GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Gennaio 2009

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

Il modello di Klein - K2

Posizione relativa di due rette in K2 Secanti = le rette che intersecano r in un punto interno di Ω Parallele = le rette che intersecano r in un punto di ∂Ω Iperparallele = le rette che non intersecano r né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

Difetti del modello di Klein Modello non conforme D C

Indipendenza del V postulato

Il modello del disco: l’omino geometra e il suo mondo di gas

Che cos’è una retta?

Formalizzando: il modello del disco - D2

Il modello del disco - segue

Posizione relativa di due rette in D2 Secanti = due rette che si intersecano in un punto interno di Ω Parallele = due rette che si intersecano in un punto di ∂Ω Iperparallele = due rette che non si intersecano né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

Triangoli sgonfi

Circonferenze

Arte iperbolica: Escher

Il modello del semipiano - Π2

Il modello del semipiano - segue

Triangoli

Il modello dell’iperboloide

Equivalenza e comodità

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Curvatura di una linea

Curvatura di una linea in un suo punto definizione rigorosa

Curvatura di una superficie: intuitivamente…

… e rigorosamente n P

Classificazione dei punti di una superficie

Classificazione dei punti di una superficie

Superfici curve … di curvatura nulla!

Superfici di curvatura costante e geometrie Superfici omogenee

Pari dignità!

Gauss e la geometria intrinseca Estrinseco Intrinseco

Flatlandia

Gauss e la geometria intrinseca Theorema egregium: La curvatura è una grandezza intrinseca!

Isometrie e grandezze intrinseche La curvatura è una grandezza intrinseca La curvatura è una grandezza invariante per isometrie

Superfici curve … di curvatura nulla! (bis)

Aree di triangoli

Carte geografiche e deformazioni prevedibili

Buckminster Fuller, Dymaxion Map e cupole geodesiche

A spasso su Marte

Pavimenti e tassellazioni Tassellazione regolare {N,K}

Il paradiso del piastrellista

Il paradiso del piastrellista

Klein e la nuova definizione di geometria cosa vuol dire fare geometria? Gruppo di trasformazioni Proprietà invarianti Geometria = lo studio degli enti le cui proprietà sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo dato

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

La forma dell’universo

Perché il problema è così difficile? n dimensioni obbligatorietà del punto di vista intrinseco

Generalizzazione del concetto di curvatura alle dimensioni superiori esiste e funge da “spartitraffico” 3 geometrie: ellittica (K > 0), euclidea (K = 0), iperbolica (K < 0) si può edificare una geometria globalmente valida solo su oggetti di curvatura costante e il segno della curvatura stabilisce il tipo di geometria. 3 modelli: Sn (K ≡ 1), En (K ≡ 0), Hn (K ≡ -1), la curvatura è sempre una grandezza intrinseca

Einstein: la gravità è geometria la presenza di massa ed energia curva lo spazio

Lenti gravitazionali e croci di Einstein

Forma dell’universo a grande scala: possibili soluzioni delle equazioni della relatività generale Principio cosmologico: l’universo a grande scala è omogeneo e isotropo tensore energia - impulso = funzioni del tensore di Ricci l’universo non è statico ma si evolve, cambiando le sue dimensioni nel tempo (contraendosi o dilatandosi); la geometria dell’universo a grande scala è curva e l’usuale geometria euclidea è solo un caso particolare tra le ∞ geometrie non euclidee che si ottengono come soluzioni delle equazioni.

Hubble: l’universo in espansione e il più grande errore di Einstein

Poincaré ed Einstein

Espansione e Big Bang

Letteratura: un poetico grande botto

Densità critica, forma e destino dell’universo curvatura geometria prototipo destino Ω<1 negativa iperbolica espansione infinita Ω=1 nulla euclidea espansione che rallenta e termina dopo un tempo infinito (cioè mai) Ω>1 positiva ellittica fine dell’espansione e collasso (big crunch)

Calcolare Ω: il problema dell’inventario Materia oscura Energia oscura

Telescopio o macchina del tempo?

BOOMERANG, MAP e gli altri: l’universo è piatto?

È piatto … ma che forma ha???

Conseguenze cosmologiche di BOOMERANG

Bibliografia GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Ed. Alpha test                                       Bibliografia GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Ed. Alpha test Coll. Gli Spilli Grazie per l’attenzione!