La logica Dare un significato preciso alle affermazioni matematiche Introdurre al ragionamento logico Applicazioni in Informatica: Disegno di circuiti Specifica di sistemi Progettazione di software Verifica di correttezza di programmi

La logica La logica proposizionale La logica dei predicati Quantificatori universali ed esistenziali Introduzione alle dimostrazioni

Proposizioni Proposizione: una sentenza dichiarativa cui è possibile assegnare, in modo non ambiguo, un valore di verità. Può essere vera o falsa ma non entrambe Variabili Proposizionali: p, q, r, s Valori di verità: vero (T) o falso (F)

Proposizioni Esempi di proposizioni: Non sono Proposizioni: 1+1=2 Parigi è la capitale della Francia Parigi è la capitale della Germania Non sono Proposizioni: Che ora è? x > 1 Carlo è alto

Proposizioni composte Nuove proposizioni formate da proposizioni esistenti usando operatori logici Chiamate anche: formule proposizionali o espressioni della logica delle proposizioni Operatori logici:  (negazione),  (congiunzione),  (disgiunzione),  (implicazione),  (equivalenza)

Negazione Se p è una proposizione, la negazione di p, denotata da p, è “non è vero che p” “not p”

TABLE 1 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_001.jpg 歐亞書局 P. 3

Congiunzione e Disgiunzione Se p e q sono proposizioni, la congiunzione di p e q, denotata p  q, è la proposizione “p and q” (“p e q” ) Se p e q sono proposizioni, la disgiunzione di p e q, denotata p  q, è la proposizione “p or q” (“p o q” )

TABLE 2 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_002.jpg 歐亞書局 P. 4

TABLE 3 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_003.jpg 歐亞書局 P. 4

Disgiunzione esclusiva Se p e q sono proposizioni, la disgiunzione esclusiva di p e q, denotata p  q, è la proposizione che è vera esattamente quando una tra p e q è vera (ma non entrambe)

TABLE 4 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_004.jpg 歐亞書局 P. 6

Implicazione (conditional statement) Se p e q sono proposizioni, la implicazione p  q è la proposizione “ se p allora q” p: ipotesi (o antecedente o premessa) q: conclusione (o conseguenza)

Se p allora q Molti modi per esprimere l’implicazione: q se p, q quando p, q ogni qualvolta che p, p è (condizione) sufficiente per q, q è (condizione) necessaria per p, p solo se q, q a meno che “not p” …..

TABLE 5 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_005.jpg 歐亞書局 P. 6

Implicazione Inversa, Contraria, Contronominale p  q Inversa: q  p (Converse) Contronominale: q  p (Contrapositive) Contraria: p   q (Inverse)

Inversa, Contraria, Contronominale Due proposizioni composte sono equivalenti se hanno sempre lo stesso valore di verità Ogni implicazione p  q è equivalente al proprio contronominale  q   p L’inversa q  p è equivalente alla contraria p   q (ma non sono equivalenti a p  q )

Doppia Implicazione (biconditional statement) Se p e q sono proposizioni, la doppia implicazione p  q è la proposizione “p se e solo se q.” “p è condizione necessaria e sufficiente per q” “p iff q”

TABLE 6 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_006.jpg 歐亞書局 P. 9

Uso implicito di doppia implicazione La doppia implicazione non è sempre esplicita nel linguaggio naturale “Se mangi tutta la minestra, allora puoi avere il dolce.” Con il significato: “Puoi avere il dolce se e solo se mangi tutta la minestra.” Doppia implicazone implicita nelle definizioni: “n è pari se è divisibile per 2” ma è implicita l’implicazione inversa

Tavoledi verità per le proposizioni composte TABLE 7 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_007.jpg 歐亞書局 P. 10

Precedenza degli operatori logici La negazione è applicata prima degli altri operatori La congiunzione ha precedenza sulla disgiunzione Implicazione e doppia implicazione hanno precedenza più bassa Le parentesi sono usate quando sono necessarie

TABLE 8 (1.1) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_1_008.jpg 歐亞書局 P. 11

Tradurre frasi del linguaggio naturale

Specifiche di sistema Controllo di non ambiguità Verifica della consistenza Quando il software del sistema è in aggiornamento, gli utenti non possono accedere al file system. Gli utenti possono salvare nuovi file se possono accedere al file system. Se gli utenti non possono salvare nuovi file, allora il software del sistema non è in aggiornamento.

Tautologie e contraddizioni Tautologia: una proposizione composta che è sempre VERA Equivalente a T p  p Contraddizione: una proposizione composta che è sempre FALSA Equivalente a F p  p

TABLE 1 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_001.jpg 歐亞書局 P. 22

Equivalenza logica Proposizioni composte che hanno lo stesso valore di verità in ogni possibile caso p e q sono logicamente equivalenti if p  q è una tautologia denoted by p  q or p  q

Equivalenza logica - Esempi Leggi di De Morgan:  (p  q)   p   q (p  q)   p   q Distributività: p  (p  r)  (p  q)  (p  r) Proprietà dell’implicazione: p  q   p  q

TABLE 3 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_003.jpg 歐亞書局 P. 22

TABLE 4 (1.2) pq p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_004.jpg 歐亞書局 P. 23

