LE SUCCESSIONI Si consideri la seguente sequenza di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento! Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente: ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

LE SUCCESSIONI Le successioni sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei numeri reali. Le successioni vengono indicate : Ovvero come : Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

Successioni numeriche: rappresentazione grafica Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati; in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari

LE SUCCESSIONI Esempio 1. Si consideri la successione: al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0. Esempio 2 Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi Esempio 3 Si consideri la successione : Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

LE SUCCESSIONI  

Successioni numeriche: limitatezza  

Successioni numeriche: monotonia  

Successioni numeriche: monotonia  

Teorema sulle successioni monotòne  

LE SUCCESSIONI: realtà e modelli Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da: Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

LE SUCCESSIONI Proprietà dei limiti: A) B) C) D)

LE SUCCESSIONI Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n: Esempio 4: Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha: In generale si ha:

LE SUCCESSIONI Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione: A) h>k B) h=k C) h<k

LE SUCCESSIONI In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato: Nel caso A) si ha Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a mentre il denominatore converge a –1 quindi la successione diverge a

LE SUCCESSIONI Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene: Per cui e quindi la successione è convergente a - 1.

LE SUCCESSIONI Nel caso C) si ha: Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: =0 La successione è convergente.

LE SUCCESSIONI Concludendo: A) se h>k la successione è divergente a B) se h=k la successione è convergente a C) se h<k la successione è convergente a 0.

LE SUCCESSIONI Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma: si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ , perché si genera la forma indeterminata

LE SUCCESSIONI Si consideri la successione : Essa da luogo alla forma indeterminata ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnx.

LE SUCCESSIONI Si consideri ora la successione: Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:

LE SUCCESSIONI Calcolando il limite si ottiene:

LE SUCCESSIONI Esempio 5. Si consideri la successione Il calcolo del limite porta a:

LE SUCCESSIONI La successione geometrica: Se la successione è oscillante e non esiste. Se la successione è convergente e Se q=1 la successione è costante e Se la successione è divergente e

LE SUCCESSIONI Esempio 6.