Fondamenti di Automatica Luigi Chisci, Università di Firenze CdL Ingegneria dell’Informazione CdL Ingegneria dell’Ambiente e delle Risorse Prato, A.A. 2003-2004

Automatica Automatica: settore scientifico disciplinare con competenze di sistemistica (modellistica matematica di sistemi reali), controllistica (metodologie per la soluzione di problemi di controllo), automazione e robotica (supervisione e coordinamento di macchine e impianti finalizzati alla realizzazione di processi produttivi). Fondamenti di Automatica: elementi di sistemistica (modellistica, simulazione e analisi di sistemi dinamici) elementi di controlli automatici (analisi e sintesi di sistemi di controllo a retroazione)

Cosa è l’Automatica ? Automatico: che può funzionare senza l’intervento di un operatore umano Automatica: complesso di discipline che forniscono strumenti per la progettazione e la realizzazione di sistemi automatici, ad esempio pilota automatico di un velivolo (veicolo, natante) commerciale climatizzatore di un ambiente, edificio, serra sistema automatizzato di produzione industriale (carta, tessuti, prodotti alimentari, circuiti integrati, prodotti chimico-farmaceutici e petrolchimici, pezzi meccanici etc.) sistema per la depurazione delle acque o per lo smaltimento dei rifiuti controllo di livello di un fiume (lago, serbatoio idrico etc.)

Problemi di controllo Nella conduzione di apparati ingegneristici di varia natura emergono numerosi problemi di controllo Problema di controllo: si desidera che certe variabili del sistema di interesse si comportino nel modo desiderato corrispondente ad un funzionamento corretto e ottimale del sistema Esempi di problemi di controllo controllo di temperatura (forno, ambiente, reattore nucleare etc.) controllo di pressione (cabina pressurizzata, reattore nucleare etc.) controllo di velocità (motore elettrico, veicolo etc.) controllo di posizione (raggio laser, antenna, radar, telescopio, manipolatore robotico etc.) controllo di forza (manipolatore robotico) controllo di livello (serbatoio idrico, lago, fiume etc.) controllo di concentrazione (processo chimico) controllo di portata controllo di tensione (generatore elettrico, alimentatore, convertitore etc.)

1. ELEMENTI COSTITUTIVI DI UN PROBLEMA DI CONTROLLO z y SISTEMA SOTTO CONTROLLO, P (Processo) u = variabili di controllo (manipolabili) d = disturbi (non manipolabili) variabili di ingresso: variabili di uscita: z = variabili controllate y = variabili misurate COMPORTAMENTO DESIDERATO z(t) r(t) ( r = riferimento = uscita desiderata )

Sistema di Controllo Obiettivo: z(t)  r(t) ovvero e(t) = r(t) - z(t)  0 disturbi d variabili controllate z Processo variabili di controllo variabili misurate u Controllore automatico y Attuatori Sensori disturbi di misura v riferimento r

ESEMPIO Controllo della temperatura in un ambiente riscaldato ad aria Ti, α T Ta z = T (temperatura media dell’ambiente) u = α (apertura della serranda che regola la portata dell’aria immessa a temperatura Ti) d = Te (temperatura esterna) y = Ta (temperatura aria estratta) r = 20°C (temperatura desiderata)

2.1. CONTROLLO AD ANELLO APERTO 2. SISTEMI DI CONTROLLO 2.1. CONTROLLO AD ANELLO APERTO Le variabili di ingresso del controllore, utilizzate per generare il comando, sono indipendenti dal comando stesso ESEMPI z P2 P1 C d S u y r P d r C u P z P = impianto ( + sensore (S) ) C = controllore ( +attuatore )

C = controllore ( + attuatore ) 2.2.CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO (O A RETROAZIONE) Le variabili di ingresso del controllore, utilizzate per generare il comando, sono influenzate dal comando stesso ESEMPI d d r C u P z r C u P z y P = impianto ( + sensore ) C = controllore ( + attuatore )

3. ANELLO DI CONTROLLO C P + _ d r e u z=y L’azione di controllo u dipende dall’entità dell’errore Sistema di controllo d e r Specifiche di controllo adeguata precisione (statica e dinamica) adeguata stabilità (incertezza)

4. ESEMPIO SISTEMA DI CONTROLLO 4.1. Controllo del livello di un serbatoio Att. Idraul. Controllore galleggiante qu qi h* q h o condotta q q= portata volumetrica di fluido all’inizio della condotta h= livello del serbatoio qi= portata volumetrica di fluido in ingresso al serbatoio qu= portata volumetrica di fluido in uscita dal serbatoio

- r + z C P1 P2 S r=h* z=h u=q P1(s) = exp(-sT) P2(s) = K/(1+τs) Regolatore+Attuatore+Valvole condotta serbatoio r + z u C P1 P2 - Impianto sotto controllo, P S galleggiante Il ritardo T dipende dalla lunghezza e dalla sezione della condotta e dalla portata nominale del fluido Il guadagno K e la costante di tempo  del serbatoio dipendono dalla superficie a pelo libero e di uscita del sebatoio e dalla portata nominale del fluido r=h* z=h u=q P1(s) = exp(-sT) P2(s) = K/(1+τs)

4. CONTROLLO DI PROCESSO l Tu wi, Ti, Hi To, Ho Q Problema: regolare la temperatura Tu in uscita dalla tubazione agendo sulla portata di ingresso wi dello scambiatore wi: portata di fluido in ingresso allo scambiatore Ti, To: temperatura del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore Hi, Ho: entalpie del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore Tu: temperatura del fluido in uscita dalla tubazione adiabatica di lunghezza l Q: flusso termico assorbito dal fluido nello scambiatore

C1 C2 S2 S1 G1 G2 Gt Gq Ti wi Q Tu* Tu To + - Controllore+attuatore Processo sotto controllo, P (+ trasduttori) Tu: variabile controllata (e misurata) (z) Tu*: temperatura di uscita desiderata (z*) Q, Ti: disturbi agenti sul processo (d) wi: variabile di controllo (u) T0: variabile ausiliaria misurata

