Corso di Matematica Discreta 4 Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio Vogliamo risolvere i seguenti problemi: Dati due insiemi A e B, con |A|=c(A)=k, |B|=c(B)=n calcolare il numero delle applicazioni di A in B. Indichiamo questo numero con Fn,k. Questo numero viene detto numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k. Dati due insiemi A e B, con |A|=c(A)=k, |B|=c(B)=n calcolare il numero delle applicazioni iniettive di A in B. Indichiamo questo numero con Dn,k. Questo numero viene detto numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k. Dato un insieme B, con |B|=c(B)=n, e preso un intero k n, trovare il numero dei sottoinsiemi di B composti di k elementi.Indichiamo questo numero con Cn,k. Il numero Cn,k viene detto numero delle combinazioni di n elementi di classe k.

Disposizioni con Ripetizione Per calcolare Fn,k procediamo nel seguente modo: per k=1 quanto è Fn,1? E’evidente che Fn,1=n. Infatti se A consta di un solo elemento il numero di possibili applicazioni da A in B è uguale al numero degli elementi di B. Supponiamo adesso che A sia costituito da k>1 elementi e sia a un qualunque elemento di A. Ripartiamo le applicazioni da A in B in classi, mettendo nella stessa classe le applicazioni che coincidono in A-a. Dunque una stessa classe conterrà tanti elementi quante sono le applicazioni da aB cioè n mentre il numero delle classi è Fn,k-1. In totale è Fn,k =n Fn,k-1. Poiché è Fn,1=n allora Fn,k =nk

Disposizioni con Ripetizione Spesso, oltre che con il simbolo Fn,k il numero di disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k si indica con il simbolo Drn,k. Se pensiamo ai k elementi di A come alle coordinate di una k-upla ogni applicazione di A in B corrisponde biunivocamente ad una k-upla x di elementi di B cioè xBk=B B … B. Quindi il numero di applicazioni da A in B corrisponde al numero di k-uple di Bk che è appunto nk. Esempio: Sia B = {a, b}; le disposizioni con ripetizione di classe 1 sono:(a), (b); quelle di classe 2 sono: (a, a), (a, b), (b, a), (b, b); quelle di classe 3 sono: (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b); ecc.

Disposizioni Semplici Notiamo che affinché esista un’applicazione iniettiva da A, con |A|=k, in B, con |B|=n deve essere nk. E’ facile vedere che Dn,1=n. Supponiamo ora che A abbia k>1 elementi e sia a uno di essi. Ripartiamo l’insieme delle applicazioni iniettive da A in B in classi, mettendo in una stessa classe le applicazioni che coincidono in A-a. Una classe conterrà n-(k-1) elementi: tanti sono infatti i valori che restano disponibili in B, non potendo un’applicazione iniettiva assumere nel punto a alcuno dei k-1 valori già assunti in A-a. Quindi Dn,k= Dn,k-1 (n- k+1). Essendo Dn,1=n si ha allora che Dn,k=n(n-1)(n-2)…(n-k+1).

Disposizioni Semplici Come già visto per le disposizioni con ripetizione possiamo pensare alle applicazioni iniettive da A in B come k-uple di elementi distinti di B. Esempio: Sia B={a, b, c} ; le disposizioni di classe 1 sono: (a), (b), (c) ; quelle di classe 2 sono: (a, b), (a, c), (b, a), (b, c),(c, a), (c, b) ; quelle di classe 3 sono: (a, b, c),(a,c,b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a), ecc.

Permutazioni o Sostituzioni Il numero di permutazioni semplici o sostituzioni è semplicemente il numero di disposizioni semplici di classe n cioè Dn,n. Dalla formula precedente segue che Dn,n=n(n-1)(n-2)…(n-n+1)= n! Quindi il numero delle Permutazioni o Sostituzioni è il numero delle applicazioni iniettive di un insieme in un altro di cardinalità uguale. Queste applicazioni sono ovviamente anche surgettive e quindi il numero delle permutazioni o sostituzioni è il numero delle biezioni di un insieme in un altro della stessa cardinalità.

