Enrico Giusti Il Giardino di Archimede La rivoluzione cartesiana in geometria Enrico Giusti Il Giardino di Archimede 19 ottobre 2014

La rivoluzione cartesiana in geometria

La Géométrie Libro primo: Dei problemi che possono essere costruiti per mezzo solo di cerchi e rette. Livre premier: Des problèmes qu’on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites. Livre second: De la nature des lignes courbes. Libro secondo: Della natura delle curve. Libro terzo: Della costruzione dei problemi solidi o più che solidi. Livre troisième: De la construction des problèmes qui sont solides ou plus que solides. La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo. La Géométrie Libro primo: Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di secondo grado. Enunciato e soluzione del problema di Pappo. La rivoluzione cartesiana in geometria

Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di secondo grado x2= ax+b2 O a/2 N a/2 L b M La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo Poi, dato che vi è sempre un numero infinito di punti diversi che possono soddisfare quanto qui viene richiesto, si vuole anche che sia nota e tracciata la linea sulla quale tutti questi punti debbono giacere. Date per posizione quattro, o più linee rette, innanzi tutto si richiede un punto dal quale sia possibile condurre un ugual numero di segmenti, uno su ciascuna delle date, che facciano con queste degli angoli dati [retti], e tali che il rettangolo compreso tra due [segmenti] di quelli che saranno così tracciati da uno stesso punto, stia in un rapporto dato con il rettangolo compreso tra gli altri due. La rivoluzione cartesiana in geometria

Enunciato e soluzione del problema di Pappo rk: akX + bkY + ck = 0 ak2+bk2=1 C = (x,y) d(C,rk) = |akx + bky + ck| La rivoluzione cartesiana in geometria

(a1x + b1y + c1)(a2x +b2y + c2) = = (a3x + b3y + c3)(a4x +b4y + c4) Enunciato e soluzione del problema di Pappo r1 r3 r4 r2 C d(C,rk) = |akx + bky + ck| (a1x + b1y + c1)(a2x +b2y + c2) = = (a3x + b3y + c3)(a4x +b4y + c4) La rivoluzione cartesiana in geometria

∏k=1 n (akx + bky + ck) = = ∏k=n+1 2n (akx + bky + ck) Enunciato e soluzione del problema di Pappo r1 r3 r4 r2 C d(C,rk) = |akx + bky + ck| ∏k=1 n (akx + bky + ck) = = ∏k=n+1 2n (akx + bky + ck) La rivoluzione cartesiana in geometria

Ma cos’è una curva? Enunciato e soluzione del problema di Pappo La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche. La Géométrie Libro secondo: Quali curve si possono chiamare geometriche. Il problema delle tangenti. La rivoluzione cartesiana in geometria

Costruzioni con macchine Prima di Descartes Costruzioni con macchine La rivoluzione cartesiana in geometria

Prima di Descartes Costruzioni per punti La rivoluzione cartesiana in geometria

Prima di Descartes Costruzioni con fili La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con macchine Non si devono escludere le linee più composte, purché le si possa immaginare descritte da un movimento continuo, o anche da più movimenti che si susseguono, dei quali i successivi siano interamente determinati da quelli che li precedono, dato che in questo modo si può avere sempre una conoscenza esatta della loro misura. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con macchine [Al contrario] la spirale, la quadratrice e simili … non sono nel numero di quelle che devono essere considerate, perché le si immagina descritte da due movimenti separati, e che non hanno tra loro alcun rapporto che possa essere misurato esattamente. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti in questi casi non si trovano indifferentemente tutti i punti della curva cercata, ma solo quelli che possono essere determinati mediante qualche metodo più semplice di quello necessario per descriverla. Così a rigore non si trova nessuno dei suoi punti, cioè di quelli che le appartengono a tal punto che non possano essere trovati che per mezzo suo. B C D A La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti Al contrario non c’è nessun punto, nelle linee che servono a risolvere il problema proposto, che non possa essere trovato con il metodo appena spiegato. ay=x2 y a y La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni per punti E poiché questo modo di tracciare una curva trovando indifferentemente vari suoi punti può essere applicato solo a quelle che si descrivono con un movimento regolare, non lo si deve escludere dalla geometria. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Costruzioni con fili Né si deve escludere quello in cui si fa uso di un filo per determinare l’uguaglianza o la differenza di due o più rette ... Ma non si possono accettare linee che somigliano a delle corde, cioè che diventano a volte rette e a volte curve, perché dato che il rapporto tra retto e curvo non è noto, e credo non possa mai essere conosciuto, non se ne potrebbe ricavare niente di sicuro. La rivoluzione cartesiana in geometria

Quali curve si possono chiamare geometriche Potrei mettere qui molti altri modi per tracciare linee curve via via più complesse. Ma per raccoglierle insieme tutte e distinguerle in generi, non conosco niente di meglio che dire che tutti i punti di quelle che si possono chiamare geometriche, cioè che cadono sotto una qualche misura precisa ed esatta, hanno con tutti i punti di una retta una relazione che può essere espressa con un’equazione, e tutti con la stessa. La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti Per questo crederò di aver dato tutto quanto è richiesto per lo studio delle curve, quando avrò dato in generale il modo di tirare delle rette che cadano ad angoli retti su un loro punto arbitrario. E oso dire che questo è il problema più utile e più generale, non solo che io conosca, ma che abbia mai desiderato di conoscere in geometria. La rivoluzione cartesiana in geometria

{ Q(x)=0 Q(x)=(x–x0)2 R(x) F(x,y)=0 (x-v)2+y2=s2 Il problema delle tangenti { F(x,y)=0 F(x,y)=0 (x-v)2+y2=s2 P y0 Q(x)=0 s x0 v Q(x)=(x–x0)2 R(x) La rivoluzione cartesiana in geometria

{ F(x,y)=0 (x–v)2+y2=s2 y R(x,y2) = S(x,y2) y2 R2(x,y2) = S2(x,y2) L’eliminazione della variabile y F(x,y)=0 (x–v)2+y2=s2 { y R(x,y2) = S(x,y2) y2 R2(x,y2) = S2(x,y2) y2=s2 – (x–v)2

Il problema delle tangenti (x–v)2 + y2 = s2 y2 = s2 – (x – v)2 y = x2 x4 = s2 – (x – v)2 x4 + x2 – 2xv + v2 – s2 = 0 (xo, yo ) • s v La rivoluzione cartesiana in geometria

{ Il problema delle tangenti x4 + x2 – 2xv + v2 – s2 = (x – xo)2 (x2+ax+b) { x4 + x3 (a–2xo) + x2(b+ xo2–2axo)+x(axo2–2bxo)+bxo2 = x4 +x2 –2xv +v2 – s2 y = x2 a = 2xo a–2xo = 0 b=1+3 xo2 b+ xo2–2axo = 1 (xo, yo ) s axo2–2bxo = –2v v=xo+2 xo3 v La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti (y–w)2 + x2 = t2 (y–w)2 + y – t2 = 0 y = x2 (y–w)2 + y – t2 = (y–yo)2 y2 + y (1–2w)+ w2– t2 = t y2 –2yyo + yo2 w • (xo, yo ) w= ½+yo 1–2w= –2yo La rivoluzione cartesiana in geometria

Il problema delle tangenti (x–v)2 + y2 = s2 y2 = s2 – (x – v)2 x2 [s2 – (x – v)2] = 1 xy=1 x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1=0 (xo, yo ) • s v La rivoluzione cartesiana in geometria

{ } Il problema delle tangenti x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1= (x – xo)2 (x2+ax+b) { x4 + x3 (a–2xo) + x2(b+ xo2–2axo)+x(axo2–2bxo)+bxo2 = x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1 xy=1 } bxo2 = 1 a = 2/xo3 axo2–2bxo = 0 (xo, yo ) 2v = 2xo – a • s v = xo – 1/xo3 v La rivoluzione cartesiana in geometria

{ PQ : P0Q = P0A : DA y–y0 : x–x0 = y0 : t F(x,y)=0 t(y–y0)= y0(x–x0) Un piccolo progresso : la retta tangente PQ : P0Q = P0A : DA y–y0 : x–x0 = y0 : t F(x,y)=0 t(y–y0)= y0(x–x0) {

R(x) = axm + bxm-1 + … + px + q Il metodo di Hudde Q(x)=(x–x0)2 R(x) R(x) = axm + bxm-1 + … + px + q (x2 – 2xx0 + x02) xk k+2 k+1 k (k+2–2k–2+k) x0k+2 Il polinomio Q(x) ha una radice doppia x0 se e solo se Q(x0)=0 e Q1(x0)=0.