5. COMPONENTI DEI SISTEMI DI CONTROLLO Componenti base Altri componenti Sistemi di comunicazione fra unità di controllo, sensori e attuatori Interfaccia uomo-macchina per interazione con operatore) Dispositivi di misura (sensori) Unità di elaborazione (controllo) Dispositivi di attuazione (attuatori)

a(s) G(s) Dny + a1Dn-1y + …. + any = b0Dnu + b1Dn-1u + … + bnu dky MODELLI MATEMATICI (LINEARI STAZIONARI) Dny + a1Dn-1y + …. + any = b0Dnu + b1Dn-1u + … + bnu dky Dky := dtk G(s) y u b(s) b0sn + b1sn-1 + … + bn-1s + bn a(s) G(s) = = sn + a1sn-1 + … + an-1s + an s: variabile di Laplace

CONDENSATORE: i = C dv/dt + - L i SISTEMI ELETTRICI CIRCUITI R-L-C + OP AMP R i RESISTORE: v = R i INDUTTORE: v = L di/dt CONDENSATORE: i = C dv/dt + - L i - + C i o o + - i2 v v1 o - AMPLIFICATORE IDEALE v1 = v2 i1 = i2 = 0 o v2 o + i1

v = Z(s) i v = R i v = R i v = L di/dt sostituendo d/dt con s v = sL i SISTEMI ELETTRICI v = R i v = R i v = L di/dt sostituendo d/dt con s v = sL i i = C dv/dt v = i 1 sC v = Z(s) i R RESISTORE sL INDUTTORE 1/sC CONDENSATORE IMPEDENZA GENERALIZZATA Z(s) =

t = RC (costante di tempo) + + u C y - - ESEMPI ELETTRICI R y/u = G(s) = 1/(1+ts) t = RC (costante di tempo) + + u C y - - y wn 2 R L = u s2 + 2 d wn s + wn 2 + u C wn 2 = 1/LC , 2 d wn = R/L d : fattore di smorzamento wn : pulsazione naturale

R2 R1 + + C1 u C2 y - -

SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) F MASSA F = M dv/dt v = dx /dt MOLLA F = K (x1 - x2) SMORZATORE F = B (v1 - v2) x K F F x1 x2 B F F o o x1 x2

ESEMPI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) B M Ingresso: forza u Uscita: velocità y = dx/dt F.d.T.: G(s) = y/u = G = 1/B, t = M/B u x G 1 + ts K u M B Ingresso: forza u Uscita: posizione y = x x G0 wn 2 G(s) = G0 = 1/K, 2dwn = B/M, wn = K/M 2 s2 + 2 d wn s + wn 2

SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE) INERZIA T = J dw/dt w = dq /dt MOLLA T = K (q1 - q2) TORSIONALE SMORZATORE T = B (w1 - w2) J q T K q1 q2 T B o o q1 q2 T

SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE) v = Z(s) F x = v/s = [Z(s)/s] F v: velocità, F: forza, x: posizione Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA 1/sM MASSA s/K MOLLA 1/B SMORZATORE Z(s) =

SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE) w = Z(s) T q = w /s = [Z(s)/s] T w: velocità angolare, T: coppia, q: posizione angolare Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA (DI ROTAZIONE) 1/sJ INERZIA s/K MOLLA TORSIONALE 1/B SMORZATORE TORSIONALE Z(s) =

ANALOGIE ELETTRO-MECCANICHE

( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) Ingresso u = vapp (tensione di armatura) e = vemf ( fem indotta ) i ( corrente di armatura ) T = t ( coppia applicata all’albero motore ) R, L ( resistenza, induttanza, di armatura ) J ( momento d’inerzia albero motore ) B = Kf ( coeff. attrito viscoso )

( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) L di/dt + R i = u - e ( eq.ne elettrica ) e = Ke w ( fem indotta ) J dw/dt + B w = T ( eq.ne meccanica ) T = Km i ( coppia indotta ) Ke, Km: costanti del motore

( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) CONTROLLO DI VELOCITA’ y = w G(s) = y/u = G0 wn 2 s2 + 2 d wn s + wn 2 2dwn=R/L + B/J wn=(KeKm+BR) / LJ G0=Km / (KeKm+BR) 2

( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) CONTROLLO DI POSIZIONE y = q G(s) = y/u = G0 wn 2 s (s2 + 2 d wn s + wn) 2 2dwn=R/L + B/J wn=(KeKm+BR) / LJ G0=Km / (KeKm+BR) 2

( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MOTORE IN CONTINUA ( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA ) MODELLO SEMPLIFICATO L=0 w/u = G0 / (1+ts), q/u = G0 / [s (1+ts)] G0 = Km / (BR+KmKe) guadagno in continua t = JR / (BR+ KmKe) costante di tempo

ANALISI NEL TEMPO DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s) y u Problema di analisi della risposta: date condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0) e l’andamento temporale u(t), 0 £ t, determinare la risposta y(t), 0 £ t . Commento: occorre risolvere l’eq.ne diff.le y(t) = G(D) u(t) rispetto a y(t).

SISTEMA DEL PRIMO ORDINE G(s)=G0/(1+ts) y u Eq.ne diff.le: t dy/dt + y = G0u Condizione iniziale y(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0 Soluzione (risposta y(t) = ( y(0)-G0u ) e-t/t + G0u al gradino)

SISTEMA DEL PRIMO ORDINE

SISTEMA DEL PRIMO ORDINE La risposta, partendo dal valore iniziale y(0), tende asintoticamente al valore di regime y() = G0u, dove G0 è il guadagno in continua e u è l’ingresso costante, con una rapidità che dipende dalla costante di tempo t . In particolare, l’uscita è al 95% della sua escursione per un tempo t = 3t.

