Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 4 Grafici di funzioni e approssimazioni

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Derivate di ordine superiore Analizziamo il limite del seguente rapporto incrementale Nel caso in cui tale limite esiste si chiama derivata seconda di f in x 0 e si indica con f(x 0 ) o con uno sei seguenti simboli Il processo potrebbe continuare per n volte portando alla definizione della derivata n-esima di f Si dice anche che f(n) è la derivata di ordine n di f, per convenzione f (0) = f. f → f → f →... Esempio: f(x) = sin x + x 2 → f(x) = cos x + 2x → f(x) =  sin x

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Derivata seconda e convessità Teorema 4.1 Sia f : (a, b) → R, f derivabile due volte in (a, b), allora f è convessa (concava) se e solo se f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0) per ogni x in (a, b). Che cosa succede se cambia concavità? Definizione 4.1 (Punto di.esso) Sia f : (a, b) → R, x 0 ∈ (a, b) un punto in cui esiste la derivata (finita o meno). Il punto x 0 si dice di flesso se esiste un intorno destro di x 0 in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro di x 0 in cui f è concava (convessa).

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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Test della derivata seconda Teorema 4.2 Sia f : (a, b) → R, una funzione derivabile due volte in (a, b), x 0 ∈ (a, b) punto stazionario, f(x 0 ) = 0, i) se f(x 0 ) > 0, allora f ha un minimo locale in x 0 ; ii) se f(x 0 ) < 0, allora f ha un massimo locale in x 0.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Uno strumento di calcolo Teorema 4.3 (Regola di De l’Hôpital) Siano  ∞ ≤ a < b ≤ +∞ e f, g : (a, b) → R due funzioni tali che i) ii) f, g derivabili in (a, b), g’(x)  0 per x ∈ (a, b); iii) esiste il limite (finito o infinito) allora esiste anche il limite Quando si usa: forme indeterminate Attenzione agli abusi

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Grafico di una funzione Andar per punti... non basta Che cosa ci interessa? Informazioni locali (nel senso di intorni, anche di ±∞); informazioni globali (l’intero grafico).

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Informazioni globali Facciamo una scaletta (solo indicativa: non siamo troppo “rigidi”. Dominio Intersezioni Simmetrie Asintoti Intervalli di monotonia Massimi e minimi locali Concavità e punti di flesso Disegno del grafico qualitativo di f

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Esempio. Studiamo il grafico della funzione Non si specifica il dominio, il più grande dominio dove l’espressione di f(x) abbia senso è dom(f) = (  ∞,  1) ∪ (  1, 1) ∪ (1,+∞). L’equazione f(x) = 0 ha un unica soluzione x = 0 che fornisce l’unica intersezione con gli assi coordinati. La funzione risulta essere dispari f(x) =  f(  x). I limiti interessanti (per punti di accumulazione estremi di intervalli contenuti nel dominio) Segue…

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl La retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale, mentre la retta di equazione x = 1 e la retta di equazione x =  1 sono asintoti verticali. A questo punto sarebbe possibile un primo schizzo del grafico...

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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Calcoliamo la derivata prima Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è sempre negativo. La derivata prima è sempre strettamente negativa: le restrizioni della f in ogni intervallo componente il dominio sono strettamente decrescenti. Attenzione: parliamo di restrizioni non dell’intera funzione. Non vi sono punti stazionari. Calcoliamo la derivata seconda ….

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Lo studio del segno della derivata seconda `e riassunto nella seguente tabella La funzione risulta essere concava negli intervalli (  ∞,  1) e (0, 1) (separatamente) e convessa negli intervalli (  1, 0) e (1,+∞) (separatamente). Il punto x = 0 risulta essere un punto di flesso.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Da tutte le informazioni raccolte deduciamo il grafico qualitativo della funzione f. Provare con le funzioni analizzate nel testo (prima provare poi confrontare...)

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Approssimazioni locali: polinomio di Taylor Idea: sostituire localmente ad una funzione complicata f una sua approssimazione “semplice” (per esempio polinomiale) Esempio: tra tutte le retti passanti per il punto (x 0, f(x 0 )) del grafico di una funzione f, la retta tangente rappresenta l’approssimazione migliore della curva f(x) vicino al punto x 0. Questo ovviamente vale per le funzioni derivabili. Vogliamo approssimazioni migliori con polinomi di grado più elevato. Per esempio: tra tutte le parabole quale approssima meglio localmente? Fatto essenziale: la regolarità della funzione f (in relazione al grado del polinomio).

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Il polinomio migliore dovrà condividere localmente alcune proprietà (geometriche) della funzione f. Teorema 4.4 (Teorema di Taylor) Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n volte in x 0 ∈ (a, b), allora esiste ed è unico il polinomio Tn(x) di grado ≤ n tale che f(k)(x 0 ) = T(k) n (x 0 ), k= 0,..., n. Se inoltre f è derivabile n+1 volte in (a, b), escluso al più il punto x 0, per ogni x ∈ (a, b) esiste un c compreso tra x 0 e x tale che (resto di Lagrange). Nota: nel caso in cui x 0 si parla di polinomio di Mac Laurin.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Applicazioni: valutazione numerica di funzioni, forme indeterminate, metodi numerici,...