IL LINGUAGGIO MATEMATICO SECONDO INCONTRO cristimartin@alice.it MARIA CRISTINA MARTIN cristimartin@alice.it

DELL’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO EMOZIONALITA’ DELL’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO IN MATEMATICA Le prime emozioni, positive o negative, sono associate all’insegnante (convinzione delle proposte, piacere e gusto per la disciplina…), alla curiosità per l’argomento, al contesto sociale della classe; 2. il bambino si costruisce le convinzioni su andar bene/andar male in matematica se percepisce il proprio fallimento di fronte alle conoscenze, con ricaduta sull’immagine di sé, per cui l’aspetto fallimentare diventa irreversibile; 3. l’interpretazione fallimentare dell’esperienza matematica è associata al senso di inadeguatezza, alla confusione, alla mancanza di consequenzialità esplicita nel percorso didattico ed alla percezione di incontrollabilità dei concetti matematici; 4. l’errore è la principale fonte di inadeguatezza; il tempo (troppo veloce e poco agevole) è la principale fonte di confusione, incontrollabilità; 5. queste emozioni generano comportamenti di rinuncia al controllo dei propri processi di pensiero, rinuncia a pensare, risposte a caso 2

COME INTERVENIRE? Presentare la matematica come disciplina controllabile, stimolante, dinamica Incoraggiare l’alunno, giudicando la prestazione e non la persona, sdrammatizzando l’errore e ri-orientandolo. 3

Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti … CONCRETAMENTE Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti (tanti e diversi da memorizzare) Dare tempo, dirigendo l’impegno ed individuando obiettivi realistici Riconoscere i piccoli progressi Non far uso della didattica implicita, ma dominare il più possibile l’estensione del concetto prima di affrontarlo Individuare tutti gli elementi di un concetto e lavorare su di loro separatamente prima di lavorare sul concetto completo (per gli alunni sarà più facile capire e partecipare) Aver chiari i nodi concettuali dei percorsi didattici ed i possibili legami Non affrontare un argomento se non si è più che convinti di dominarlo correttamente Fare attenzione alle domande degli alunni che ci mettono in crisi (non bloccarle per dimostrare di non essere stati colti impreparati, ma utilizzarle per sviluppare la propria conoscenza prima ed il percorso didattico poi). 4

METODO NATURALE È la proposta di fare riferimento alla vita reale nell'impostare l'attività didattica, nella scelta degli strumenti e dei i metodi di lavoro. Non è mancanza di struttura o libertà di non far niente È pedagogia dell’ascolto del soggetto che apprende È saper dare a ciascuno secondo i bisogni e non secondo i desideri Richiede ai i docenti ETICA DELLA RESPONSABILITÀ E DELLA CURA

IL CONCETTO DI NUMERO

Quantità, simbolo, misura… ENTE IDEALE Cos’è un numero? Quantità, simbolo, misura… ENTE IDEALE Linguaggio comune: NUMERI DI qualcosa Numero è elemento di un insieme numerico Statuto dei numeri Scrittura decimale

I MONDI DEI NUMERI NELLA SCUOLA PRIMARIA NUMERI NATURALI: N Uso scolastico (conteggio, quantità, misura) Usi sociali (canali TV…) 0 è pari? PARI E DISPARI… Se pari è numero 2n, allora è n+n, ossia somma di numeri uguali 0=0+0… 8

NUMERI INTERI RELATIVI: Z Uso matematico: a-b=c Uso generale: 0 “spartitraffico”, i numeri che vengono prima sono negativi, quelli che vengono dopo sono positivi 9

Uso scolastico: quantità discrete e continue, misura NUMERI RAZIONALI: Q Uso matematico: a : b = c Uso scolastico: quantità discrete e continue, misura Il sottomondo dei NUMERI DECIMALI FINITI ( frazioni con denominatore potenze di dieci) è il più usato,spesso caratterizzandolo con la virgola, che è invece un accidente. Le frazioni proprie, improprie ed apparenti non hanno significato in matematica Numeri pari e dispari, primi e composti “muoiono” In relazione alla densità, tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali 10

I “buchi” lasciati vuoti dai razionali sulla retta numerica NUMERI REALI : R Numeri fissi, Л…. I “buchi” lasciati vuoti dai razionali sulla retta numerica sono riempiti dai reali (secondo la caratteristica della completezza) 11

Punto di arrivo nella scuola primaria è: a = b x q + r LA DIVISIBILITÀ Punto di arrivo nella scuola primaria è: a = b x q + r se a è MULTIPLO di b allora a è DIVISIBILE per b se a è MULTIPLO DI q allora a è DIVISIBILE per b b e q sono DIVISORI o SOTTOMULTIPLI di a c’è un numero minore di tutti i numeri? (c’è un numero di cui tutti gli altri sono multipli?) c’è un numero maggiore di tutti i numeri? (c’è un numero multiplo di tutti i numeri?) 12