SISTEMA DEL SECONDO ORDINE G(s)=b/(s2 + a1s + a2) y u Eq.ne diff.le: D2y + a1 Dy + a2y = bu Condizioni iniziali y(0), Dy(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0

SISTEMA DEL SECONDO ORDINE G(s)=b/(s2 + a1s + a2) y u Soluzione (risposta) : y(t) = c1 exp(p1t) + c2 exp(p2t) + G0 u G0 = b/ a2 : guadagno in continua p1 , p2 : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica a(s)= s2 + a1s + a2 = 0 c1 , c2 : dipendono da y(0), Dy(0), u

SISTEMA DEL SECONDO ORDINE Poli: p = -dwn +/- wn (d2 -1)1/2 a(s)= s2 + 2 d wn s + wn 2 = s2 + a1s + a2 Poli: p = -dwn +/- wn (d2 -1)1/2 Si distinguono tre casi: (1) |d| > 1 : poli reali distinti (2) |d| = 1 : poli reali coincidenti (3) |d| < 1 : poli complessi coniugati Casi (1) e (2): comportamento simile ai sistemi del primo ordine Caso (3): comportamento oscillatorio

CASO SOVRASMORZATO: d > 1

CASO CRITICAMENTE SMORZATO: d = 1

CASO SOTTOSMORZATO: 0 < d < 1 Risposta y(t) = c e-st sen(wt+f) + G0u s = dwn , w = wn 1-d2 , G0 : guadagno dc c, f: dipendono dalle c.i. y(0), Dy(0) e da u La risposta tende al valore di regime G0u con oscillazioni smorzate di pulsazione w

CASO SOTTOSMORZATO: 0 < d < 1

Sistema del 2o ordine con zero negativo

Sistema del 2o ordine con zero negativo

Sistema del 2o ordine con zero negativo

Sistema del 2o ordine con zero positivo negativo

Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo

Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo

GENERALIZZAZIONE: SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) y u Eq.ne diff.le: a(D)y = b(D)u Condizioni iniziali y(0),Dy(0),…,Dn-1y(0) Ingresso (gradino) u(t) = u se t  0 u(t) = 0 se t < 0

RISPOSTA AL GRADINO DI UN SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) y u p1 , p2 , …, pn : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica a(s)= sn + a1sn-1 +…+ an-1s + an = 0 Per semplicità si assume p1  p2  …  pn  0 Risposta y(t) = c1 exp(p1t) + c2 exp(p2t) + … + cn exp(pnt) + G0 u c1 , c2 , …, cn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0), u G0 = b(0)/a(0) = bn / an : guadagno in continua

RISPOSTA LIBERA DI UN SISTEMA DI ORDINE n G(s)=b(s)/a(s) y u=0 Poli di G(s): p1 , p2 , …, pn Per semplicità si assume p1  p2  …  pn Risposta y(t) = k1 exp(p1t) + k2 exp(p2t) + … + kn exp(pnt) k1 , k2 , …, kn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)

Il sistema dicesi STABILE se la sua risposta STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) y u DEFINIZIONE Il sistema dicesi STABILE se la sua risposta libera tende asintoticamente a zero qualunque siano le condizioni iniziali cioè lim y(t) = 0  y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0) t

Poiché la risposta libera è STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) y u Poiché la risposta libera è y(t) = k1 exp(p1t) + k2 exp(p2t) + … + kn exp(pnt) dove k1 , k2 , …, kn possono assumere valori arbitrari al variare di y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0) il sistema è stabile se e solo se i poli p1 , p2 , …, pn di G(s) hanno tutti parte reale negativa re(pi) < 0 per i=1,2,…,n

Se il sistema è STABILE, ad un ingresso limitato STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) y u OSSERVAZIONE Se il sistema è STABILE, ad un ingresso limitato corrisponde sempre un’uscita limitata, cioè il sistema non può mai “esplodere” per effetto di un segnale di ingresso limitato.

COME VERIFICARE LA STABILITA’ G(s)=b(s)/a(s) Sistema di ordine 1: a(s)= s + a1 stabile se e solo se a1>0 Sistema di ordine 2: a(s)= s2 + a1s + a2 stabile se e solo se a1>0 e a2>0 Sistema di ordine n: a(s)= sn + a1sn-1 +…+ an stabile solo se a1>0, a2>0, … , an>0; cioè se almeno uno dei coefficienti ai  0 allora il sistema è instabile, viceversa se tutti i coefficienti ai >0 non si può dire che il sistema è stabile; occorre determinare le radici di a(s) y u

VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2 METODO 1: richiede l’uso del calcolatore si determinano radici di a(s) con MATLAB a = [a1, a2, … , an ] roots(a) METODO 2: METODO DI ROUTH-HURWITZ, richiede solo carta e matita

VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2 Esempio: a(s)= s5 + 2s4 +s3 +s2 + s +1 Verifica con MATLAB a=[1 2 1 1 1 1] roots(a) -1.67 0.44+j0.75 0.44-j0.75 -0.61+j0.63 -0.61-j0.63 sistema instabile (2 poli con parte reale positiva) sistema oscillatorio: 2 coppie di poli complessi coniugati

Esempio: a(s)= s5 + 2s4 +s3 +s2 + s +1 Verifica con ROUTH-HURWITZ s5 1 1 1 s4 2 1 1 s3 1/2 1/2 0 s2 -1 1 s1 1/2 s0 1 I coefficienti della colonna 1 non sono tutti positivi sistema instabile

Ingresso (armonica) u(t) = A sen(wt+f) ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s)=b(s)/a(s) y u Ingresso (armonica) u(t) = A sen(wt+f) A, f: ampiezza e fase dell’armonica In forma fasoriale: u(t) = im ( U ejwt ), U = A ejf Si vuole determinare risposta armonica y(t) per arbitrarie condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)

TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO G(s)=b(s)/a(s) y u TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA La risposta all’ingresso u(t) = im ( U ejwt ) è della forma y(t) = c1exp(p1t)+c2exp(p2t) + … +cnexp(pnt) + im( Y ejwt ) dove c1 , c2 , …, cn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0), U Y = G(jw) U

Risposta a regime permanente RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE G(s)=b(s)/a(s) y u(t) = A sen(wt+f) Risposta a regime permanente yrp(t) = im( Y ejwt ) = |G(jw)| A sin(wt+f+G(jw)) è una armonica della stessa pulsazione dell’armonica in ingresso di AMPIEZZA |G(jw)| A FASE G(jw) + f Transitorio yT(t) = c1exp(p1t)+c2exp(p2t) + … +cnexp(pnt)

Se il sistema è stabile, il transitorio si esaurisce RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE G(s)=b(s)/a(s) y u(t) = A sen(wt+f) OSSERVAZIONE Se il sistema è stabile, il transitorio si esaurisce asintoticamente cioè dopo un tempo sufficientemente lungo; rimane quindi la sola risposta a regime.

