a) Quindi: Abbiamo scritto il polinomio iniziale come prodotto di polinomi di grado minore. L’abbiamo cioè scomposto

Esempio: scomporre il polinomio 1) Si indica il polinomio con P(x) e si scrivono tutti i divisori del termine noto Divisori di +1: {1, -1}

Divisori di +1: {1, -1} Si “provano” i “P di quei numeri” finchè qualcuno non è zero Non è zero. Continuiamo: Non è zero e non ci sono altri divisori!

In conclusione… 3) Se per nessun numero, il “P di quel numero” è zero si scrive irriducibile Quindi: E’ irriducibile!