Esercizio n. 13 e la distanza dal Sole è data infine dalla r( )= (1+ e cos )/p. Si supponga che p = 1 Trovare la distanza dal Sole, per t = P/12, di un corpo che vi orbita attorno con periodo P su un’orbita di eccentricità e = 1/2. Si ricorda che l’anomalia eccentrica E è legata al tempo dalla (13.1) Inoltre E è legata all’anomalia polare dalla relazione: Sugg.: per risalire ad una prima grossolana stima di E, si può assumere che t << P e risolvere in tale regime la (13.1) (13.2)
Soluzione n. 13 Essendo E(t) continua e E(0) = 0, dall’ipotesi che t/P << 0 segue che E << 1, dunque in prima approssimazione sen E E, per cui la (13.1) diventa: E (1 e) 2 ( t/P) che dà E 0 = / 3 , da cui tan(E 0 /2) = 3 1/2 tan( /2) =1 = / 2, quindi dalla (13.2), r 1. Per giungere ad una stima migliore, applichiamo il metodo iterativo di soluzione di equazioni del tipo x = F(x), che alla n-sima iterazione fornisce x n+1 = F(x n ) partendo da una data x 0. Nel nostro caso E n+1 = F(E n ), E 0 = / 3 e F(E ) = e sen E + ( /6). Osserviamo infatti che |F (E)| = e|cosE| < 1 sempre, quindi il metodo converge partendo da qualunque E. Assumendo 4 cifre significative a disposizione per il calcolo di F(E n ), dopo 7 iterazioni l’errore di “troncamento” è dell’ordine di quello di arrotondamento e il risultato è: E = Dunque dalla (13.2) tan( /2) = , da cui = rad. e r = Per casa: verificare che col metodo iterativo di Newton- Raphson sono sufficienti 2 iterazioni per arrivare allo risultato con precisione maggiore.
Soluzione n. 13 Proviamo a partire da una stima iniziale ancora più grossolana e cioè E 0 = 0. In questo caso, essendo la soluzione più “lontana”, per avere 4 cifre dec. esatte su E che risolve la (13.1) si necessitano 10 iterazioni e il risultato è: E =