SUCCESSIVO sintesi UNO DI PIÙ NUMERO NATURALE SUCCESSIVO sintesi UNO DI PIÙ ORDINALITÀ CARDINALITÀ

POSSIBILE PERCORSO PER L’ACQUISIZIONE DEL CONCETTO DI NUMERO NATURALE recupero delle “conoscenze numeriche “ precedenti ORDINALITÀ ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESI filastrocca numerica prima/dopo associazione della sequenza verbale all’attività manipolativa modulo, regola generatrice ed accento di una successione le trasformazioni punto d’origine trasformazioni di posizione in successioni ordinate semiretta ordinata la linea dei numeri direzione e verso trasformazioni di posizione sulla linea dei numeri (gradualmente da 0 a 9 ) funzione successioni con cicli semplici funzione “+1” ed inversa (“-1”) successioni con cicli sovrapposti (2x2x2, 3x3x3, l’anno [7x4x12])

CARDINALITÀ ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESI NUMERO NATURALE ATTIVITÀ tanti/quanti (uno ogni uno) corrispondenza biunivoca di più/ di meno prevalenza/suvvalenza numerosità dell’insieme Equipotenza quanti di più Inclusione nuclei percettivi (carte di Papy…), (regoli) insieme complemento raggruppamenti in diverse basi numero come misura NUMERO NATURALE ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESI numero ordinale (successivo) composto con numero cardinale (uno di più) insieme N determinato dalla funzione “+1” Regole di scrittura del numero in contesti multibase polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della base dieci.

APPROCCIO ORDINALE … ? ? ?

… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 ? 4 ? ? 4 6

POLINOMIO ORDINATO SECONDO LE POTENZE DECRESCENTI DELLA BASE DIECI I NUMERI NATURALI POLINOMIO ORDINATO SECONDO LE POTENZE DECRESCENTI DELLA BASE DIECI 2014 = 2•103 + 0•102 + 1•101 + 4•100 a • bc a = coefficiente b = base c = esponente CICLI SOVRAPPOSTI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 h da u 1 2 3 4 5 b u q 1 2 u b q c

I cicli sovrapposti Lavorando con i cicli sovrapposti, i bambini manipolano i concetti di base ed esponente operando con piccole quantità. n0 n1 n2 n3

G P

Per ogni contatore uno strumento….

a La sequenza di blocchi ci porta ad una lettura che diventa un’esecuzione musicale poliritmica

… e se fossero numeri…. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

La stessa struttura ciclica può essere utilizzata con le quantità, usando qualsiasi base numerica. In questo caso l’esempio è riferibile alla base tre. SCATOLA PIATTO BICCHIERE SCIOLTO REGOLE DEL GIOCO PER SCRIVERE IL NUMERO CORRISPONDENTE AD UNA QUANTITA’ DI TAPPI: OGNI VOLTA CHE NE HAI TRE RIEMPI UN BICCHIERE, TRE BICCHIERI RIEMPONO UN PIATTO, TRE PIATTI RIEMPONO UNA SCATOLA.

/ 2 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X REGISTRANDO IN TABELLA / 2 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

LE STRUTTURE ADDITIVE

L’ADDIZIONE È UN’OPERAZIONE? È BINARIA È INTERNA LEGGE CHE STABILISCE UN RAPPORTO FRA NUMERI NATURALI UN MODO DI COMBINARE TRA LORO NUMERI NATURALI È BINARIA Combina 2 elementi alla volta È INTERNA Il risultato è sempre un numero naturale

COMPETENZE NECESSARIE PER SAPER SCEGLIERE LE OPERAZIONI GIUSTE DA APPLICARE AD ALCUNI DATI E IN QUALE ORDINE RISOLVERE TANTE COMPETENZE DISTINTE, LA CUI COSTRUZIONE SPONTANEA RICOPRE UN PERIODO DI TEMPO MOLTO LUNGO 3/4 ANNI STATO INIZIALE, TRASFORMAZIONE CONOSCIUTA, RICERCA STATO FINALE (CON VALORI NUMERICI MOLTO PICCOLI E DOMINI DI RIFERIMENTO FAMILIARI) ?

