LABORATORIO 4

1. LA RISONANZA MAGNETICA

Una coppia supplementare di bobine applica un c.m. trasversale alla frequenza costante di qualche centinaio di KHz al vapore di Rb. Quando il c.m. longitudinale spazzato raggiunge il valore per il quale lo splitting Zeeman coincide in frequenza con il valore della frequenza applicata, vengono indotte transizioni che ripopolano i livelli Zeeman depopolati dal pompaggio ottico. Di conseguenza si avranno dei picchi di aumento di fluorescenza. Questa è una Risonanza Elettronica di Spin (ESR) rivelata con metodi ottici, con un enorme guadagno in sensibilità (almeno 106 volte) rispetto ai metodi a radiofrequenza.

Per il 85Rb lo splitting Zeeman vale 480 kHz/Gauss

1.1 L’ESPERIMENTO

1.2. CONDIZIONI PER LA RISONANZA MAGNETICA Il valore della frequenza di risonanza, detta Frequenza di Larmor, è legato al valore del campo magnetico statico B dalla seguente relazione: f = DE/h = gF mB B/h (condizione di Larmor) dove: gF è il fattore di Landé, che dipende dal particolare livello iperfine coinvolto, ed è dell’ordine dell’unità; mB è il magnetone di Bohr, μB =9,27×10-21 erg·Gauss-1 Tipicamente si lavora con una radiofrequenza (R.F.) f nell’ambito delle centinaia di KHz, a cui sono associati fotoni con energia E  3·10-8 eV. Per il 85Rb si trova che f = 480 HKz/Gauss. Questo suggerisce la possibilità di determinare con grandissima precisione valori dei campi magnetici per mezzo della misura di una frequenza. Come è noto la frequenza è fra le grandezze fisiche una di quelle determinabili con la migliore precisione. In questi esperimenti vengono rivelate con grande precisione differenze di energia di 10-9 eV

Il fattore gF di Landé non coincide con il fattore g dell’elettrone, ma dipende dal particolare livello iperfine coinvolto nel modo che segue: gF = gJ [F(F+1) + J(J+1) – I(I+1)]/[2F(F+1)], in cui: gJ = 1 + [J(J+1) + S(S+1) – L(L+1)]/[2J(J+1)] Il fattore gF di Landé è dato da: µ = gF µB(J/ħ) dove µ è il momento magnetico totale derivante sia dal momento angolare che dallo spin e quindi dal momento angolare totale J = L+S. Una tabella molto completa di tutte le costanti fisiche fondamentali si trova nel seguente sito: http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category? view=html&All+values.x=80&All+values.y=11

 Picco di depompaggio 85Rb Picchi di rison. Magn. 87Rb  Sweep c.m.

VISUALIZZAZIONE IN CAMPO DISOMOGENEO: FILM Il campo magnetico viene variato

1.3. SENSIBILITÀ DELLA RISONANZA MAGNETICA RIVELATA OTTICAMENTE Nel vapore di Rb a pressione molto bassa, 10-5 mbar, vi è un numero molto piccolo di atomi che partecipano al processo, e l’energia totale scambiata è così piccola che non ne e’ possibile una rivelazione diretta. Questa tecnica, sviluppata da Kastler, richiede che per ogni processo di emissione indotta la popolazione di equilibrio fra il pompaggio ottico e i processi di rilassamento cambi di 1 atomo. Questo provoca l’assorbimento di un nuovo fotone di energia Eott1,5 eV. Poiché tale assorbimento viene osservato direttamente, si ha una amplificazione di 1,5 eV/(3·10-8 eV) = 5·10-7 (rapporto fra l’energia dei fotoni ottici e quella dei fotoni a R.F.).

Questa è una Risonanza Elettronica di Spin (ESR) rivelata con metodi ottici, con un enorme guadagno in sensibilità rispetto ai metodi a radiofrequenza. Una applicazione della risonanza magnetica rivelata otticamente è quella della misura precisa di piccoli campi magnetici. Infatti il metodo converte un campo magnetico in una frequenza, che fra le grandezze fisiche è quella determinabile con la più alta precisione.

1.4. INTERPRETAZIONE Le oscillazioni di Rabi L’animazione che segue mostra il comportamento degli spin degli elettroni (segmento nero) in condizione di risonanza magnetica. Il campo magnetico statico è verticale. Il campo magnetico a radiofrequenza è trasversale, in direzione Ox. L’ago magnetico rosso e verde ruota sul piano orizzontale alla frequenza del campo a R.F, cioè alla frequenza di Larmor. La sua rotazione è provocata dalla componente della R.F. nella direzione Ox. Se non vi fosse il campo trasversale a R.F. lo spin sarebbe allineato con il campo statico e sarebbe verticale. Il campo a R.F. provoca la precessione dello spin attorno alla verticale nel modo rappresentato da questa animazione.

Animazione: le oscillazioni di Rabi y x

Il segmento verticale variabile rosso è la proiezione nella direzione verticale del vettore rotante che rappresenta lo spin. Questa proiezione ha un andamento sinusoidale. La sua frequenza si chiama “Frequenza di Rabi”, e l’oscillazione di questo segmento è l’oscillazione di Rabi. Le oscillazioni di Rabi degli spin degli atomi avvengono ad una frequenza di gran lunga inferiore a quella della loro precessione. Notare che la frequenza di Rabi è la frequenza di oscillazione del vettore di spin nella direzione del campo statico perpendicolare alla direzione del campo a R.F.

1.5. POSSIBILI INDAGINI Osservare i segnali di risonanza magnetica e cercare di ottimizzare la loro ampiezza e la loro larghezza 2. Verificare la corrispondenza fra il campo magnetico statico calcolato sulla base delle caratteristiche delle bobine di Helmotz e i dati dalle frequenze di risonanza. 3. Valutare l’abbondanza relativa degli isotopi 85Rb e 87Rb dall’altezza dei picchi di risonanza. 4. Cosa succede quando si aumenta la potenza della R.F.? Verificare se si tratta di transizioni a più fotoni. 5. Determinare il valore del fattore gF di Landé per il 87Rb.

Determinare il momento angolare totale J dell’elettrone nell’atomo di 85Rb.

APPENDICE Il calcolo esatto dello splitting Zeeman   Le costanti fisiche che intervengono: gs = 2,003 (Fattore g di Landé) gi = 0,805٠10-3 (fattore giromagnetico nucleare) μb = 0,92732٠10-20 g cm2/gauss s2 (Magnetone di Bohr) h = 6,62525٠10-27 g cm2/s (Costante di Plank) I = 5/2 (spin nucleare del 85Rb) I = 3/2 (spin nucleare del 87Rb) Il fattore g di Landé è associato allo spin dell’elettrone: μs = - gs (S/ħ), essendo μs il momento magnetico associato allo spin. Analogamente per il fattore gi associato allo spin del nucleo.

Dalle formule di Breit-Rabi (v.) si trova che lo splitting in energia fra i livelli Zeeman di un atomo con spin nucleare I posto in un campo magnetico esterno H è dato da: ΔEz = (gi + gs) μb H/(2I + 1) Questo splitting è risonante con fotoni di frequenza data da: f = (gi + gs) μb H/(2I + 1) h   Sostituendo i valori si trova che per il 85Rb in un campo ma- gnetico di 1 Gauss la frequenza per la risonanza magnetica è data da: f = (2,003 + 0,805 10-3) 0,92732٠10-20/6٠6,62525٠10-27 = = 467,3 KHz/Gauss Come esercizio: calcolare la frequenza di risonanza magnetica per il 87Rb.

FINE