Analisi e Gestione del Rischio Lezione 10 Rischio di prodotti strutturati VaR ed Expected Shortfall

Analisi del rischio di prodotti strutturati Analisi dei pay-off Definizione del portafoglio di replica Analisi dei fattori di rischio presenti nel prodotto. Analisi della sensitività ai fattori di rischio Definizione dei fattori di rischio principali Comunicazione dei fattori di rischio all’investitore.

Analisi dei pay-off: richiami L’analisi dei pay-off deve distinguere: –Il piano di rimborso –Il piano cedole E’ importante appurare se e in quali scenari il capitale impiegato nell’investimento viene perso, in quale misura massima e minima. E’ importante appurare se la durata dell’investimento è definita o può variare in funzione di eventi esterni o decisioni dell’investitore o dell’emittente. E’ importante definire se le cedole sono fisse o variabili e in quale intervallo possono variare.

Portafoglio di replica: richiami Si individuano i prodotti derivati presenti nella struttura. In generale, utilizzeremo le scomposizioni, che derivano dalla parità put-call, introdotte nella lezione 2: Max(y,k) = k + max(y – k, 0) = y + max(k – y, 0) Min(y,k) = k – max(k – y, 0) = y – max(y – k, 0)

Analisi dei fattori di rischio Vengono passati in rassegna i fattori di rischio presenti nella struttura. Rischio di tasso d’interesse, legato ai movimenti della struttura dei tassi privi di rischio Rischio emittente: legato alla dinamica degli spread di credito dell’emittente Rischio sottostante: legato alla dinamica dei titoli sottostanti i contratti derivati che fanno parte del portafoglio di replica Rischio opzione: legato a prodotti derivati non lineari che sono presenti nel portafoglio di replica.

Analisi della sensitività ai fattori di rischio La sensitività al rischio di tasso è misurata da duration e convexity rispetto alla curva risk-free (o da modelli più complessi di bucket hedging) La sensitività al rischio emittente è misurata da duration e convexity della curva dell’emittente. La sensitività al sottostante è misurato dal delta e dei derivati presenti nella struttura La sensitività al rischio opzione è misurata dal gamma e vega delle opzioni presenti nella struttura (sensitività a cambi di volatilità e correlazione.

Definizione dei fattori di rischio principali Nella comunicazione al pubblico è importante focalizzare i fattori di rischio principali ed esporli in modo da attrarre l’attenzione su quelli maggiori. Per questo motivo in fase di analisi si stabilisce una sorta di “gerarchia dei rischi” al fine di esporli in ordine di rilevanza decrescente. La definizione di tale gerarchia è in genere basata su due considerazioni: i) l’individuazione dei

Comunicazione dei fattori di rischio all’investitore La comunicazione deve essere sintetica e focalizzata sui fattori di rischio principali. Deve essere completa per quanto riguarda la definizione dell’anagrafica del titolo. Per l’investitore non sofisticato non viene utilizzata la descrizione del portafoglio di replica, ma viene fornita una descrizione dei principali effetti che emergono dalla scomposizione e vengono elencati i rischi in ordine decrescente.

Protected Equity Certificate Abn Amro

Protection Bull Sottostante iniziale = 4200 Valore Nominale = 1 Protezione del Capitale (protection) = 0,9 Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1 Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,1 Rendimento massimo (cap) = NA

Descrizione del prodotto Il valore finale è definito come il rapporto tra il valore del sottostante a scadenza sul valore del sottostante iniziale: VF = Sottostante (T) /Sottostante(0) Il pay-off è riferito all’ammontare nominale VN Il fine del prodotto, da prospetto informativo è di “avvantaggiarsi di eventuali rialzi del Sottostante, proteggendosi da eventuali ribassi del Sottostante”.

Pay-off a scadenza Secondo il prospetto, se alla scadenza abbiamo VF > 1 l’investitore riceve: VN[Protection + Part1*(1 – Protection) + Part2*(VF – 1)] Se alla scadenza Protection < VF < 1 l’investitore percepisce: VN[Protection + Part1*(VF – 1)] Se infine VF < Protection l’investitore ottiene VN[Protection]

Piano di rimborso…

…più cedola

“Lo strano caso” part1 < 1

Informazione al pubblico (Bull) Il titolo Protection Bull è composto di un piano cedole e di rimborso del capitale come segue La cedola è legata alla performance di un indice di borsa, e paga alla scadenza l’apprezzamento dell’indice moltiplicato per una percentuale. Paga zero in caso contrario Il rimborso del capitale NON è garantito. La perdita di capitale massima è 1 meno il livello di protezione e si verifica quando l’indice di borsa alla scadenza ha fatto registrare una perdita di ammontare corrispondente. Per certi valori dei parametri (partecipazione 1 e protezione entrambi minori di 1) il capitale NON verrà restituito integralmente in nessun caso.