Permutazioni o Sostituzioni Spesso però si prende B=A e si indicano le Permutazioni (o Sostituzioni) di classe n con il simbolo Pn (o Sn). Esse quindi sono il numero di biezioni di un insieme in sé stesso. Possiamo vedere una permutazione come un ri-ordinamento di n elementi. Esempio. Sia A= {1, 2, 3}. Pn= {(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)} | Pn |=3!=3*2*1=6

Combinazioni elementi quante sono le applicazioni biiettive di un Consideriamo l’insieme di tutte le applicazioni iniettive di un insieme A di k>0 elementi in un insieme B di n elementi (kn). Introduciamo nell’insieme di queste applicazioni la seguente relazione di equivalenza: fg  f(A)=g(A) In altre parole, due applicazioni sono equivalenti se hanno la stessa immagine. Le possibili classi di equivalenza sono tante quanti i sottoinsiemi di B costituiti da k elementi, cioè Cn,k. Ogni classe contiene tanti elementi quante sono le applicazioni biiettive di un insieme di k elementi in un insieme di k elementi.

Combinazioni Possiamo scrivere allora che: Dn,k= Cn,k* Dk,k cioè Cn,k= Dn,k/ Dk,k =n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k! Definiamo Cn,0=1 (esiste un solo insieme vuoto!) I numeri Cn,k vengono anche detti coefficienti binomiali e vengono indicati con il simbolo: ( ) Infatti se moltiplichiamo numeratore e denominatore dell’espressione precedente per (n-k)! si ottiene: Cn,k= n(n-1)(n-2)…(n-k+1)(n-k)!/k!(n-k)!=n!/(n-k)!k! Poiché è 0!=1 questa relazione vale anche per k=0 e k=n. n k

Coefficienti Binomiali Abbiamo visto che ( )= n!/(n-k)!k!  ( )= ( ). Questa relazione può essere dimostrata anche notando che vi è un’ovvia corrispondenza biunivoca tra la famiglia dei sottoinsiemi di k elementi e quella dei sottoinsiemi di n-k elementi: quella che associa ad ogni insieme il suo complementare. Vale inoltre la seguente uguaglianza ( )= ( )+ ( ). n k n k n n-k n k n-1 k n-1 k-1

Coefficienti Binomiali Abbiamo visto che: ( )= ( )+ ( ). La dimostrazione di questa uguaglianza si può ottenere tramite semplici calcoli applicando la definizione di coefficiente binomiale. E’ interessante però darne una dimostrazione di tipo combinatorio. ( )= Cn,k è il numero di sottoinsiemi di k elementi contenuti in un insieme B di n elementi. Fissato un elemento aB i sottoinsiemi di k elementi di B si possono ripartire in quelli che non contengono a ed in quelli che lo contengono: i primi sono in numero di ( ) (perché sono i sottoinsiemi di B-a costituiti da k elementi), gli altri sono in numero di ( ) (perché sono i sottoinsiemi di k-1 elementi di n-1 elementi a cui aggiungiamo a) n k n-1 k n-1 k-1 n k n-1 k n-1 k-1

Triangolo di Tartaglia o Pascal La formula precedente ci permette di calcolare i coefficienti binomiali tramite il cosidetto Triangolo di Tartaglia. Questa è una tabella di numeri disposti su righe e colonne: il numero ( ) viene scritto all’incrocio della n-esima riga e della k-esima colonna (kn). Si ha ( ) = ( ) =1. Per 0<k<n si ha che ( ) è somma di due numeri che si trovano nella riga precedente: uno nella stessa colonna e l’altro nella colonna precedente. n k n n n k

Triangolo di Tartaglia o Pascal 1 1 1 n=1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

Formula di Newton dello sviluppo del Binomio Teorema (Formula di Newton) Siano a e b numeri reali. Allora vale l’uguaglianza: (a+b)n= ( )an-k bk Dim: La potenza (a+b)n è il prodotto di n fattori tutti uguali a (a+b). Il suo sviluppo è una somma di monomi tutti di grado n in a e b del tipo an-k bk con 0 k n. Il monomio an-k bk compare tante volte quanti sono i modi di fissare i k fattori da cui estrarre b (estraendo a dai rimanenti n-k, cioè ( ). n k n k