G(jw), cioè G(s) valutata per s=jw, prende il nome di RISPOSTA IN FREQUENZA G(s) u y G(jw), cioè G(s) valutata per s=jw, prende il nome di RISPOSTA IN FREQUENZA Nota che per ogni pulsazione w, G(jw) è un numero complesso il cui modulo |G(jw)| rappresenta il guadagno del sistema alla pulsazione w e il cui argomento (fase) G(jw) rappresenta lo sfasamento del sistema alla pulsazione w.

MISURA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA Fissato w si applica al sistema un ingresso armonico u di pulsazione w, di ampiezza A e fase f note. Si attende che il sistema vada a regime e si misurano ampiezza A’ e fase f’ dell’uscita y. Allora |G(jw)| = A’ / A (ampiezza uscita / ampiezza ingresso) G(jw) = f’ - f (fase uscita - fase ingresso) Si ripete l’esperimento per vari valori di w

PROPRIETA’ RISPOSTA IN FREQUENZA G(jw)|= |G(jw)| exp(j G(jw) ) = re G(jw) + j im G(jw) |G(jw)| = |G(-jw)| G(jw) = - G(-jw) re G(jw) = re G(-jw) im G(jw) = - im G(-jw)

RAPPRESENTAZIONI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA DIAGRAMMI DI BODE (CARTESIANI): diagramma delle ampiezze: |G(jw)|, in decibel, in funzione di w diagramma delle fasi G(jw) , in gradi, in funzione di w su scala logaritmica per w DIAGRAMMA DI NYQUIST (POLARE): Curva descritta da G(jw) al variare di w

G(s) = 1 / (1+ts)

DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = G0 AMPIEZZA : Retta orizzontale a 20 log10|G0|dB FASE : Retta orizzontale a O° se G0 >0, a -180° se G0 <0 VALORI IN dB |G0| |G0|dB 0.01 - 40 0.1 - 20 1/ 2 - 3 1 0 2 3 2 6 10 20 100 40

DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = 1/s AMPIEZZA : Retta con pendenza di -20 dB per decade che attraversa 0 dB alla pulsazione w=1 FASE : Retta orizzontale a -90° ALCUNI VALORI w |G(w)|, in dB 0.01 + 40 0.1 + 20 1 0 10 - 20 100 - 40

DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA OSSERVAZIONI (1) Se G(s) = G1(s) G2(s) G3(s) i diagrammi di Bode di G(s) sono ottenuti sommando i diagrammi di G1(s), G2(s), G3(s) ….. Poiché | G1 G2 G3  | dB = |G1| dB + |G2| dB + |G3| dB +   G1 G2 G3  =  G1 +  G2 +  G3 +  (2) I diagrammi di Bode di 1/G(s) sono ottenuti ribaltando rispetto all’asse delle ascisse i diagrammi di G(s) poiché |1/G|dB = - |G| dB  1/G = -  G (3) Il diagramma di ampiezza di G’(s)=1/(1-ts) è uguale a quello di G(s)= 1/(1+ts); il diagramma di fase di G’(s) è ottenuto ribaltando rispetto all’asse delle ascisse quello di G(s). (4) Come al punto (3) vale per i diagrammi di G(s)=wn/(s2+2dw s+w2n) G(s)=wn / (s2-2dw s+wn) 2 2 2

DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA Una generica f.d.t. G(s) può essere espressa come prodotto di f.d.t. dei quattro tipi già esaminati vale a dire G(s) = G1(s) G2(s) G3(s)  dove Gi(s) può essere dei seguenti tipi (già esaminati) Gi(s) = G0 Gi(s) =1/s Gi(s) =1/(1+ts) o Gi(s) = 1+ts Gi(s) = 1/[1+2d(s/wn)+(s/wn)2] o Gi(s)=[1+2d(s/wn)+(s/wn)2] 2

DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA ESEMPIO: Modello semplificato per il controllo di posizione dell’albero di un motore dc G(s) = G0 / s (1+ts) G0 = 10, t = 1 Si ha G(s) = G1(s) G2(s) G3(s) con G1(s) = 10 , G2(s)=1/s , G3(s)=1/(s+1)

CONNESSIONE IN SERIE (IN CASCATA) G1(s) G2(s) y=y2 u=u1 y1=u2 y = G2(s) G1(s) u = G(s) u F.d.T. del sistema serie G(s) = prodotto delle f.d.t. dei sottosistemi G1(s) e G2(s)

CONNESSIONE IN PARALLELO y1 u1 G1(s) y= y1 +y2 u + u2 G2(s) y2 y = [ G1(s) + G2(s) ] u = G(s) u F.d.T. del sistema parallelo G(s) = somma delle f.d.t. dei sottosistemi G1(s) e G2(s)

CONNESSIONE IN RETROAZIONE u u1 y1=y G1(s) + y2 G2(s) u2 y = G1 [u + G2y ] = G1u + G1G2y y = G1 / (1-G1 G2) u = G u G(s) = G1(s) / [1- G1(s) G2(s)] F.d.T. del sistema parallelo G(s) = f.d.t. del ramo diretto diviso per (1-f.d.t. d’anello)

