Modellizzazione matematica ovvero matematica e realtà R. Garuti

Struttura Riferimenti istituzionali : dai “vecchi” programmi ai “nuovi” curricoli Matematica nella realtà: si prende spunto dalla realtà, si indaga nella realtà, si traggono regole di comportamento per la realtà Due esempi: l’allungamento di una molla e la gita in pullman

1. Riferimenti istituzionali 1.1 I programmi della scuola media (1979) Tra i suggerimenti metodologici per la Matematica si legge: “ …si farà ricorso ad osservazioni, esperimenti, problemi tratti da situazioni concrete così da motivare l’attività matematica della classe, fondandola su una sicura base intuitiva. Verrà dato ampio spazio all’attività di matematizzazione intesa come interpretazione matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici…) con la diretta partecipazione degli allievi.” Tra i suggerimenti metodologici per le Scienze Sperimentali si legge :“…gli allievi saranno guidati dall’insegnante ad osservare e a discutere fra loro per prospettare soluzioni ed ipotesi interpretative e quindi ad ideare esperimenti per verificarne o confutarne la validità”.

1.2 I programmi della scuola elementare (1985) Dal commento ai programmi di M. Pellerey: Il privilegio dato all’approccio per problemi deriva dal fatto che il pensiero matematico è caratterizzato dalla attività di risoluzione di problemi e ciò è in sintonia con la propensione del bambino a porre domande e a cercare risposte. Di conseguenza le nozioni matematiche di base vanno fondate e costruite partendo da situazioni problematiche concrete, che scaturiscano da esperienze reali del fanciullo e che offrano anche l’opportunità di accertare quali apprendimenti matematici egli ha in precedenza realizzato, quali strumenti e quali strategie risolutive utilizza e quali sono le difficoltà che incontra. Educare alla matematica significa dunque, in primo luogo, abituare a porsi problemi significativi, a tradurli in rappresentazioni matematiche adatte, a controllarne la risolubilità, a trovare e interpretare correttamente e validamente le soluzioni più adeguate

1.3 Il Progetto SeT: C.M. 270 (1999) Progetto speciale per l’educazione scientifico e tecnologica Motivazioni del progetto: Una adeguata cultura scientifica e tecnologica è una parte importante della formazione di tutti i cittadini, per almeno tre ragioni: la comprensione delle leggi del mondo naturale e delle logiche di quello costruito dall’uomo, così come la comprensione e il possesso dei metodi della matematica, delle scienze sperimentali e della tecnologia sono un aspetto essenziale nella formazione intellettuale di ogni persone; la mancanza di conoscenze scientifico tecnologiche impedisce di affrontare in modo maturo le decisioni pratiche e le scelte etiche che l’intreccio fra scienza, vita personale e società impongono ad ogni cittadino; i contenuti e i metodi della scienza e della tecnologia sono, anche se in modi diversi, una componente necessaria di qualsiasi professionalità.

Tematiche presenti nel Progetto SeT 10. Dimostrazioni e modelli L’uso dei modelli matematici e analogici, è strategico nel processo di comprensione della realtà, sia per verificarne leggi e comportamenti, sia, a volte, per l’indicazione di nuovi spunti di ricerca. A livello educativo ed epistemologico si tratta di confrontare il metodo “induttivo” con forme più rigorose di argomentazione scientifica fino ad arrivare alla dimostrazione logico-matematica. La tecnologia offre per questo validi strumenti didattici. 11. Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie La specificità del metodo matematico e del metodo sperimentale vanno evidenziate anche in correlazione con l’uso delle tecnologie che via via si rendono disponibili. Il certo e il probabile possono essere due modi di interpretare i fenomeni reali che andrebbero enfatizzati nella pratica didattica.

