P. Burghignoli ♪, F. Frezza ♪, A. Galli ♪, L. Pajewski ☼ e G. Schettini ☼ Parma, settembre 2007 Parma, settembre 2007 EQUAZIONI INTEGRALI: RECENTI SVILUPPI NUMERICI E NUOVE APPLICAZIONI ☼ Università degli Studi “Roma Tre” di Roma, Dipartimento di Elettronica Applicata ♪ Università “Sapienza” di Roma, Dipartimento di Ingegneria Elettronica

 Metodo degli elementi al contorno (BEM) e  Derivazione delle formule  Calcolo di punti e pesi di quadratura per casi significativi  Verifica dell’accuratezza numerica delle formule discretizzazione delle equazioni integrali con il metodo di Nyström  Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli planari, da impiegare in presenza di spigoli  Applicazione delle nuove formule alla soluzione di problemi di diffrazione da oggetti 3D  Conclusioni ● Sommario

Metodo degli elementi al contorno ( Boundary Element Method, BEM )

Procedura numerica basata sulla rappresentazione integrale del campo elettromagnetico nel dominio spaziale Procedura numerica basata sulla rappresentazione integrale del campo elettromagnetico nel dominio spaziale Approccio che riduce la determinazione delle grandezze e.m. in un dominio 3D a quella delle stesse sulla frontiera del dominio Approccio che riduce la determinazione delle grandezze e.m. in un dominio 3D a quella delle stesse sulla frontiera del dominio Analisi di strutture composte da più regioni omogenee occupate da materiali dielettrici e conduttori Analisi di strutture composte da più regioni omogenee occupate da materiali dielettrici e conduttori  Metodo degli elementi al contorno Incognite delle equazioni integrali al contorno = correnti equivalenti elettriche e magnetiche definite sulle superfici di interfaccia tra mezzi diversi Incognite delle equazioni integrali al contorno = correnti equivalenti elettriche e magnetiche definite sulle superfici di interfaccia tra mezzi diversi Le correnti equivalenti sono legate alle componenti tangenziali dei campi magnetico ed elettrico Le correnti equivalenti sono legate alle componenti tangenziali dei campi magnetico ed elettrico Le componenti tangenziali dei campi possono divergere in prossimità di uno spigolo di un corpo dielettrico e conduttore Le componenti tangenziali dei campi possono divergere in prossimità di uno spigolo di un corpo dielettrico e conduttore

Discretizzazione delle equazioni integrali Discretizzazione delle equazioni integrali  rappresentazione delle superfici di interfaccia mediante griglie di celle triangolari  uso di formule di quadratura per approssimare numericamente gli integrali di superficie  imposizione della validità dell’equazione nei punti di integrazione della formula di quadratura  Metodo di Nyström

Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli planari da impiegare in presenza di spigoli

Per costruire una formula di ordine ℓ, è necessario calcolare coordinate e fattori peso di un opportuno numero di punti di integrazione, in modo che la formula integri esattamente funzioni polinomiali di grado ≤ ℓ Per costruire una formula di ordine ℓ, è necessario calcolare coordinate e fattori peso di un opportuno numero di punti di integrazione, in modo che la formula integri esattamente funzioni polinomiali di grado ≤ ℓ Numerose formule sono state derivate per integrare funzioni definite su domini triangolari. In ambito elettromagnetico si impiegano comunemente le formule di Gauss-Legendre, spesso si fa uso di quella di Radon ( quinto ordine, sette punti, tipo aperto, integra esattamente polinomi di quinto grado con il minimo numero di punti di quadratura ) Numerose formule sono state derivate per integrare funzioni definite su domini triangolari. In ambito elettromagnetico si impiegano comunemente le formule di Gauss-Legendre, spesso si fa uso di quella di Radon ( quinto ordine, sette punti, tipo aperto, integra esattamente polinomi di quinto grado con il minimo numero di punti di quadratura )  Derivazione delle formule

