Vita Studi Morte Memorie Algebra pura Teoria di Galois Dimostrazione

Evariste Galois nasce a Bourg-la-Reine nell’ottobre del 1811; ragazzo prodigio, poco più che adolescente riuscì a determinare un metodo generale per scoprire se una equazione è risolvibile o meno con operazioni quali somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione di potenza ed estrazione di radice

Questo studente dimostra una netta superiorità su tutti i colleghi Questo studente dimostra una netta superiorità su tutti i colleghi." (Louis Richard) Nel 1828 cercò di essere ammesso all‘Ecolè polytechnique ma fallì l'esame d'ammissione. Ritentò l'anno successivo ma venne nuovamente bocciato, sempre all'esame d'ammissione. Leggenda vuole che considerasse gli esercizi di matematica banali e non interessanti e che quindi si rifiutasse di risolverli; esasperato dall'esaminatore che gli voleva imporre di risolvere quegli esercizi, egli gli avrebbe scagliato contro il cancellino. Emesso dalla Francia nel novembre 1984

Galois morì durante un duello, combattuto per salvare l'onore di una donna che il giovane amava. Vi sono altre versioni che accusano la polizia segreta del Re della responsabilità del duello affermando che la motivazione dell'onore fu solo una copertura per nascondere un omicidio politico. Quale sia la vera versione non è noto. È certo invece che Évariste fosse sicuro di morire durante quel duello, al punto che passò tutta la notte precedente a cercare di sistemare i suoi lavori matematici e in questi vi sono delle annotazioni in cui afferma che gli manca il tempo per un'esposizione più completa e chiara. Il 30 Maggio 1822 di prima mattina veniva colpito da un proiettile all'addome e il giorno seguente moriva (probabilmente di peritonite) all'ospedale di Cochin. Le sue ultime parole, dette a suo fratello Alfred furono: «Non piangere! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per morire a vent'anni».

"In Francia, verso il 1830, apparve nel firmamento della matematica pura un nuovo astro, d'incomparabile splendore... Evariste Galois." (Felix Klein) La memoria di Galois sulla teoria delle equazioni fu proposta diverse volte per la pubblicazione, ma non venne mai pubblicata mentre lui era in vita. Inizialmente il matematico fece pervenire la sua memoria a Cauchy. Questi la esaminò e gli disse di modificarla dato che coincideva in alcuni punti con un lavoro di Abel. Galois modificò la memorie e la inviò a Fourier verso l'inizio del 1830 per poter competere al Gran Premio indetto dall'Accademia. Nel gennaio 1831, Galois inviò al matematico Poisson un breve riassunto dei suoi lavori chiedendogli di presentare il suo lavoro all'Accademia. questi rifiutò il lavoro, affermando che l'esposizione non era chiara ed era impossibile analizzarne con chiarezza la rigorosità, e lo invitava a lavorare per rendere il lavoro più rigoroso e comprensibile. I contributi matematici di Galois furono alla fine pubblicati nel 1843 da Joseph Liouville che, ricevuto il manoscritto, lo lesse attentamente e lo sistemò per rendere l'esposizione più semplice.

In base al teorema fondamentale dell'algebra, o teorema di Gauss, un'equazione di grado enne può essere risolta per enne radici, quindi dovrebbe esistere una formula per calcolare le cinque radici di un'equazione di quinto grado... Eppure questa formula non si riusciva a ricavarla. Il grande matematico franco-piemontese Joseph-Louis Lagrange (1734-1813) aveva individuato un metodo generale per ricavare le formule risolutive per radicali di equazioni di ennesimo grado. Questo metodo riduce un'equazione di primo grado ad una semplice divisione, un'equazione di secondo grado ad una di primo, una di terzo ad una di secondo ed una di quarto ad una di terzo. Tuttavia, se applicato ad una di quinto la trasforma in una di sesto, e se applicato ad una di sesto la rende addirittura di decimo grado! Un matematico italiano, Ruffini, sul finire del Settecento aveva dato una dimostrazione piuttosto complessa, e poco elegante, del fatto che le equazioni di quinto grado non potessero essere risolte per mezzo di radicali. Alla stessa conclusione era giunto, nel 1824, il norvegese Niels Henrik Abel, il quale aveva inoltre ipotizzato che, non potendosi risolvere equazioni di quinto grado, non se ne potevano risolvere neppure di gradi superiori.

Galois decise che da allora in avanti avrebbe ricercato le condizioni necessarie e sufficienti a risolvere, per mezzo di radicali, equazione algebriche di qualsiasi grado. Iniziò, nel 1829 (a diciassette anni e mezzo!!) a studiare quelle equazioni che avevano per grado un numero primo; ben presto verificò e dimostrò che si potevano risolvere solo quelle di grado pari a due o tre, mentre per quelle di grado dal quinto in su non era possibile trovare una formula risolutiva per radicali. Evariste Galois riuscì, per primo nella storia della matematica, a dimostrare l'insolubilità per radicali di equazioni algebriche di grado superiore al quarto.

Se abbiamo un dato polinomio, può succedere che alcune delle radici del polinomio siano connesse da varie equazioni algebriche. Ad esempio, può succedere che per due delle radici, diciamo A e B, valga l'equazione A2 + 5B3 = 7. L'idea centrale di Galois è di considerare per queste permutazioni (o riarrangiamenti) delle radici la proprietà che ogni equazione algebrica soddisfatta dalle radici è ancora soddisfatta dopo che le radici sono state permutate. Un'importante clausola è che ci limitiamo ad equazioni algebriche nelle quali i coefficienti sono numeri razionali. L'insieme di queste permutazioni forma un gruppo di permutazione, chiamato anche gruppo di Galois del polinomio (sui numeri razionali).

Si consideri l’equazione quadratica x2 − 4x + 1 = 0. Usando la formula quadratica, troviamo che le due radici sono A = 2 + √3,   e B = 2 − √3. Esempi di equazioni algebriche soddisfatte da A e B includono A + B = 4,   e AB = 1. Ovviamente, in entrambe queste equazioni, se scambiamo A e B, otteniamo un'altra espressione vera. Ad esempio, l'equazione A + B = 4 diventa semplicemente B + A = 4.

Concludiamo quindi che il gruppo di Galois del polinomio x2 − 4x + 1 consiste in due permutazioni: la permutazione identica che lascia A e B inalterati, e la permutazione di trasposizione che scambia A e B. Una discussione simile si applica ad ogni polinomio quadratico ax2 + bx + c, dove a, b e c sono numeri razionali.