CRESCENDO… SI AMPLIANO I VALORI NUMERICI (GRANDI NUMERI, DECIMALI, FRAZIONI…) AUMENTANO I DOMINI DI RIFERIMENTO (GRANDEZZE SPAZIALI, FISICHE…)

CONCETTO INTUITIVO DI ADDIZIONE METTERE INSIEME Addizione deve far aumentare il valore dello stato iniziale INTORNO AD UN TAVOLO CI SONO 4 BAMBINI E 7 BAMBINE. QUANTI SONO IN TUTTO? GIOVANNI HA SPESO 4 EURO. ORA HA IN TASCA 7 EURO. QUNTI SOLDI AVEVA PRIMA DI FARE LA SPESA? ROBERTO HA GIOCATO DUE PARTITE. NELLA PRIMA HA PERSO 4 PUNTI, MA ALLA FINE DELLA SECONDA ERA IN VANTAGGIO DI 7 PUNTI. COSA È SUCCESSO NELLA SECONDA PARTITA?

L’INTUIZIONE PRIMITIVA NON PUÒ ESSERE SRADICATA COMPLETAMENTE OCCORRE SVILUPPARE NELLA PRATICA UNA STRUTTURA SECONDARIA PER CONDURRE L’APPRENDENTE A RIGETTARE PROCEDURE SBAGLIATE O LIMITATE, PER SOSTITUIRLE CON PROCEDURE PIÙ FORTI E UNIVERSALI

STRUTTURE ADDITIVE MISURE E TRASFORMAZIONI SONO STRUTTURE IN CUI LE RELAZIONI POSSIBILI SONO SOLO ADDIZIONI E SOTTRAZIONI. I problemi di tipo additivo possono essere relativi a MISURE E TRASFORMAZIONI Ho 6 biglie di vetro e 8 di acciaio. Quante in tutto? 6+8=14

UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA MISURA E DÀ UNA MISURA Avevo 7 biglie, ne ho vinte 4. Quante ne ho ora? 7 + (+4)= 11

UNA RELAZIONE COLLEGA DUE MISURE Ho 8 biglie, Mario 5 in meno, quante ne ha Mario? 8+(- 5)=3

DUE TRASFORMAZIONI SI COMPONGONO PER DARE UNA TRASFORMAZIONE Ieri ho vinto 6 biglie, oggi ne ho perse 4. Quante ne ho vinte in tutto? (+6) + (-4)= (+2)

UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA RELAZIONE E DÀ UNA RELAZIONE Devo restituire 6 biglie a Mario, gliene do 4, quante gliene devo ancora dare? (-6)+(+4)=(-2)

DUE RELAZIONI SI COMPONGONO E DANNO UNA RELAZIONE Devo 6 biglie a Mario e Mario deve 4 biglie a me. Quante biglie devo ancora a Mario? (-6)+(+4)=(-2)

UNIRE AGGIUNGERE CONFRONTARE TOGLIERE SIGNIFICATO STATICO SIGNIFICATO DINAMICO A D I Z O N E UNIRE AGGIUNGERE S T R CONFRONTARE (differenza) TOGLIERE (resto)

MODELLI PRIMITIVI TACITI Interpretazioni significative di nozioni matematiche, che si sviluppano ad uno stadio iniziale del processo d’apprendimento (spesso suggerita in modo esplicito dall’insegnante) e che continuano ad influenzare tacitamente le interpretazioni e le decisioni risolutive dell’allievo Fischbein OPERAZIONE MATEMATICA ASPETTO ASPETTO ASPETTO FORMALE ALGORITMICO INTUITIVO PROPRIETÀ TECNICA OP. INTERNA… ADDIZIONE METTERE INSIEME, RIUNIRE SOTTRAZIONE TOGLIERE, PORTAR VIA ASPETTO “NEFASTO” DEL LIBRO DI TESTO … linguisticamente

…semplice, completa, economica STRUMENTI DIDATTICI PER LE STRUTTURE ADDITIVE LA LINEA DEI NUMERI …semplice, completa, economica ADDIZIONE SOTTRAZIONE Conteggio Conteggio Progressivo regressivo … rende palesi i vincoli della sottrazione (minuendo  sottraendo) il ruolo di 0 e 1 la proprietà commutativa dell’addizione la proprietà invariantiva della sottrazione

…stimola il distacco graduale dagli oggetti concreti, operando solo con i numeri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

LE MACCHINE MACCHINE IN SERIE TROVARE STRATEGIE DIVERSE E 7 ? ? ? ? 51 2 ? ? TROVARE STRATEGIE DIVERSE E ATTIVARE PROCESSI DI “FANTASIA” MATEMATICA

NUMERI AMICI Addizione 2 1 3 n ha n+1 coppie di numeri amici

TABELLE ruolo di 0 e 1 addizione sempre possibile (tabella completa) minuendo maggiore del sottraendo (settore vuoto in sottrazione) proprietà commutativa (simmetria tabella) numeri amici (quante volte appare un numero in tabella) + 1 2 3 4 5 6 7 8