Alcune componenti del campo e.m. possono divergere in prossimità di uno spigolo di angolo interno α Alcune componenti del campo e.m. possono divergere in prossimità di uno spigolo di angolo interno α Coordinate cartesiane, spigolo su asse x, celle triangolari aventi un lato sullo spigolo e appartenenti al piano xy : il comportamento singolare è del tipo Oggetti dielettrici di costante dielettrica ε 1 immersi in un mezzo uniforme di costante dielettrica ε 2 : Spigoli perfettamente conduttori:  Derivazione delle formule ( 0.5 ≤ υ ≤ 1 ) ( se 0 < α < π ) ( se π < α < 2 π ) ( se 0 ≤ α < π )

Applicazione del metodo di Radon per derivare nuove formule di quadratura 2D per triangoli planari, di quinto ordine, a sette punti, con funzione peso divergente algebricamente lungo un lato Applicazione del metodo di Radon per derivare nuove formule di quadratura 2D per triangoli planari, di quinto ordine, a sette punti, con funzione peso divergente algebricamente lungo un lato R2R2 La costruzione delle formule è basata sulla ricerca di tre polinomi di terzo grado, ortogonali rispetto alla funzione peso, linearmente indipendenti, per il dominio triangolare di integrazione R 2, che abbiano sette zeri comuni La costruzione delle formule è basata sulla ricerca di tre polinomi di terzo grado, ortogonali rispetto alla funzione peso, linearmente indipendenti, per il dominio triangolare di integrazione R 2, che abbiano sette zeri comuni  Derivazione delle formule

Per un dominio R n e un peso w ( x 1,..., x n ), esistono Per un dominio R n e un peso w ( x 1,..., x n ), esistono polinomi ortogonali di base linearmente indipendenti, ognuno ortogonale su R n, rispetto a w, a tutti i polinomi Q d-1 di grado ≤ d -1. N ( n -1, d ) è il numero di monomi distinti x 1 α 1 x 2 α 2...x n α n di grado d. Se n=2 e d=3, i polinomi ortogonali di base sono e vogliamo che soddisfino la condizione: (n,m=0,1,2,3 e n+m=3)  Derivazione delle formule

Perché i tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 abbiano sette zeri comuni: Perché i tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 abbiano sette zeri comuni: dove Q 1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità: Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: e perché P 3,3 sia di terzo grado:  Derivazione delle formule

Perché i tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 abbiano sette zeri comuni: Perché i tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 abbiano sette zeri comuni: dove Q 1,j (j=1,2,3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità: Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: e perché P 3,3 sia di terzo grado:  Derivazione delle formule

In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 sono nove: In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi P 3,1, P 3,2 e P 3,3 sono nove:  due complessi coniugati  sette reali, comuni a tutti e tre i polinomi Se i sette zeri reali sono distinti si possono usare come punti di integrazione in una formula di quadratura di quinto ordine Se i sette zeri reali sono distinti si possono usare come punti di integrazione in una formula di quadratura di quinto ordine I fattori peso si calcolano imponendo che la formula sia esatta per un insieme arbitrario di sette polinomi di grado ≤ 5 I fattori peso si calcolano imponendo che la formula sia esatta per un insieme arbitrario di sette polinomi di grado ≤ 5  Derivazione delle formule

Spigoli perfettamente conduttori Spigoli perfettamente conduttori  Calcolo punti e pesi per casi significativi

Spigoli dielettrici Spigoli dielettrici  Calcolo punti e pesi per casi significativi

 Verifiche accuratezza numerica Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare Esempio: x μ, con υ =2/3 (spigolo PEC di angolo interno α =90°) Valore esatto dell’integrale : (Γ è la funzione Gamma di Eulero) Integrazione mediante la nuova formula : Integrazione mediante formule note in letteratura per integrandi regolari :

 Verifiche accuratezza numerica Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare x μ, con υ =2/3 (spigolo PEC di angolo interno α =90°) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI

 Verifiche accuratezza numerica Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare x μ, con υ =2/3 (spigolo PEC di angolo interno α =90°) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