TABLE 5 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_005.jpg 歐亞書局 P. 23

TABLE 6 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_006.jpg 歐亞書局 P. 24

TABLE 7 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_007.jpg 歐亞書局 P. 25

TABLE 8 (1.2) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_2_008.jpg 歐亞書局 P. 25

Construire Nuove Equivalenze Logiche Come mostrare equivalenze logiche: Usare una tavola di verità Usare equivalenze logiche già note

Dimostrazioni Una dimostrazione è una valida argomentazione che stabilisce la verità di una affermazione matematica Argumentazione: una sequenza di affermazioni che portano ad una conclusione Valida: la conclusione deve seguire dalle affermazioni precedenti (premesse) Regole di Inferenza

Argomentazioni valide nella Logica Proposizionale “Se hai una password corrente, allora puoi entrare nella rete” “Tu hai una password corrente” Quindi, “Puoi entrare nella rete” Regola di Inferenza (Modus ponens) p q p ______ :q

TABLE 1 (1.5) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_5_001.jpg 歐亞書局 P. 66

Un esempio Conclusione: “Oggi torniamo a casa prima del tramonto” “Oggi non c’è il sole” “Andiamo al mare solo se c’è il sole” “ Quando non andiamo al mare, facciamo una passeggiata” “Se facciamo una passeggiata, torniamo a casa prima del tramonto” Conclusione: “Oggi torniamo a casa prima del tramonto”

Attenzione! ((p  q) q)  p non è una tautologia “Se fai tutti gli esercizi imparerai bene la materia. Tu hai imparato bene la materia Quindi, tu hai svolto tutti gli esercizi.” CONCLUSIONE ERRATA ((p  q) p)  q non è una tautologia

Logica dei Predicati Predicato: una proprietà che il soggetto della frase può soddisfare Ex: x>3 x: variabile >3: predicato P(x): x>3 FUNZIONE PROPOIZIONALE P(x1,x2, …, xn): predicato con n argomenti

Quantificatori Quantificazione universale: un predicato è vero per ogni elemento Quantificazione esistenziale: c’è uno o più elementi per cui un predicato è vero

Quantificatore universale Dominio (o Universo): elementi cui si fa rierimento nelle affermazioni La quantificazione universale di P(x) è: “P(x) vale per tutti i valori di x nel dominio denotato da x P(x) Contresempio: un elemento per cui P(x) è falso Quandi gli elementi del dominio possono essere listati è equivalente a: P(x1) P(x2) … P(xn)

Quantificatore esistenziale La quantificazione esistenziale di P(x) è: “esiste un valore di x nel dominio tale che P(x) vale” per tutti i valori di x nelThe existential Denotato da x P(x) Quandi gli elementi del dominio possono essere listati è equivalente a: P(x1) P(x2) … P(xn)

TABLE 1 (1.3) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_3_001.jpg 歐亞書局 P. 34

Altri quantificatori !x P(x) or 1x P(x) Esiste un unico valore di x tale che P(x) è vero Quantificatori con domini ristretti: x<0 (x2>0) Condizionale: x(x<0  x2>0) z>0 (z2=2) Congiunzione: z(z>0  z2=2)

Precedenza di quantificatori  e  hanno precedenza maggiore di tutti gli operatori logici Ex: x P(x) Q(x) (x P(x)) Q(x)

Equivalenze logiche che coinvolgono quantificatori Espressioni logiche che coinvolgono predicati e quantificatori sono logicamente equivalenti se e solo se essi hanno lo stesso valore di verità E.g. x (P(x)  Q(x)) and x P(x)  x Q(x)

Negare le espressioni quantificate x P(x)  x P(x) Negazione di “Tutti gli studenti della classe frequentano il corso di Programmazione”: “C’è uno studente della classe che non frequenta il corso di Programmazione” x Q(x)  x Q(x)

TABLE 2 (1.3) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_3_002.jpg 歐亞書局 P. 41

Tradurre il linguaggio naturale in espressioni logiche “Ogni studente della classe ha studiato Matematica Discreta” x (x ha studiato M.D.) “Alcuni studenti hanno visitato il Messico”: x (x ha visitato il Messico) “Tutti gli studenti hanno visitato il Messico o il Canada” : x ((x ha visitato il Messico)  (x ha visitato il Canada))

Quantificatori annidati Due quantificatori sono annidati se uno è nello scope dell’altro x y (x+y=0) x  y ((x>0)  (y<0)  (xy<0)) L’ordine dei quantificatori è importante a meno che non siano tutti universali o tutti esistenziali

TABLE 1 (1.4) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_4_001.jpg 歐亞書局 P. 53

Regole di Inferenza per espressioni quantificate Instanziazione universale x P(x), P(c) Generalizzazione universale P(c) per un generico c, x P(x) Instanziazione esistenziale x P(x), P(c) per un c Generalizzazione esistenziale P(c) per un c,  x P(x)

TABLE 2 (1.5) p:\msoffice\My Projects\Rosen 6e 2007\Imagebank\JPEGs07-24-06\ch01\jpeg\t01_5_002.jpg 歐亞書局 P. 70

Generalizzazioni delle regole di inferenza Combinare regole di infrenza per proposizioni ed espressioni quantificate Universal modus ponens x (P(x)  Q(x)) P(a), dove a è un particolare elemento nel dominio Q(a) Universal modus tollens x (P(x)  Q(x)) Q(a) , dove a è un particolare elemento nel dominio P(a)