Dimostrazioni e modelli: approccio al sapere teorico Progetti Set C.M. 131 (2000) Fra gli altri…. Elementi di statistica e probabilità con l'ausilio delle calcolatrici grafiche Dimostrazioni e modelli: approccio al sapere teorico I linguaggi della matematica e delle scienze... Alla home page dei “Progetti SeT” INDIRE http://www.bdp.it/set/area1_esperienzescuole/cm131/5.htm

Quale matematica insegnare? 1.4 I curricoli 2001- UMI-CIIM Scuola elementare e Scuola media Quale matematica insegnare? Nuclei tematici Il numero Lo spazio e le figure Le relazioni I dati e le previsioni Nuclei di processo Misurare Argomentare e congetturare Risolvere e porsi problemi

Quali competenze per il futuro cittadino? leggere, comprendere ed esprimere informazioni veicolate attraverso numeri, percentuali, tabelle, grafici utilizzare domini di conoscenze per produrre e sostenere argomentazioni o per ascoltare attentamente, analizzare criticamente e valutare argomentazioni prodotte da altri risolvere e porsi problemi operare scelte in condizioni di incertezza effettuare esplorazioni, osservazioni, riconoscere regolarità, produrre e formulare congetture e ipotesi progettare e costruire modelli di situazioni reali

CONTESTI DI APPRENDIMENTO extramatematici intramatematici matematizzazione attività di modellizzazione numeri figure micromondi (Cabri, …) ... fenomeni sociali fenomeni naturali prodotti della tecnologia ...

Doppia natura dei concetti matematici strumenti di modellizzazione oggetti di riflessione strumenti di modellizzazione

Contesti già fortemente matematizzati nella vita quotidiana scambi economici rappresentazioni dello spazio ricette - produzioni giochi tradizionali macchine: ingranaggi, meccanismi ... Continuità tra extrascolastico e scolastico Prodotti culturali

ruolo dell’insegnante ombre del Sole Contesti extrascolastici che conducono a modellizzazioni che spesso si oppongono alle concezioni dei ragazzi ruolo dell’insegnante ombre del Sole trasmissione dei caratteri ereditari estrazioni (Lotto, lotterie, …) caduta dei gravi Razionalizzazione del fenomeno

Dove cercare per trovare? I programmi del 1979 (scuola media) e i programmi del 1985 (scuola elementare) si possono trovare in Internet Progetto SeT si può trovare sul sito della ex-BDP ora INDIRE http://www.bdp.it/set/area1_esperienzescuole/cm131/5.htm I curricoli 2001, Commissione UMI-CIIM si possono reperire i materiali è: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm Si tratta della pagina personale del prof. Ferdinando Arzarello, Universita' di Torino, Presidente della CIIM

2. Matematica e realtà Dalla prefazione al libro di E. Castelnuovo e M. Barra (1974) …la realtà è comunque sempre presente: si prende spunto dalla realtà, si indaga nella realtà, si traggono, dopo aver matematizzazto, regole di comportamento per la realtà.

Un esempio…un’indagine statistica Quanto siamo alti? Qual è la media delle stature della nostra classe? I dati saranno tradotti in disegno, e questi grafici, che riguardano i ragazzi stessi, costituiranno un quadro appeso alla parete della classe. E’ interessante confrontare la media delle loro stature con la media in altre classi, di ragazzi della stessa età: e anche con la media indicata nei libri di pediatria. Siamo più alti o più bassi della media ufficiale italiana?. E cosa accade alle stature di bambini di altri paesi? Spesso la media risulta differente. Ma ci sono rapporti che risultano uguali nei vari paesi: per esempio il rapporto fra l’altezza e l’apertura delle braccia. La ricerca di questi dati e la scoperta di rapporti fissi nelle varie popolazioni entusiasma i ragazzi: siamo tutti uguali!

Modellizzazione matematica La modellizzazione matematica è il processo che consente di selezionare particolari aspetti di una situazione (un fenomeno fisico, una situazione in campo economico, un fenomeno naturale, ecc), di rappresentarli con i linguaggi della matematica, stabilendo delle relazioni di tipo matematico. La MATEMATICA come strumento di MODELLIZZAZIONE e di INTERPRETAZIONE TEORICA DEL MONDO

Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un fenomeno (Malinvaud) un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno Tale rappresentazione non è descrittiva, discorsiva o a parole, ma formale, cioè espressa in un linguaggio matematico non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica. In altri termini il fenomeno specifico studiato non determina la “sua” rappresentazione matematica; ciò che invece si fa è tradurre in formule idee e conoscenze relative al fenomeno