SISTEMA DI CONTROLLO A RETROAZIONE + r e C(s) u G(s) y _ Il sistema deve essere INTERNAMENTE STABILE nel senso che se gli ingressi r e d sono limitati, tutte le variabili interne del sistema (e, u e di conseguenza tutte le altre) devono rimanere limitate La stabilità interna deve impedire che il sistema “esploda” per effetto di ingressi limitati ed è quindi un requisito necessario di un sistema di controllo

del processo P G(s)=b(s)/a(s) del controllore C C(s)=q(s)/p(s) STABILITA’ INTERNA d + r e C(s) u G(s) y _ F.d.t.: del processo P G(s)=b(s)/a(s) del controllore C C(s)=q(s)/p(s) d’anello L(s)=C(s)G(s)=b(s)q(s) / a(s)p(s) da r a e: 1/(1+L(s)) = a(s)p(s) / c(s) da r a u: C(s)/(1+L(s)) = a(s)q(s) / c(s) da d a e: -G(s)/(1+L(s)) = -b(s)p(s) / c(s) da d a u: 1/(1+L(s)) = a(s)p(s) / c(s) c(s) = a(s) p(s) + b(s) q(s) : polinomio caratteristico

Il sistema a retroazione in figura è internamente stabile STABILITA’ INTERNA d + r e C(s) u G(s) y _ Il sistema a retroazione in figura è internamente stabile se e solo se il polinomio caratteristico c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s) ha tutte le radici con parte reale negativa.

C(s)=q(s)/p(s) G(s)=b(s)/a(s) CRITERIO DI NYQUIST C(s) G(s) + r e C(s) u G(s) y _ Si indichi con L(s)=C(s)G(s) la f.d.t. d’anello del sistema in figura c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s) il pol. caratteristico Pa = no. di poli di L(s) con parte reale positiva Pc = no. di radici di c(s) con parte reale positiva N = no. di giri del diagramma di Nyquist di L(jw), in senso orario, intorno al punto critico -1+j0 Vale la relazione N = Pc - Pa Stabilità interna  Pc = 0  N = -Pa

Il sistema in figura è internamente stabile CRITERIO DI NYQUIST d + r e C(s) u G(s) y _ Il sistema in figura è internamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di L(s) = C(s) G(s) non passa per il punto critico -1+j0 e compie intorno ad esso un numero di giri in senso antiorario pari al numero di poli di L(s) con parte reale positiva

COROLLARIO DEL CRITERIO DI NYQUIST + r e C(s) u G(s) y _ Assumendo che L(s)=C(s)G(s) non ha poli con parte reale positiva, il sistema in figura è internamente stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di L(s) non passa per il punto critico -1+j0 e non lo contiene al suo interno.

MARGINI DI STABILITA’

Pulsazione di attraversamento a 0 dB: wf : | G(j wf) | = 1 (0 dB) MARGINI DI STABILITA’ Pulsazione di attraversamento a 0 dB: wf : | G(j wf) | = 1 (0 dB) Margine di fase: mf = 180° + G(j wf) Pulsazione di attraversamento a -180°: wg :  G(j wg) = - 180° Margine di guadagno: mg = 1 / |G(j wg)| (mg)dB = - 20 log10 |G(j wg)|

(1) I margini di fase e di guadagno misurano MARGINI DI STABILITA’ OSSERVAZIONI: (1) I margini di fase e di guadagno misurano la distanza dall’instabilità del sistema; tanto più grandi sono mf e mg tanto più il sistema è “sicuro”, lontano dall’instabilità. (2) Valori indicativi per un progetto soddisfacen- te dell’anello di controllo sono: mf = 40°  60° mg = 4  6 ( 12  16 dB )

- la f.d.t. d’anello L(s) non ha poli con parte reale positiva CRITERIO DI BODE Se si assume che - la f.d.t. d’anello L(s) non ha poli con parte reale positiva - il diagramma di Bode di |L(jw)| attraversa alpiù una volta gli 0 dB allora il sistema è internamente stabile se e solo se mf > 0° e KB > 0

SPECIFICHE DI UN SISTEMA DI CONTROLLO + r e C(s) u G(s) y _ (1) STABILITA’: L’anello di controllo deve essere internamente stabile (2) PRECISIONE: Il segnale errore e deve essere “piccolo” A REGIME (PRECISIONE STATICA) ed IN TRANSITORIO (PRECISIONE DINA_ MICA) (3) ROBUSTEZZA: Le specifiche di stabilità e precisione devono essere soddisfatte a fronte di incertezze di modello e disturbi

PRECISIONE STATICA (A REGIME) y r e L(s)=C(s)G(s) + - Per misurare la precisione a regime del sistema si definiscono gli errori ek : errore a regime se il segnale di riferimento è r(t) = tk / k! per k=0,1,2, …… e0 : errore a regime al gradino, o anche errore di posizione e1 : l’errore a regime alla rampa, o anche errore di velocità e2 : l’errore a regime alla parabola, o anche errore di accelerazione

Come dipendono gli errori a regime ek dalle caratteristiche dell’anello di controllo ? Conviene scomporre la f.d.t. d’anello L(s) come L(s) = K L’(s) / sh dove L’(s) ha guadagno in continua unitario: L(0)=1 K è il guadagno d’anello h è il numero di poli di L(s) in s=0

La precisione statica dipende solo da h e K Precisamente: ERRORI A REGIME Ke r e KL’(s) 1/sh La precisione statica dipende solo da h e K Precisamente: e0 = e1 =  = eh-1 = 0 eh = 1/(1+K) se h=0, eh = 1/K se h>0 eh+1= eh+2 =  = 

Il sistema in fig. in cui il n° di integratori PRECISIONE A REGIME r e Ke KL’(s) 1/sh Il sistema in fig. in cui il n° di integratori presenti nell’anello è uguale a h, dicesi di tipo h Per un sistema di tipo h, l’errore eh è finito ma non nullo gli errori ei, i<h, sono nulli gli errori ei, i>h, sono infiniti

Specifiche di precisione statica -errore a regime al gradino nullo PRECISIONE A REGIME ESEMPIO Specifiche di precisione statica -errore a regime al gradino nullo -errore a regime alla rampa non superiore all’1% L’anello di controllo deve avere - h=1 integratore - K  100

