Il modello del duration gap Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

Una contabilità a valori di mercato La duration Il duration Gap Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap AGENDA Una contabilità a valori di mercato La duration Il duration Gap I limiti del modello del duration gap Il convexity gap Esercizi © Resti e Sironi, 2008

Una contabilità a valori di mercato Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Una contabilità a valori di mercato Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa (2006): Senza alcuna variazione di tassi il MI sarebbe: Il ROE della banca sarebbe il 23%. Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe: Attività € m Passività Mutui decennali a tasso fisso (5%) 100 CD a tasso fisso a 2 anni (3%) Patrimonio 90 10 Totale Attività € m Passività Cassa Mutuo decennale a tasso fisso (5%) 2,3 100 CD a tasso fisso a 2 anni (3%) Utile netto Patrimonio 90 10 Totale 102,3 © Resti e Sironi, 2008

Una contabilità a valori di mercato Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Una contabilità a valori di mercato Si supponga un aumento dei tassi dell’1% al primo gennaio del 2007. Il margine di interesse della Banca Alfa non subirebbe alcuna variazione nel 2007 e nel 2008 rispetto a quanto atteso. Attività e passività della banca sono infatti a tasso fisso. Il MI risulta ancora pari a 2,3 per il 2007 e per il 2008. Nel 2009 la Banca Alfa si rifinanzia alle nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposito con altri CD, a un tasso di interesse superiore di un punto percentuale (4%). Il MI relativo al 2009 è dunque: Il ROE è invece pari al 9,59%. Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta all’inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione del MI. © Resti e Sironi, 2008

DVMB=DVMA-DVMP =(100-93,2)-(90-89,13) =5,93 Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Una contabilità a valori di mercato Valutiamo ora le attività e le passività della banca a valori di mercato: Un aumento dei tassi di interesse produce una riduzione del valore di mercato delle attività e passività finanziarie a tasso fisso Dopo l’aumento dei tassi dell’1%(al 6%), il valore di mercato del mutuo alla fine del 2007 è (vita residua = 9 anni, tasso 5%): Il valore dei certificati di deposito a fine 2007 sarebbe (vita residua = 1 anno, interesse pagato sul CD 3%): DVMB=DVMA-DVMP =(100-93,2)-(90-89,13) =5,93 © Resti e Sironi, 2008

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio è dato da: Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Una contabilità a valori di mercato Il bilancio a valori di mercato alla fine del 2007 sarebbe: Attività € m Passività Cassa Mutuo a tasso fisso (5%) 2,3 93,20 CD a tasso fisso (3%) Utile (Perdita) di esercizio Patrimonio 89,13 (3,63) 10 Totale 95,5 Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio è dato da: La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,93 (data dal saldo tra la variazione di valore dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi per 2,3. L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata. © Resti e Sironi, 2008

Una contabilità a valori di mercato Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Una contabilità a valori di mercato A fine 2008: Lo stato patrimoniale a fine 2008 è quindi: Il valore del CD, in scadenza, è 90 (importo da rimborsare). Il valore di mercato del mutuo (vita residua 8 anni), è: Attività € m Passività Cassa Mutuo a tasso fisso (5%) 4,6 93,79 CD a tasso fisso (3%) Utile (Perdita) di esercizio Patrimonio 90 2,02 6,37 Totale 98,39 L’utile/perdita di esercizio è dato da: © Resti e Sironi, 2008

Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap La duration La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo (o valore di mercato totale) dello strumento finanziario Flusso di cassa t-esimo Tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity) richiesto dal mercato sulla scadenza t Scadenza dell’attività, ossia dell’ultimo flusso di cassa Scadenza, espressa in anni, del singolo flusso di cassa Prezzo o valore di mercato dello strumento in esame © Resti e Sironi, 2008