… sulla modellizzazione ( da Quartieroni Alfio, La modellistica matematica e la fluidodinamica: una sintesi fra teoremi e mondo reale. Politecnico di Milano 1998) Il modello non esprime necessariamente l’intima e reale essenza del problema ( la realtà è spesso così complessa da non lasciarsi rappresentare in modo esaustivo con formule matematiche), ma deve fornire una sintesi utile. I matematici hanno un ruolo particolare in tale contesto. Essi sanno vedere e capire la natura intrinseca di un problema, determinare quali caratteristiche sono rilevanti e quali non lo sono, e, di conseguenza sviluppare una rappresentazione matematica che contiene l’essenza del problema stesso. Una caratteristica della sfera d’indagine matematica presente in questo processo è l’astrazione, ovvero la capacità di identificare caratteristiche comuni in campi differenti, così che idee generali possano essere elaborate ed applicate a situazioni tra loro assai diverse.

Primo esempio: la molla (III media)

1. Premessa metodologica L’esperienza che descriverò è il risultato di lunghe riflessioni ed esperienze in classe del Gruppo Di Ricerca di Genova Dal fenomeno alla formula (1978-1988) Analisi di fenomeni- analisi di relazioni fisiche -costruzione della relazione algebrica tra le variabili analizzate Difficoltà degli allievi nel processo di costruzione autonoma del modello

Obiettivo: capire l’utilità della modellizzazione (dal 1989) Le stesse operazioni cognitive che intervengono nella costruzione di modelli possono anche svilupparsi attraverso la comprensione di modelli costruiti da altri. In allievi che non hanno esperienze di modellizzazione si preferisce esplorare le potenzialità e i meccanismi della modellizzazione prima di inserirlo in una attività di modellizzazione autonoma: -confronto tra formule e comportamenti di fenomeni - realizzazione di esperimenti per approfondire l’analisi dei legami tra caratteristiche del fenomeno, coefficienti della formula e caratteristiche del fenomeno

Questo ambito appare assai produttivo per: - l'acquisizione del concetto di funzione come trasformazione di variabili all'interno di una formula. - l'esperienza di modellizzazione matematica di un fenomeno fisico; - la formulazione di ipotesi e loro verifica - l'uso dei diagrammi cartesiani come strumenti di concettualizzazione euristica e di analisi delle relazioni tra i dati sperimentali e i modelli matematici.

FASE 1: UN MODELLO MATEMATICO PER L'ALLUNGAMENTO DELL'ELASTICO A)Scegliere la formula in accordo con i dati sperimentali .

B) Discussione e confronto delle strategie utilizzate: a) Uso del solo calcolo per verificare quale formula è in accordo con i dati della tabella; b) Riflessione sulla formula per giustificare l'accettazione o l'esclusione della formula stessa; c) Riferimento diretto al fenomeno fisico nell'analisi della formula.

C) Grafico sperimentale e matematico

FASE: 2 PRIMI ESPERIMENTI A) Vengono effettuati due esperimenti con molle di lunghezza uguale, ma di materiale e diametro delle spire diverso e piccoli bulloni inseriti in graffette da appendere alla molla . B) Costruite le tabelle dei dati sperimentali agli alunni viene proposta la seguente formula L=H+K*N e viene chiesto di determinare H E K in modo che essa risulti in accordo con i dati sperimentali dei due esperimenti e di illustrare il modo attraverso il quale essi pervengono a tali risultati.