 Verifiche accuratezza numerica Funzioni trigonometriche oscillanti Funzioni trigonometriche oscillanti Es.: e -jkR /(4πR), con R=|r - r’|, υ =2/3, singolarità r in ( x, y )=(-1, -1) Valore esatto dell’integrale : Mathematica TM, procedure adattive per l’integrazione 2D, accuratezza controllabile posta uguale a CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI

 Verifiche accuratezza numerica Funzioni trigonometriche oscillanti Funzioni trigonometriche oscillanti Es.: e -jkR /(4πR), con R=|r - r’|, υ =2/3, singolarità r in ( x, y )=(-1, -1) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

Applicazione delle nuove formule alla soluzione di problemi di diffrazione da oggetti 3D

Come esempio di applicazione delle nuove formule di quadratura a un problema pratico di diffrazione, si presenta il calcolo della sezione trasversa di scattering RCS ( Radar Cross Section ) di un oggetto metallico 3D Come esempio di applicazione delle nuove formule di quadratura a un problema pratico di diffrazione, si presenta il calcolo della sezione trasversa di scattering RCS ( Radar Cross Section ) di un oggetto metallico 3D Metodo di Nyström per la soluzione numerica dell’equazione integrale di campo magnetico MFIE ( Magnetic Field Integral Equation ) Metodo di Nyström per la soluzione numerica dell’equazione integrale di campo magnetico MFIE ( Magnetic Field Integral Equation ) n è la normale esterna alla superficie S dell’oggetto conduttore g è la funzione di Green scalare per lo spazio libero occupato dal mezzo in cui è immerso l’oggetto H inc,2 è il campo magnetico incidente sull’oggetto conduttore J S è la densità di corrente superficiale equivalente  Applicazione delle formule

Gradiente funzione di Green scalare: al limite di sommabilità su una superficie, ha singolarità del tipo 1/R 2  integrali impropri. Gradiente funzione di Green scalare: al limite di sommabilità su una superficie, ha singolarità del tipo 1/R 2  integrali impropri. Il termine che lo contiene è nullo se la variabile di integrazione descrive un elemento planare arbitrario al quale appartiene il punto di osservazione. Quindi se si usa una griglia di elementi planari per discretizzare l’oggetto metallico, l’equazione MFIE non pone problemi di singolarità e può essere discretizzata con la procedura di Nyström:  Applicazione delle formule

N T è il numero di triangoli planari della griglia N Q è il numero di punti della formula di quadratura h=1,...,N T k=1,...,N Q Proiettando sulla base ortonormale associata a ciascun triangolo della griglia e decomponendo i vettori incogniti secondo le stesse basi  sistema lineare algebrico con 2N Q N T incognite  Applicazione delle formule

L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza dei risultati, L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza dei risultati, a parità di accuratezza è quindi possibile ridurre N T  riduzione numero incognite  riduzione memoria occupata e tempi di calcolo RCS NEL PIANO DI E PER UN CUBO PEC ILLUMINATO NORMALMENTE DA UN’ONDA PIANA INCIDENTE SU UNA DELLE SUE FACCE

 Sono state studiate procedure numeriche basate sulla rappresenta- zione integrale del campo e.m. nel dominio spaziale, metodo BEM  Sono state sviluppate nuove formule di quadratura 2D per triangoli planari, utili per integrare funzioni che divergono algebricamente lungo un lato del triangolo  Sono stati calcolati punti e pesi di quadratura per diversi casi significativi, è stata verificata l’accuratezza delle formule  Le formule di quadratura proposte permettono di tener conto delle singolarità del campo nel metodo numerico adottato, ad esempio utilizzando opportune funzioni base vettoriali nel metodo dei momenti o discretizzando direttamente gli operatori integrali al contorno nel metodo di Nyström  L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza delle soluzioni calcolate in problemi di scattering e radiazione  vantaggi computazionali  Conclusioni

Grazie per l’attenzione P. Burghignoli, L. Pajewski, F. Frezza, A. Galli e G. Schettini, “ Improved quadrature formulas for boundary integral equations with conducting or dielectric edge singularities ”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation vol. 52(2), pp , aprile 2004