Portafoglio di replica (Bull) Il Protection Bull certificate è così composto: Cedola: Lungo opzioni call sul sottostante con strike pari a 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 2. Rimborso: –Lungo titolo privo di rischio per un valore nominale pari alla percentuale di protezione per il valore nominale. –Lungo call spread con strike pari al livello di protezione e 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 1.

Cap Protection Bull Sottostante iniziale = 4200 Valore Nominale = 1 Protezione del Capitale (protection) = 0,9 Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1 Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,4 Rendimento massimo (cap) = 1,3

Definizione del cap Vogliamo una posizione corta in part2 opzioni call, con strike K tale che nel caso VF > K, abbiamo Protection + Part1*(1 – Protection) + Part2*(VF – 1) – Part2(VF – K) = Cap K = 1 + [Cap – Protection – – Part1*(1 – protection)]/Part2

Considerazioni sulla trasparenza Si noti che il modo in cui è presentato il cap risente della confusione che viene fatta tra piano cedole e piano di rimborso. Dire che il rendimento massimo è limitato al 30%, per esempio, non significa che il titolo consente di partecipare a rialzi del mercato fino al 30%. Nell’ipotesi in cui il tasso di protezione è 90% e il tasso di partecipazione 1 è pari a 1, e il tasso di partecipazione 2 è pari a 140%, la cedola partecipa all’apprezzamento del sottostante fino al 21,43%.

Capped Bull Protection

Sensitività Il titolo Protection Bull sarà lungo del sottostante. La cedola è infatti rappresentata da un’opzione call che è lunga nel sottostante e il derivato presente nel piano di rimborso è un call spread, anch’esso lungo nel sottostante. Anche il titolo capped sarà lungo nel sottostante: si tratta infatti della somma di due call spread. Per quanto riguarda la sensitività alla volatilità, il segno è incerto e dipende dalla distanza tra gli strike price dei call spread.

Sensitività al sottostante

Sensitività alla volatilità

Critiche al Value-at-Risk La problematica delle misure coerenti di rischio (approccio assiomatico alle misure di rischio) Tecniche alternative (o complementari): expected shorfall, stress testing. Il rischio di liquidità

Misure coerenti di rischio Nel 1999 Artzner, Delbaen e Eber e Heath affrontarono il seguente problema “Che caratteristiche deve avere una misura di rischio per essere ben definita?” Assiomi di una misura di rischio  Positive homogeneity:  ( X) = (X)  Translation invariance:  (X +  ) =  (X) –   Subadditivity:  (X 1 + X 2 )   (X 1 ) +  (X 2 )

Nuove misure expected shortfall Il Value-at-Risk rappresenta un percentile corrispondente ad un livello di probabilità. Critiche: –Il VaR non fornisce nessuna informazione sulla forma della distribuzione nella coda. –Il VaR di due business può essere super-additivo (unendo due business, il VaR può aumentare –In generale, il problema di ottimizzazione di un portafoglio con vincolo di VaR è complesso.

Expected shortfall L’expected shortfall è la perdita media oltre il VaR. In comune con il VaR ha il fatto che è riferito alla distribuzione di probabilità delle perdite. Consideriamo una posizione X, l’expected shortfall è definito come ES = E(X: X  VaR)

Expected shortfall: pro e contro Vantaggi: i) è una misura della forma della coda della distribuzione: ii) è sub-additiva, iii) è di facile utilizzo per ottimizzazioni di portafoglio Svantaggio: non fornisce informazione sul fatto che la fusione di due business può aumentare la probabilità di default.

Put protettiva… L’ammontare di capitale da accantonare per il rischio di una posizione X può essere visto come una posizione put. Assumiamo infatti di avere una posizione rischiosa X e di acquistare un’opzione put. Ricordiamo dalla parità put-call X + put(X,t: K, T) = E(max(X(T), K)) Quindi E(max(X(T), K)) – X(t) = put(X,t: K, T)

…ed expected shortfall La put protettiva può essere vista come una misura di expected shortfall. Infatti definiamo: –Lo strike K la misura di VaR –La scadenza T il tempo di smobilizzo Allora possiamo scrivere put(X, t: VaR, T)= E(X(T)  VaR) N.B. Nell’interpretazione finanziaria comunque il valore atteso è calcolato sotto la misura aggiustata per il rischio Q.