Il metodo di Hudde Q(x) = x4 – 2vx3 + x2(v2 –s2 ) + 1 Q(xo) = xo4 – 2vxo3 + xo2(v2 –s2 ) + 1 = 0 Q1(xo) = 4xo4 – 6vxo3 + 2xo2(v2 –s2 ) = 0 Q1(x) = 4x4 – 6vx3 + 2x2(v2 –s2 ) v2 –s2 = 3vxo – 2xo2 xo4 – 2vxo3 + xo2(3vxo – 2xo2) + 1 = 0 – xo4 + vxo3 + 1 = 0 vxo3 = 1 – xo4 v = xo – 1/xo3

F(x,y) = 0 F(x+a,y+e)  0 Il metodo di Fermat Dopo aver assegnato dei nomi sia alla nostra parallela BR che a tutti gli altri termini del problema, considero di nuovo questa parallela come se l’estremo che sta sulla tangente fosse in effetti sulla curva, e tenendo conto della proprietà specifica della curva confronto questa parallela per adequazione con l’altra parallela AP tirata dal punto dato all’asse o al diametro della curva. F(x,y) = 0 F(x+a,y+e)  0

Il metodo di Fermat F(x+a,y+e)  0 e = ay : t F(x+a,y(1+a/t))  0

F(x+a,y(1+a/t))  0 Il metodo di Fermat Questo confronto per adequazione produce due termini differenti, che alla fine diventano uguali (secondo il mio metodo), dandoci la soluzione del problema. F(x+a,y(1+a/t))  0

y2(d–x) = x3 La tangente alla cissoide DG = x DH = y DA = d–x DF = t DE = a La cissoide è la curva OHI tale che DM : DG = DG : DH y2(d–x) = x3 x(d–x) : x = x : y

2x3 t = y2 +3x2 y2(d–x) – x3 = 0 y2 (1+a/t)2 (d–x–a) – (x+a)3  0 La tangente alla cissoide y2(d–x) – x3 = 0 y2 (1+a/t)2 (d–x–a) – (x+a)3  0 y2(d–x)–x3 +a [2y2(d–x)/t – y2 –3x2]+ a [2y2(d–x)/t – y2 –3x2] + = 0 +Ca + Da2  0 +Ca2 + Da3  0 t = 2x3 y2 +3x2

La costruzione delle equazioni. La Géométrie Libro terzo: La costruzione delle equazioni. La rivoluzione cartesiana in geometria

{ { x3 = 2ax + 2b x4 = 2ax2 + 2bx La costruzione delle equazioni. y = x2 { y2 = 2a y + 2bx y2 + x2 = (2a+1) y + 2bx y = x2 [y-(a+½)]2 + (x-b)2 = (a+½)2 +b2 { La rivoluzione cartesiana in geometria

{ La costruzione delle equazioni. y = x2 [y-(a+½)]2 + (x-b)2 = (a+½)2 +b2 { A H M C AC = ½ K G CD = a D E AD = a+½ DE = b F L AE = √ (a+½)2 +b2 La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il calcolo infinitesimale La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il problema delle tangenti F(x,y)=0 dy P y x B A dx La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Il problema inverso delle tangenti Data una curva, cioè una relazione F(x,y)=0 tra le variabili, trovare la relazione tra i loro differenziali Data una relazione tra i differenziali delle variabili, trovare la relazione tra le variabili, cioè la curva La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. La costruzione delle equazioni La rivoluzione cartesiana in geometria

Sviluppi e conseguenze della Géométrie. Teorema di Kempe. Qualunque curva algebrica piana può essere descritta mediante un sistema articolato . La rivoluzione cartesiana in geometria

In che senso si può parlare della rivoluzione cartesiana in geometria? 1. Dagli oggetti « nominati » agli oggetti generici. 2. Dallo studio delle proprietà di un dato oggetto alla ricerca di procedimenti validi per tutti gli oggetti di una data classe. 3. Necessità di una delimitazione degli oggetti da studiare. La rivoluzione cartesiana in geometria