PRECISIONE DINAMICA (IN TRANSITORIO) Le specifiche di precisione dinamica (comportamento in transitorio) possono essere espresse in diversi modi (1) SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO sulla risposta al gradino dal segnale di riferimento r all’uscita y : sovraelongazione, tem- po di salita, tempo di assestamento (2) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO CHIUSO sulla risposta in frequenza da r a y : picco di risonanza, banda passante a -3dB. (3) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO APERTO sulla risposta in frequenza della f.d.t. d’anello L(jw): margini di fase e di guadagno e relative pulsazioni di attraversamento

SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO

SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO Tempo di salita ts: tempo necessario affinchè l’uscita raggiunga per la prima volta il valore di regime se il transitorio è oscillatorio, oppure tempo richiesto per raggiungere il 90% del valore di regime se il transitorio non è oscillatorio. Tempo di assestamento ta: tempo necessario dopo il quale l’errore di inseguimento si mantiene entro il 5% del valore di regime Sovraelongazione S : valore, in %, di superamento del valore di regime

SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

PICCO DI RISONANZA E BANDA PASSANTE + r e C(s) u G(s) y _ F.d.T. d’anello: L(s) = C(s) G(s) F.d.T. da r a y: T(s) = L(s)/(1+L(s)) Risposta in frequenza da r a y: T(jw) Picco di risonanza Mr: valore in dB del picco di ampiezza della risposta in frequenza da r a y; valori tipici di un buon progetto Mr : 1  4 dB Banda passante (a -3dB) wB : valore della pulsazione alla quale il guadagno si riduce a -3dB

SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA SU L(jw)

CONVERSIONE DI SPECIFICHE Per la sintesi conviene tradurre le specifiche in specifiche equivalenti su mf e wf . Formule empiriche per la conversione wB ts  3 (1+S) / Mr  0.85  1 wf / wB  0.5  0.8 mf  arccos( 1 - 0.5/ Mr ) 2

SINTESI PER TENTATIVI (1) COMPENSAZIONE STATICA: Si determinano il numero c di poli in s=0 del controllore C(s) ed eventualmente un guadagno Kc in modo da soddisfare le specifiche di precisione statica. (2) CONVERSIONE SPECIFICHE: Si convertono, tramite le formule approssimate, le specifiche di precisione dinamica in specifiche equivalenti su mf e wf . (3) COMPENSAZIONE DINAMICA: Si progetta una rete correttrice C’(s) in modo da conseguire i valori di mf e wf impostati. (4) VERIFICA: Si verifica se il controllore C(s)= Kc C’(s) / sc soddisfa le specifiche e in tal caso si arresta il procedimento. Altrimenti si modificano i valori impostati di mf e wf e si ritorna al passo (3).

Si consideri la f.d.t. con un polo ed uno zero RETI CORRETTRICI Si consideri la f.d.t. con un polo ed uno zero C(s) = (1+ss) / (1+ts) s,t > 0 Se la pulsazione di rottura del polo precede quella dello zero, cioè s < t, allora C(s) introduce ATTENUAZIONE e ritardo. Viceversa, se s > t, allora C(s) introduce ANTICIPO e amplificazione.

1+ts 1+(t/m)s 1+(t/m)s 1+ts RETI CORRETTRICI Rete Anticipatrice: Cant(s) = t > 0 m>1 1+ts 1+(t/m)s Rete Attenuatrice: Catt(s) = t > 0 m>1 1+(t/m)s 1+ts

DIAGRAMMI DI BODE DELE RETI CORRETTRICI

COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 1

COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 2

COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 3

COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 4

REALIZZAZIONE CIRCUITALE DELLE RETI CORRETTRICI Rete attenuatrice: t = C(R1+R2 ) m= 1 + R1/R2 R1 C y u R2 Rete anticipatrice: t = R1C m= 1 + R1/R2 R1 u C m R2 y

F.d.T. del sistema da controllare G(s) = 1 / s(s+1) Specifiche: ESEMPIO DI SINTESI F.d.T. del sistema da controllare G(s) = 1 / s(s+1) Specifiche: (1) errore a regime nullo al gradino e1= 0 (2) errore a regime alla rampa e1 1% (3) sovraelongazione S 20% (4) tempo di salita ts  0.5 sec

Il sistema non soddisfa specifica (2) ESEMPIO DI SINTESI C(s)=1 G(s) + r e C(s)=1 u G(s) y _ Il sistema non soddisfa specifica (2)

COMPENSAZIONE STATICA r + y e 100 u G(s) Per soddisfare (2) si sceglie Kc=100. Il sistema non soddisfa (3): S>80% _

CONVERSIONE SPECIFICHE DINAMICHE Usando le formula empiriche si trovano valori di primo tentativo per mf e wf : ts=0.5 sec  wf = 2 / ts = 4 rad/sec S = 0.2  mf = 50°

COMPENSAZIONE DINAMICA

COMPENSAZIONE DINAMICA Alla pulsazione wf = 4 rad/sec occorre - un anticipo di circa 35° 40° - un’attenuazione di circa 15 16 dB Si possono usare - rete anticipatrice con m=8 e w=wft =1.5 - rete attenuatrice con m=10 e w=wft =200

COMPENSAZIONE DINAMICA Il compensatore risultante è C(s) = 100 guadagno anticipatrice attenuatrice 1+ 3/8 s 1 + 5s 1 + 3/64 s 1 + 50 s

VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMI DI BODE DI L(jw)

VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA AL GRADINO DI y

VERIFICA: TEMPO DI ASSESTAMENTO

VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA ALLA RAMPA

VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMA DI AMPIEZZA DI T(jw)

VERIFICA PROGETTO: INGRESSO DELL’ATTUATORE

CONTROLLORI INDUSTRIALI STANDARD + + + z* e Regolatore u Processo z _ + + n Controllo a relay Il controllo a relay è usato diffusamente negli elettrodomestici e in semplici sistemi di controllo di temperatura, industriali e per edifici. e u e u Le variabili di un sistema di controllo a relay tendono ad esibire un comportamento periodico, che va studiato con attenzione per garantire che l’ampiezza e il periodo di tali oscillazioni siano compatibili con le specifiche del problema di controllo.

