PRESENTAZIONE DI RAGANATO ROBERTO, BISCONTI GIAMMARCO E REBOLDI DEBORAH

ELEMENTI DI LOGICA

PROPOSIZIONI O ENUNCIATI OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI

In matematica si chiama PROPOSIZIONE o ENUNCIATO ogni espressione linguistica per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa.in altre parole una proposizione è una frase alla quale ha senso associare uno dei due valori di verità: vero o falso. ESEMPI: la luna è un satellite; V Parigi è la capitale della Spagna; F Sandro è simpatico; NON E’ UNA PROPOSIZIONE

DISGIUNZIONE CONGIUNZIONE TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI NEGAZIONE IMPLICAZIONE COIMPLICAZIONE MODUS PONENS MODUS TOLLENS

^ : LA CONGIUNZIONE La particella “e “ quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato i “e,contemporaneamente”, corrisponde in logica al connettivo congiunzione (^) DEFINIZIONE:si definisce congiunzione di due proposizioni p e q,e si indica con p^q ( si legge “p e q”) , la proposizione che è vera se p e q sono vere contemporaneamente, mentre è falsa in ogni altro caso. p q p^q V F V F V F

^ DISGIUNZIONE : La particella “o”, quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di “oppure” corrisponde in logica al connettivo disgiunzione DEFINIZIONE:si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q, e si indica con il simbolo p V q e si legge “p o q” , la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni è vera,mentre è falsa se entrambi le proposizioni sono false p q p V q V F V F V F

IMPLICAZIONE : Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni si può ottenere mediante il connettivo “se,allora” DEFINIZIONE:si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p q e si legge “se p allora q”.la proposizione che è falsa nel caso p sia vera e q sia falsa ed è vera negli altri casi p q p q V F V F V F

: LA COIMPLICAZIONE Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo “se e solo se”. DEFINIZIONE:Si definisce definizione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si indica con p<—>q e si legge “p coimplica q”. La proposizione è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità, mentre è falsa in tutti gli altri casi. p q p q V F V F V F

: LA NEGAZIONE _ La particella “non” del linguaggio ordinario corrisponde in logica all’operatore negazione. DEFINIZIONE:Si dice negazione di un enunciato p, e si indica con p e si legge “non p”. L’enunciato è falso se p è vero ed è vero se p è falso. p p V F F V

TAUTOLOGIE CONTRADDIZIONI

indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni. TAUTOLOGIE E’ una tautologia quella proposizione composta che ha come valore di verità VERO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni. a a a V a V F F V V

CONTRADDIZIONI E’ una contraddizione quella proposizione composta che ha come valore di verità FALSO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni che lo compongono. p q p q V F F V F

Consideriamo la tautologia [(a b) a] b MODUS PONENS Consideriamo la tautologia [(a b) a] b e supponiamo che siano vere a b e a, e quindi anche la loro congiunzione. Possono presentarsi due casi: b è vera oppure b è falsa. Il valore di verità è allora dato dalla seguente tavola (a b)^a b [(a b)^a] b V V F V F

1 premessa 2 premessa a b a conclusione b Essa, essendo una tautologia, deve però essere vera per forza, perciò non può verificarsi che b sia falsa; perciò nel caso siano vere sia a b sia a, dev’essere vera anche b. Possiamo perciò formulare la seguente regola di deduzione che è detta Modus Ponens: se sono vere le proposizioni a b e a , allora dev’essere vera anche la proposizione b. 1 premessa 2 premessa a b a conclusione b

deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev’essere falsa a ). Modus Tollens Dalla tautologia [(a b) b] a si può ricavare la seguente regola di deduzione, detta Modus Tollens: se è vera la proposizione a b ed è vera la negazione di b (ossia è falsa b), deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev’essere falsa a ). 1 PREMESSA 2 PREMESSA a b b CONCLUSIONE a