Disequazioni frazionarie Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno. Una volta scritta la disequazione nella forma studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore costruiamo la tabella dei segni deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni individuiamo l’insieme delle soluzioni.
Disequazioni frazionarie ESEMPIO deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore: Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2 continua
Disequazioni frazionarie Costruiamo la tabella dei segni: 2 R + − segno di x2 + 3 segno di x2 − 2x frazione S L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2
Scomponiamo il polinomio al primo membro: Disequazioni di grado superiore al secondo Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. ESEMPIO Scomponiamo il polinomio al primo membro: Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 3 R + − segno di x2 + 1 segno di x − 3 prodotto S
S1 S2 Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi: risolvere ciascuna disequazione costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni. ESEMPIO Risolviamo la prima disequazione: S1 Risolviamo la seconda disequazione: S2 −1 8 R S1 S2 S Tabella delle soluzioni: Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8