Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 6 Il modello di Black Scholes

Un albero particolare Costruite un albero nel quale Y(t+1) può assumere due valori Y(t)*u (nello stato H) o Y(t)*d (nello stato L). u e d sono gli stessi su ogni nodo (indipendenza dal tempo e dagli stati) u*d = 1 L’albero è “ricombinante” e per un numero di steps sufficientemente grande converge al moto geometrico browniano nel tempo, utilizzato nel modello di Black & Scholes

Verso il tempo continuo Fissato un orizzonte di investimento h Y(t+h) – Y(t) = r Y Y(t) è il guadagno sull’investimento nel periodo Il tasso di interesse sull’investimento r Y è una grandezza aleatoria r Y =  + , con   N (0,1) per cui è naturale scrivere la dinamica Y(t+h) – Y(t) =  Y(t) +  Y(t) Per h che diventa molto piccolo otteniamo una descrizione della dinamica nel tempo continuo

Una dinamica più semplice Consideriamo una variabile che segue la dinamica s(t+h) – s(t) =  +  1, con  1  N (0,1) Ci chiediamo qual è la distribuzione della variabile al tempo t +nh. Se i disturbi  i i = 1,2, …n non sono correlati, è ovvio che avremo s(t+nh)  N (s(t) + n , n  2 ) La media della distribuzione e la varianza crescono linearmente con l’orizzonte temporale N.B. In econometria processi di questo tipo sono detti “integrati” o “a radice unitaria”

Processi stocastici L’estensione dell’analisi al tempo continuo richiede la definizione di processo stocastico Un processo stocastico è descritto rispetto a un insieme di eventi  e una sequenza di  -algebre  t (filtration). Si tratta di tutte le possibili unioni e intersezioni di eventi osservati al tempo t. Euristicamente, E’ il set di informazione disponibile al tempo t. Es. la filtration  t generata da una serie di prezzi contiene la serie di tutti i prezzi osservati fino al tempo t. Un processo stocastico è una sequenza di variabili aleatorie definite rispetto alla filtration e che assume valore nella  - algebra della retta dei numeri reali (Borel set).

Processi stocastici diffusivi Un processo stocastico, come ad esempio il prezzo Y(t) è caratterizzato da una misura di probabilità (la tripla {   t P} definisce uno spazio probabilizzato). Un processo stocastico è detto diffusivo se lim h  0 E[Y(t+h) – Y(t)] =  Y dt lim h  0 Var[Y(t+h) – Y(t)] =  Y 2 dt lim h  0 Prob[|Y(t+h) – Y(t)| >  ] = 0,   > 0

Il processo di Wiener Un processo stocastico diffusivo per il quale valga z(t+h) – z(t)  N(0, h) …è detto processo di Wiener Si tratta di un processo a traiettorie continue che non è derivabile in nessun punto con probabilità uno (non è derivabile in quasi nessun punto) Nel continuo: dz(t) = lim h  0 E[z(t+h) – z(t)] Processo diffusivo: dS(t) =  dt +  dz(t)

Probabilità condizionale Es. ds(t) =  dt +  dz(t) La distribuzione di probabilità al tempo  > t di s è normale e ha media  (  - t), mentre la varianza è  2 (  - t) Es. dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) rappresenta il moto geometrico browniano, e nel nostro caso il rendimento istantaneo di un titolo rischioso. Il rendimento istantaneo è distribuito secondo la normale, mentre Y(t) non lo è.

Il lemma di Ito Se s(t) è un processo diffusivo e p = f(s,t) è una funzione, anche p(t) è un processo diffusivo, con lim h  0 E[p(t+h) – p(t)] = (f t +  s f s + ½  s 2 f ss )dt lim h  0 Var[p(t+h) – p(t)] = (  s f s ) 2 dt Es. Da dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) e f(Y,t) = log Y otteniamo… d log Y(t) = (  - ½  2 )dt +  dz(t) … e Y(  | t) ha distribuzione log-normale.

Valutazione di contratti derivati Assumiamo che il sottostante segua un moto geometrico browniano dY(t) =  Y(t) dt +  Y(t) dz(t) Il valore di un contratto derivato C(Y,t) segue, per il lemma di Ito E(dC(t)) = (C t +  Y C Y + ½  2 Y 2 C YY )dt Var[dC(t)] = (  YC Y ) 2 dt

Applicazione: delta hedging Assumiamo di voler immunizzare una posizione in un derivato C. Consideriamo un portafoglio con –Una posizione lunga in una unità di C –Una posizione corta in  = C Y unità di Y La dinamica del portafoglio C(t) – C Y Y(t) E(dC(t) - C Y dY(t)) = (C t + ½  2 Y 2 C YY )dt Var[dC(t) - C Y dY(t)] = 0

Black & Scholes Il principio di non arbitraggio implica che C t + ½  2 Y 2 C YY = r(C(t) - C Y Y(t)) …da cui la fundamental PDE ½  2 Y 2 C YY + C t + rC Y Y(t) - rC(t) = 0 …e il valore del contratto derivato deve essere una risoluzione della PDE con condizione al contorno C(Y(T),T) = funzione di pay-off

Il modello di Black & Scholes Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)

Prezzi di opzioni put Dalla relazione di parit à put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo

Ancora su ENEL Data di valutazione 16/03/2005 Data di esercizio 15/05/2005 Prezzo a pronti ENEL 7,269 Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66 Prezzo forward Enel: 7,269/0,9966 = 7, Prezzo strike: 7,6 Volatilità: 16,38% Delta Call = N(–0,58602) = 27,8931% Leverage = 7,6 x N(–0,652432) = 1, Prezzo = 7,269 x 0, – 0,9966 x 1, = 0, = prezzo di mercato