Un altro modello per l’evoluzione delle popolazioni

N 0 = numero iniziale di prede ● ● ● P 0 = numero iniziale di predatori Prede senza predatori: la variazione delle prede ΔN’ nel tempo Δt è direttamente proporzionale al loro numero iniziale: ΔN’ = AN 0 Δt (A costante >0)  N cresce esponenzialmente Predatori senza prede: la variazione dei predatori è direttamente proporzionale al loro numero iniziale (ma ha un segno negativo): ΔP’ = – CP 0 Δt (C costante >0)  P cresce esponenzialmente Prede e predatori: gli incontri tra le due specie portano a una diminuzione di prede e a un aumento di predatori. Nel caso più semplice, queste variazioni sono direttamente proporzionali al prodotto N 0 P 0 : ΔN’’ = –BN 0 P 0 Δt ΔP’’ = DN 0 P 0 Δt (B, D costanti >0) Traduzione in linguaggio matematico

prede con cibo illimitato, assenza di predatori  crescita esponenziale: ΔN’ = AN 0 Δt (con A>0) cibo limitato  la disponibilità di cibo per ciascun individuo è influenzata (negativamente) dalla popolazione totale 1- Prede con cibo limitato, senza predatori l'equazione iniziale va modificata: ΔN’ = (A  λN 0 ) N 0 Δt ( A, λ costanti >0) 1.A–λN 0 =0  N=N 0 =cost. 2.A  λN 0 >0  N→A/λ (>N 0 ) 3.A–λN 0 <0  N→A/λ (<N 0 )

Confronto tra i due modelli di crescita secondo il MODELLO LINEARE una popolazione di individui, isolata, senza vincoli esterni (cibo illimitato, no predatori) aumenta esponenzialmente secondo la formula x n = (1+a) n x 0 esistono altri modelli che descrivono una evoluzione diversa. Un modello interessante e’ quello basato sulla curva logistica.

Nel 1934 il biologo russo Georgyi F. Gause ( ) propose un esperimento di coltura di un protozoo con cui evidenziò i i limiti del modello lineare. popolazione di partenza: 5 protozoi tempo di osservazione: 6 giorni tasso di crescita iniziale : ~ 231% con il passare del tempo la crescita rallentò progressivamente popolazione finale stabile ~ 375 individui. comportamento in evidente contrasto con quanto previsto dal modello lineare.

la previsione del modello lineare era la seguente: Invece, i risultati ottenuti erano rappresentati da una curva del tipo:

Una spiegazione plausibile è quella che imputa il rallentamento della crescita alla “saturazione” dell’ambiente di coltura. Prede in competizione per il cibo, senza predatori ΔN = N 1 – N 0 = (A  λN 0 ) N 0 Δt ( A, λ costanti >0) A  λN 0 >0  N→A/λ (>N 0 )

facciamo un esercizio sul foglio elettronico: partendo da : ΔN = N 1 – N 0 = (A  λN 0 ) N 0 Δt ( A, λ costanti >0) scriviamo: 1) N 1 = N 0 +(A  λN 0 ) N 0 Δt 2) N 2 = N 1 +(A  λN 1 ) N 1 Δt 3) N 3 = N 2 +(A  λN 2 ) N 2 Δt rappresentiamo l’andamento della popolazione in funzione del tempo confrontiamo con il modello lineare ΔN = N 1 – N 0 = AN 0 Δt scriviamo: 1) N 1 = N 0 +AN 0 Δt 2) N 2 = N 1 +A N 1 Δt 3) N 3 = N 2 +A N 2 Δt

Questa evoluzione è descritta da una curva del tipo: nota con il nome di curva logistica “… dobbiamo ammettere che la crescita del numero degli individui di una specie in un ambiente limitato non potrebbe essere indefinita, ma che, man mano che il numero degli individui cresce, i coefficienti si modifichino. Beninteso, questo effetto potrà esseretrascurato fino al momento in cui il numero degli individui non abbia sorpassato certi limiti;” V. Volterra – U. D’Ancona : Le associazioni biologiche In conclusione: