TEOREMA DI PITAGORA In un qualsiasi triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Noi crediamo senz’altro a quello che affermò Pitagora, ma ugualmente cercheremo di renderci conto della validità del suo teorema con alcune dimostrazioni pratiche sfruttando le nostre conoscenze sull’equivalenza delle figure piane.

Disegniamo un triangolo rettangolo e poi su ogni lato costruiamo un quadrato delle dimensioni del lato stesso Q3 Q2 Q1

Scomponiamo Q2 in 4 triangoli congruenti e costruiamo un quadrato congruente a Q1

Sovrapponiamo i triangoli e il quadrato così ottenuti su Q3 e vediamo che otteniamo una figura equiestesa a Q3 Q3 Q2 Q1

Quindi Q1 + Q2 = Q3 indicando con C e c i due cateti e con i l’ipotenusa si ricava che C2 + c2 = i2 i = (C2 + c2 ) Q3 Q2 C i c Q1 Dall’uguaglianza precedente si ricava che C2 = i2 - c2 C =  ( i2 - c2 ) e anche che: c2 = i2 - C2 c =  ( i2 - C2 )

Naturalmente il teorema di Pitagora è valido solo per triangolo rettangolo ; infatti se disegniamo un triangolo ottusangolo e costruiamo su ognuno dei lati un quadrato Possiamo osservare che il quadrato costruito sul lato più lungo ha una superficie maggiore della somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati; cioè Q3 > Q2 +Q1 Q3 Q2 Q1

Se invece disegniamo un triangolo acutangolo e su ognuno dei lati costruiamo un quadrato Possiamo osservare che il quadrato costruito su uno qualsiasi dei lati ha una superficie minore della somma degli altri due

Vediamo ora come possiamo utilizzare il teorema di Pitagora con figure che non siano dei triangoli rettangoli: Prendiamo ad esempio il triangolo isoscele: Se tracciamo l’altezza relativa alla base otteniamo due triangoli rettangoli in cui: i = l C = h c = b/2 h l b/2 i = l =  h2+(b/2)2 h = l2- (b/2)2 b/2 = l2- h2

Disegniamo ora un quadrato: Se tracciamo la diagonale dividiamo il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli dove: i = d e C = c = l d l l Per cui si ottiene che: d = l2 +l2 = 2* l2 =  l2 * 2 = l * 2 l = d : 2

Disegniamo un rettangolo Se tracciamo la diagonale otteniamo due triangoli rettangoli in cui: C = h c = b d = i d h b Per cui avremo che: d =  h2 + b2 h =  d2 - b2 b =  d2 - h2