Regolatori industriali standard P : regolatore proporzionale I : regolatore integrale PI : regolatore proporzionale-integrale PD : regolatore proporzionale-derivativo PID: regolatore proporzionale-integrale-derivativo e u Regolatore Funzioni di trasferimento U(s)/E(s) P : C(s)= Kp I : C(s)= Kp/sTi PI : C(s)= Kp(1 + 1/sTi) PD : C(s)= Kp(1 + sTd) PID: C(s)= Kp(1 + sTd + 1/sTi) Azioni di controllo P : u(t) = Kp e(t) I : u(t) =(Kp/Ti) PI : u(t) = Kp e(t)+(1/Ti)  PD : u(t) = Kp e(t)+Td  PID: u(t) = Kp e(t)+Td +(1/Ti)  Kp = guadagno proporzionale; Ti = costante di tempo integrale; Td = costante di tempo derivativa

e P, I, PI,PD,PID u Note sulle proprietà dei regolatori industriali azione proporzionale Il comando u(t) è proporzionale all’errore e(t). L’errore di regolazione in genere non si annulla all’infinito, ma risulta comunque inversamente proporzionale alla costante di proporzionalità K. D’altra parte l’aumento del guadagno K tende a far peggiorare sia la stabilità del sistema di controllo che l’effetto prodotto dal rumore di misura. Talvolta per azzerare l’errore si preferisce sommare all’ingresso u(t) un valore costante U (chiamato valore di reset). azione integrale La differenza fra i comandi u(t) e u(0) è proporzionale all’integrale dell’errore nell’intervallo [0,t]. L’importanza dell’azione integrale deriva dal fatto di assicurare errore nullo a regime per variazioni a gradino del segnale di riferimento (set-point) e del disturbo sull’uscita. Inoltre l’errore si mantiene nullo anche in presenza di variazioni del guadagno in continua del processo. Nel regolatore PI l’azione integrale si somma a quella proporzionale garantendo il reset automatico. Gli inconvenienti maggiori dell’azione integrale sono legati al problema noto come wind-up e al passaggio da funzionamento manuale ad automatico del regolatore. azione derivativa Il comando u(t) è proporzionale alla derivata dell’errore e(t). L’azione derivativa è utile per processi che hanno uno scarso margine di stabilità, non facilmente migliorabile con l’azione proporzionale. D’altra parte l’azione derivativa risulta dannosa per quanto riguarda l’effetto prodotto dal rumore ad alte frequenze sul comando u(t), e non viene mai utilizzata da sola perché farebbe perdere al sistema di controllo la fondamentale proprietà di essere passa-basso.

Altre azioni caratteristiche dei regolatori industriali Azione in andata I regolatori industriali hanno spesso dei morsetti di ingresso addizionali per l’introduzione di un’azione in andata (anticipo o “feedforward”) u°(t) sulla variabile di controllo. Tale azione risulta utile nei casi in cui si ha a disposizione delle misure sul disturbo sull’uscita. Guadagno variabile Alcuni regolatori possono far dipendere il guadagno dell’azione integrale dall’errore di regolazione e(t). Nel caso più comune si hanno due valori fissabili a priori, ed è usato il più piccolo fino a quando l’errore rimane in un intervallo prefissato, mentre al di fuori di tale intervallo è usato il maggiore. Controllo a tempo proporzionale I regolatori commerciali sono predisposti per uscite analogiche di caratteristiche standard (4÷20 mA e 0÷10 V). Esistono anche le predisposizioni per uscite di tipo logico a relay, dette a “tempo proporzionale”. In tal caso si usa un circuito, detto PWM (Pulse Width Modulator), che modula la durata degli intervalli nei quali il comando è on/off. Saturazioni comando La variabile di controllo u(t) in un qualsiasi anello di regolazione è sempre limitata superiormente e inferiormente. In alcuni casi, come per esempio in presenza di variazioni rilevanti dei segnali agenti sul sistema di controllo, può accadere che il comando vada in saturazione. In tal caso anche il regolatore lavora ad anello aperto ed integrando un segnale praticamente costante può allontanarsi molto dal campo di valori utili per il controllo. Questo implica che occorrerà molto tempo per ristabilire i valori normali di controllo (wind-up).

Note sulla scelta della legge di controllo I regolatori industriali sono molto utilizzati per il controllo di processi industriali. Uno dei motivi principali è relativo al fatto che le specifiche di controllo non sono mai molto stringenti. Il PI risulta adeguato per processi caratterizzati essenzialmente da una dinamica del primo ordine, oltre a un eventuale ritardo puro. Il regolatore I risulta adeguato per processi puramente algebrici (dinamica trascurabile) come la regolazione di portata con valvole. Il regolatore PID è indicato per sistemi dove la dinamica risulta essenzialmente del secondo ordine. Nel caso di ritardo puro trascurabile, l’azione derivativa fornisce un anticipo di fase utile per assicurare la stabilità dell’anello in una banda passante più ampia. Se invece il ritardo puro è dominante risulta necessario utilizzare schemi di controllo più sofisticati come il predittore di Smith oppure il controllo in cascata. Il regolatore PID può risultare inadeguato per sistemi con modi oscillatori sostenuti. Tali situazioni si incontrano nei servo-posizionatori elettrodinamici e oleo-dinamici, in cui sono presenti masse mobili, collegate tra loro e con la base fissa mediante trasmissioni in qualche misura elastiche. Esistono diversi metodi per tarare i parametri dei regolatori industriali, sia con procedure manuali che automatiche. Tali metodi sono basati sullo studio della risposta al gradino, sulla determinazione di alcuni punti della risposta in frequenza, e sulla stima parametrica del processo. -st -st G(s)= K e /(1+ Ts) G(s)= K e /(1 + 2ds/ωn + s²/ωn²) Dinamica del primo ordine + ritardo Dinamica del secondo ordine + ritardo

TARATURA DEI CONTROLLORI PID Esistono numerose regole empiriche e metodi sistematici per la scelta dei guadagni Kp , Ki, Kd del controllore PID alcuni dei quali non richiedono la conoscenza della f.d.t. G(s) del processo da controllare.

METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO Si determinano sperimentalmente: guadagno critico Kc periodo critico Tc come il valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed il relativo periodo di oscillazione. Kp Ti Td P 0.5Kc PI 0.45Kc 0.8Tc PID 0.6Kc 0.5Tc 0.125Tc

METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO APERTO Si determinano sperimentalmente: f.d.t. del processo G(s) = K exp(-ts) / (1+Ts) guadagno K, ritardo T, costante di tempo t Kp Ti Td P T/(Kt) PI 0.9 T/(Kt) 3t PID 1.2 T/(Kt) 2t 0.5t

METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO Si determinano sperimentalmente: guadagno critico Kc periodo critico Tc come il valore del guadagno a cui il sistema oscilla ed il relativo periodo di oscillazione. Kp Ti Td P 0.5Kc PI 0.45Kc 0.8Tc PID 0.6Kc 0.5Tc 0.125Tc

CENNI DI CONTROLLO DIGITALE y ek Controllore digitale C uk u Processo P r e A/D D/A A/D: convertitore analogico/digitale; converte il segnale analogico e(t) in una sequenza di dati binari ek = e(kD) a N bit. D/A: convertitore digitale/analogico; converte la sequenza uk in un segnale analogico u(t)

CAMPIONATORE (Convertitore A/D) ek e(t) Campionatore ideale: ek = e(kD) k=0,1,2,…….. D : periodo di campionamento A/D effettua campionamento e quantizzazione del campione ek su una parola di N cifre binarie

MANTENITORE (Convertitore D/A) uk u(t) Mantenitore di ordine zero (Zero-Order-Hold): u(t)= uk kD  t < (k+1) D k=0,1,2,…….. D : periodo di campionamento D/A : fornisce in uscita un segnale costante a tratti mantenendo l’uscita al valore uk nell’intervallo [ kD ,(k+1)D )

CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE C(z) ek uk Nel periodo di campionamento [ kD ,(k+1)D ), dopo aver campionato ek, il controllore digitale calcola uk mediante l’equazione alle differenze uk+p1uk-1+ ••• +pruk-r = q0ek+q1ek-1+ ••• + qsek-s

p(z) C(z) ek uk L’eq.ne alle differenze del controllore digitale CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE C(z) ek uk L’eq.ne alle differenze del controllore digitale uk+p1uk-1+ ••• +pruk-r = q0ek+q1ek-1+ ••• + qsek-s è rappresentata sinteticamente dalla funzione di trasferimento: q(z) q0 + q1z-1 + … + qr-1z-s+1 + qsz-s p(z) C(z) = = 1 + p1z-1 + … + pr-1z-r+1 + prz-r

SINTESI DI UN CONTROLLORE DIGITALE Esistono due diverse filosofie di progetto di un sistema di controllo digitale: (1) Discretizzazione di un controllore analogico: si progetta con tecniche classiche (ad esempio sintesi per tentativi) la f.d.t. C(s) di un controllore analogico che consente di soddisfare tutte le specifiche (statiche e dinamiche); successivamente si determina la f.d.t. Cd(z) di un controllore digitale che, collegato in serie fra D/A e A/D, approssima il comportamento del controllore analogico progettato. (2) Sintesi diretta di un controllore digitale: si approssima la connessione serie mantenitore-processo G(s)-campionatore con una f.d.t. Gd(z) e si progetta direttamente in tempo-discreto un controllore C(z) che soddisfa tutte le specifiche.

SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO D : periodo di campionamento 1/D : frequenza di campionamento 2p /D : pulsazione di campionamento p /D : pulsazione di Nyquist La scelta del periodo di campionamento D è fondamentale nei sistemi di controllo digitale. Essa è prevalentemente influenzata dai seguenti fattori: - costo dei dispositivi A/D, D/A e potenza di calcolo richiesta - problemi numerici (perdita di precisione per D piccolo) - sensibilità ai disturbi - campionamento e informazione: la pulsazione di campionamento va commensurata alla banda richiesta al sistema retroazionato

SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO D : periodo di campionamento 1/D : frequenza di campionamento 2p /D : pulsazione di campionamento p /D : pulsazione di Nyquist Se wB è la banda passante desiderata occorre scegliere (per il teorema di Shannon) p /D > wB ; una buona regola euristica è 6 < wc / wB < 20, wc = 2p /D

DISCRETIZZAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE Esistono numerosi metodi per effettuare l’approssimazione C(s)  Cd(z), quali METODO DI EULERO (in avanti) s= (z-1)/D METODO DI EULERO (indetro) s= (z-1)/ (D z) METODO DI TUSTIN s=2(z-1)/D (z+1) L’approssimazione è tanto migliore quanto più D è piccolo; buona regola euristica wc / wB = 20  50 wc = 2p/D

Modello discreto equivalente Gd(z) = (z-1/z) Z[G(s)/s] SINTESI DIRETTA DI UN CONTROLLORE DIGITALE yk uk ZOH Processo G(s) A/D yk uk Gd(z) Modello discreto equivalente Gd(z) = (z-1/z) Z[G(s)/s]

CONTROLLORE PID DIGITALE CPID(s) = Kp + Ki /s + Kd s s  (z-1)/Dz (approssimazione di Eulero) CPID(z) = Kp + Ki Dz /(z-1) + Kd (z-1)/Dz uk=uk-1 +Kp(ek -ek-1) + KiD ek + (Kd/D ) (ek-2ek-1+ek-2) ek uk PID digitale

IMPLEMENTAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE (1) Acquisizione di ek dal convertitore A/D (2) Calcolo di uk mediante eq.ne alle differenze (3) Invio di uk al convertitore D/A