Il calcolo della duration Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il calcolo della duration Al 1/1/2007 consideriamo un titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6%, con vita residua di quattro anni (scadenza 31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto dal mercato è pari al 6%. Il prezzo è allora uguale al valore di rimborso: Per calcolare la duration, pesiamo ogni scadenza con un peso uguale al rapporto fra valore attuale del flusso corrispondente e prezzo del titolo Data 31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10 Flusso 6 106 Valore attuale 5,660 5,340 5,037 83,962 Prezzo tel quel 100,00 Scadenza in anni (a) 1 2 3 4 Totale Flusso (b) 6 106 Valore attuale (c) 5,660 5,340 5,037 83,962 100,00 Valore attuale/Prezzo (d) 0,0566 0,0534 0,05037 0,83962 1,00 (a) x (d) = (e) 0,1068 0,1511 3,3585 Duration = ( (e)) 3,6730 © Resti e Sironi, 2008

Dividendo poi per il prezzo P si ottiene: Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap La duration modificata Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato. Partiamo dalla relazione tra prezzo di un titolo (P) e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato (y): Derivando rispetto al tasso di rendimento Dividendo poi per il prezzo P si ottiene: Duration Modificata Cioè: © Resti e Sironi, 2008

La duration modificata Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap La duration modificata La duration modificata consente di quantificare la variazione percentuale di prezzo corrispondente a una variazione (infinitesima) dei rendimenti di mercato. Utilizzando variazioni del tasso di rendimento finite (y), si ottiene una stima approssimata della conseguente variazione percentuale del prezzo: La duration è tanto minore quanto maggiori sono il numero e la consistenza dei flussi intermedi. Se un titolo obbligazionario ha vita residua più breve e/o cedole di maggiore importo, a fronte della stessa variazione dei tassi di mercato, registra una variazione di prezzo più contenuta, grazie a una minore duration. La duration è espressa in unità temporali, ossia generalmente in anni. Si può dimostrare che la duration di un portafoglio non è altro che la media delle duration dei singoli titoli che lo compongono, ognuno ponderato per il proprio valore di mercato. © Resti e Sironi, 2008

Leva finanziaria VMP / VMA Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il duration gap Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi. La variazione del valore di mercato del patrimonio della banca è quindi: Assumendo che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo siano uguali, si ottiene: Duration Modificata Duration Gap Leva finanziaria VMP / VMA © Resti e Sironi, 2008

Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il duration gap Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi: Il valore di mercato del totale dell’attivo La dimensione della variazione dei tassi di interesse La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo: se il valore netto iniziale è pari a zero (VMB = VMA – VMP = 0), ciò accade quando la sensibilità del valore delle attività è uguale a quella delle passività (DMA = DMP) Se, più realisticamente, il valore delle attività è superiore a quello delle passività (VMA>VMP e VMB>0), ciò accade per una duration del passivo superiore a quella dell’attivo (ma nella realtà è più probabile che DMA > DMP ) © Resti e Sironi, 2008

Il duration gap Duration Gap Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il duration gap Calcoliamo la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa. Collochiamoci al 31/12/2007, un attimo prima dell’aumento dei tassi. Duration Gap © Resti e Sironi, 2008

Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il duration gap È ora possibile stimare la variazione che subirebbe il valore di mercato del patrimonio della banca a seguito di un rialzo del 1% dei tassi di mercato. In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro, oltre il 60% del suo valore di partenza. Il risultato ottenuto è diverso dalla minusvalenza di 5,93 milioni di euro calcolata nella slide 5. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore. © Resti e Sironi, 2008

I problemi del modello del duration gap Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap I problemi del modello del duration gap Politiche di immunizzazione: anche se una banca riesce ad annullare il suo duration gap, mediante l’utilizzo di strumenti derivati o politiche di ristrutturazione del bilancio, l’efficacia di questa strategia di immunizzazione dal rischio risulterà limitata nel tempo, per diversi motivi: La duration dell’attivo della banca può variare, nel tempo, in modo diverso da quella del passivo, modificando così il duration gap della banca. Soltanto se la variazione dei tassi si verifica subito dopo l’immunizzazione è verosimile che il valore di mercato del patrimonio della banca non subisca alcuna variazione. Le variazioni dei tassi di interesse modificano la duration di attività e passività, modificando così il duration gap della banca. Le politiche di immunizzazione dovrebbero essere ricalibrate ogni volta che si verifica una variazione nel livello dei tassi. © Resti e Sironi, 2008

