La logica è lo studio del ragionamento. La logica matematica è lo studio dei ragionamenti utilizzati dai matematici e si occupa dei linguaggi formali, introducendo regole che garantiscono la correttezza dei ragionamenti.

Nei linguaggi si distinguono : ENUNCIATI O PROPOSSIZIONI LOGICA BIVALENTE O BINARIA LA SINTASSI LA SEMANTICA INSIEME DELLE REGOLE CON LE QUALI COLLEGARE PAROLE O SIMBOLI PER OTTENERE FRASI CORRETTE INSIME DEI SIGNIFICATI DA ATTRIBUIRE ALLE PAROLE E ALLE FRASI ESPRESSIONI LINGUISTICHE DALLE QUALI SI PUO STABILIRE SE UNA COSA È VERA O FALSA PRENDE IN CONSIDEREAZIONE UNA PROPOSIZIONE CHE PUÒ ESSERE VERA O FALSA: NON SONO POSSIBILI ALTRI CASI

ENUNCIATI ► COIMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI ENUNCIATI ELEMENTARI ENUNCIATI COMPOSTI IMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO DISGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI CONGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI

ENUNCIATI ELEMENTARI Sono costituiti da un predicato e da uno o più nomi detti argomenti. Es. 5 è maggiore di 4 oppure in forma simbolica 5>4 p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato) q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento) ☼

Due o più enunciati semplici sono uniti da connettivi che sono: ENUNCIATI COMPOSTI Due o più enunciati semplici sono uniti da connettivi che sono: …. e …. () ….o….() se ….allora….() ….se e solo se….() ☼

NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO Si indica con p e si legge “non p” oppure “p negato” è l’enunciato che è falso se p è vero ed è vero se p è falso. La doppia negazione si indica con p p V F

ESEMPI DI NEGAZIONE E DOPPIA NEGAZIONE p: 5 è un numero pari p : 5 non è un numero pari p: 5 è minore di 10 p: 5 non è minore di 10 p: non è vero che 5 non è minore di 10 FALSO VERO ☼

CONGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce congiunzione di 2 enunciati p e q e si indica con pq l’enunciato che è vero se p e q sono contemporaneamente veri,mentre è falso in ogni altro caso. p q pq V F ☺

DISGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce disgiunzione di 2 enunciati p o q e si indica con pp l’enunciato che è vero se almeno uno dei 2 enunciati è vero, ed è falso se entrambi gli enunciati sono falsi. La scrittura “p o q” oppure “p vel q”. p q p  q V F ☺

ESEMPI DI CONGIUNZIONE E DISGIUNZIONE a:12 è divisibile per 3 b:12 è divisibile per 2 ab: 12 è divisibile per 3 e per 2 p:3 è maggiore di 7 q:3 è divisibile per 2 pq 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2 VERO VERO ☼

IMPLICAZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce implicazione di 2 enunciati p e q e si indica con pq e si legge “se p allora q”, l’enunciato che è falso nel caso in cui p sia vero e q falso ed è vero in tutti gli altri casi. p q pq V F ☻

COMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI Si definisce complicazione di due enunciati p e q e si indica con pq e si legge “p se e solo se q” l’enunciato che è vero nel caso in cui i due enunciati siano entrambi veri o entrabi falsi ed è falso negli altri casi. p q pq V F ☻

ESEMPI DI IMPLICAZIONE E COMPLICAZIONE p:12 è divisibile per 4 q:12 è un numero pari pq: se 12 è divisibile allora è un numero pari p:8 è un numero primo q:8 è divisibile per 5 pq 8 è un numero primo se e solo se è d divisibile per 5 VERO FALSO VERO ☼

Le tautologie sono dette anche leggi della logica. Una tautologia è una formula enunciativa vera qualunque sia il il valore di verità degli enunciati elementari che la compongono. Le tautologie sono dette anche leggi della logica.

(legge dell’identità) CONTRADDIZIONE Una contraddizione è una formula che risulta falsa qualunque sia il valore di verità degli enunciati elementari che la compongono. pp (legge dell’identità)

LOGICA DEI PREDICATI Un espressione linguistica che dipende da una o più variabili,appartenenti ciascuna a un prefissato dominio, si dice predicato o anche enunciato aperto. Es.: “x è un numero primo” con x  N (dominio)

QUANTIFICATORI Il simbolo  si chiama quantificatore universale e si legge per ogni o per tutti. Sia p(x) un predicato e sia D il dominio della sua variabile. L’espressione  x (p(x)) si legge “ per ogni x è vero p(x)” o anche “per tutti gli x del dominio, è vero p(x)” oppure “per qualsiasi x appartenete a D è vero p(x)” Il simbolo  si chiama quantificatore esistenziale e si legge esiste o esiste almeno uno. Se p(x) è un predicato e D è il dominio della sua variabile l’espressione  x(p(x)) si legge “esiste almeno un x per cui è vero p(x)” oppure “esiste almeno un x dell’insieme D tale che è vero p(x)”

ESEMPI DI QUANTIFICATORI Esempio:  x (x>5) xN “esiste almeno un numero naturale maggiore di 5” VERO. Esempio:  n (2n +1 è pari) nN FALSO perché n è un numero naturale, 2n è pari, quindi, 2n+1 è sempre dispari. Esempio:  x (x2≥0) xQ “per ogni x razionale, x2≥0” VERO. Esempio:  x (x2>1) xQ FALSO perché afferma che qualsiasi numero razionale al quadrato è maggiore di uno.

CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTE Condizione sufficiente: Consideriamo due predicati: s(x): x è un multiplo di 6 p(x): x è pari xN Tutti i valori di xN che rendono vero s(x) rendono vero anche p(x). Dunque se è vero s(x) allora è vero anche p(x).  x(s(x)→p(x))

CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTE Condizione necessaria: Consideriamo due predicati: s(x): x è un multiplo di 6 p(x): x è pari xN Essere pari, per un numero naturale, non è sufficiente per essere divisibile per 6. possiamo affermare che essere pari è necessario per essere multiplo di 6. p(x)s(x)

Questa presentazione è stata realizzata da: Menini Samuele & Soliani Mirco