Strategie di tipo algebrico strategie di tipo statistico I dati sperimentali: molla lunga 15,5 cm. Graffette N°5 bullone diametro 1 cm N L 0 15,5 1 16,2 2 17,3 3 18,5 4 19,7 5 20,8 … …. 10 26,9 20 38,9 Strategie di tipo algebrico strategie di tipo statistico Per determinare K L = 15,5 + 1,18 *N

Seconda molla di materiale diverso, ma stessa lunghezza iniziale L= 15,2+2,1*N seconda molla Confronto fra formule, grafici e tabelle

Confronto fra i grafici delle due molle

FASE 3: SIGNIFICATO FISICO DEL MODELLO MATEMATICO A) Discussione sul significato fisico di H e K B) Manipolazione di molle molto diverse fra loro facilmente reperibili nella realtà

FASE 4: MODELLO GRAFICO Sullo stesso riferimento cartesiano vengono costruiti i grafici relativi alle due formule realizzate e si crea così un legame fra fenomeno, grafico e formula: "quella che va su più in fretta è quella con K maggiore, ed è la molla più tenera" Esperimenti mentali sul riferimento cartesiano

OSSERVAZIONI Tutta l'attività didattica é impostata in modo da realizzare un forte equilibrio nell'utilizzo dei tre sistemi di segni che vengono assunti di volta in volta per produrre interpretanti del fenomeno: GRAFICO, FORMULA e TABELLA. L'attività nei tre mondi non é attuata in sequenza come succede negli itinerari didattici più "tradizionali", ma é orchestrata in modo tale che l'alunno debba costantemente passare da un mondo risolutivo all'altro. Il GRAFICO è a) mediatore fra formula e fenomeno fisico: rende visibile la formula e "libera" il fenomeno dalle "irregolarità; b) strumento per immaginare: evoca casi limite difficilmente immaginabili a partire dalla formula o dal fenomeno.

Secondo esempio: la gita in pullman (III° elementare) 1. Problema La classe di Luca deve noleggiare un pullman per una breve gita, il noleggio costa £ 60.000 in tutto. Se tutti e 20 i bambini della classe partecipassero alla gita quanto dovrebbe pagare ognuno di loro? E se partecipassero solamente in 11, quanto dovrebbe pagare ogni ragazzo? Scrivi il ragionamento che fai per risolvere il problema. 2. Confronto di strategie di soluzione

3. Il diagramma cartesiano

4. Interpretazione del grafico Stralcio di discussione Stefano: i pallini sono il punto di incontro tra i numeri di persone e il costo individuale della partecipazione alla gita Isabella nella linea orizzontale abbiamo numerato per 5 mentre in quella verticale per 5000 Francesco: unendo i punti si ottiene una linea un po’ curva che non ha alti e bassi, su e giù, ma scende sempre. Nicolò: i punti estremi sono dati da una persona che paga £ 60.000 e da 60 persone che pagano 1000 lire Andrea: questo vuol dire che più persone partecipano, meno pagano e viceversa Matteo: tutti i punti individuati sono sono superiori allo zero. Non ha senso pensare che zero bambini paghino zero lire per non andare in gita

...dal concreto all’astratto 5. Un problema nel problema: Sulla linea orizzontale del grafico, potevamo continuare a scrivere i numeri oltre il 60? Perché? 6. Riflessione sul contesto “problema” e sul contesto “matematico” 7. Verso i razionali “Immaginandoci un pullman fantastico che contenga il numero di persone che noi vogliamo, se partecipassero più di 60.000 bambini quanto spenderebbe ognuno di loro? I numeri che conosci (0,1,2,3…) sono sufficienti per poter rispondere a questa domanda?

…alcuni esempi Alessia: scelgo 70.000 bambini e provo a fare la divisione 70.000:60.000= no, non si può fare perché 6:7 non si può fare perché 7 è maggiore di 6 Dario: 60.000:60.000= 1 lira, 60.000:61.000= meno di 1 lira perché diminuisce il risultato. Però non so scrivere questo numero: 1 lira, metà lira, un quarto di lira Giovanni. 60.000:60.000=1 60.000:100.000=? Io dovrei trovare un numero che moltiplicato per 100.000 mi dia 60.000, ma non lo trovo

Un problema per voi… Il problema della molla doppia Immagina di avere due molle dello stesso materiale, stesso diametro di spira, ma di lunghezza iniziale diversa, ad esempio una doppia dell'altra. Come sarà l'allungamento di questa seconda molla? Perchè?"

A) Discussione e rappresentazione grafica delle tre possibili ipotesi B) Risoluzione individuale del problema