I problemi del modello del duration gap Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap I problemi del modello del duration gap Costi connessi alle politiche di immunizzazione: simili politiche richiedono di modificare la duration, e dunque la scadenza, delle attività e delle passività della banca. Le politiche di ristrutturazione del bilancio necessarie allo scopo possono comportare costi rilevanti o la rinuncia a opportunità di impiego o di raccolta redditizie. In realtà, queste politiche possono essere realizzate anche mediante il ricorso alla negoziazione di strumenti derivati quali swap, opzioni e futures su tassi di interesse. Grado di approssimazione: poiché la duration è fondata su un’approssimazione lineare della funzione convessa che lega il valore di mercato di uno strumento finanziario al suo tasso di rendimento, essa commette un errore di stima tanto maggiore quanto più forte è la variazione dei tassi di mercato. Questo problema può essere superato ricorrendo a una misura del grado di convessità della funzione menzionata. Al duration gap può dunque essere affiancato il convexity gap. © Resti e Sironi, 2008

Convexity modificata dell’ attivo e del passivo Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Il convexity gap Il convexity gap permette una stima più accurata della variazione del valore di mercato del patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione. La convexity e la convexity modificata sono calcolate come: Convexity modificata dell’ attivo e del passivo Il convexity gap riflette il grado di dispersione dei flussi di cassa delle attività e delle passività della banca attorno alla propria duration © Resti e Sironi, 2008

I problemi del modello del duration gap Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap I problemi del modello del duration gap Variazioni uniformi dei tassi di interesse attivi e passivi: come il repricing gap anche il duration gap si basa su questa ipotesi. In realtà una variazione del tasso di mercato può riflettersi in variazioni differenziate dei tassi attivi e passivi (basis risk). È possibile stimare il diverso grado di sensibilità dei tassi attivi (βA) e passivi (βP) al tasso di riferimento La variazione nel valore del patrimonio della banca a seguito di una variazione del tasso di riferimento sarà: L’impatto di una variazione del tasso di mercato di riferimento sul valore di mercato del patrimonio netto della banca dipende da: beta duration gap rapporto fra valore delle passività e valore delle attività duration modificata media di attivo e passivo sensibilità media dei tassi attivi e passivi alle variazioni del tasso di mercato © Resti e Sironi, 2008

Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Esercizi/1 Si consideri un’obbligazione a cedola fissa con valore nominale di 1.000 euro, che paga un coupon semestrale del 3% e che scadrà tra tre anni e due mesi. Ipotizzando che la curva dei tassi di mercato sia piatta in corrispondenza del 4% (composto annualmente), si calcolino il valore corrente e la duration modificata del titolo; sulla base della duration, si stimi l’impatto di una riduzione del 2% nei tassi di mercato sul valore del bond. Infine, si consideri una seconda obbligazione, con la stessa scadenza, un valore nominale di 1.100 euro e una cedola semestrale del 1,5%. Di nuovo, se ne calcoli il valore corrente e la duration modificata. Si spieghi infine perché i due titoli hanno valore simile, pur avendo duration modificate differenti. Si dica poi se l’effetto sul secondo titolo di un aumento del 2% nei tassi di mercato sarebbe più o meno consistente che per il primo, e perché. © Resti e Sironi, 2008

Esercizi/2 Usando i dati nella Tavola di pagina successiva: Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Esercizi/2 Usando i dati nella Tavola di pagina successiva: si calcoli il valore netto del patrimonio della banca; si calcoli il duration gap della banca; si calcoli il convexity gap della banca; sulla base del solo duration gap, si stimi l’impatto di un aumento di 50 punti base della curva dei tassi sul valore netto della banca; sulla base di duration gap e convexity gap, si stimi l’impatto di un aumento di 50 punti base della curva dei tassi sul valore netto della banca; si commentino brevemente i risultati © Resti e Sironi, 2008

Esercizi/2 Attività Valore Duration modificata Convexity modificata Rischio e valore nelle banche Il modello del duration gap Esercizi/2 Attività Valore Duration modificata Convexity modificata Aperture di credito 1000 Titoli a tasso variabile 600 0,25 0,1 Prestiti a tasso fisso 800 3,00 8,50 Mutui ipotecari a tasso fisso 1200 45 Passività Conti correnti CD a tasso fisso 0,5 0,3 Obbligazioni a tasso fisso 3 6,7 © Resti e Sironi, 2008