Modulo 1 Unità didattica 2: Caratteristiche dei sistemi lineari

Funzione di trasferimento di un quadripolo Nel dominio della frequenza la funzione di trasferimento di un quadripolo H(f) è la funzione che descrive il comportamento dello stesso al variare della frequenza. Segnale d’ingresso: Segnale d’uscita: Sistema lineare uscita ingresso

Funzione di trasferimento: Separando il modulo e la fase: NOTA Grazie alla linearità del mio sistema, vale la sovrapposizione degli effetti. Quindi è come se si applicassero una alla volta le componenti spettrali ( sinusoidi) e si valutasse separatamente la risposta a ciascuno di esse, sommando poi tutte le risposte.

Banda di un quadripolo La banda di un quadripolo è l’intervallo di frequenza in cui il quadripolo si comporta nel modo desiderato nei confronti dei possibili segnali d’ingresso. La frequenza di taglio fT è la frequenza in corrispondenza della quale il valore del modulo di H(f) diventa volte il valore che si ha nel centro della banda del quadripolo.

Modello di un quadripolo ideale Determinata la f.d.t., si possono stabilire le condizioni sotto le quali il quadripolo si comporta in modo ideale nei confronti del segnale che lo attraversa. Un quadripolo, avente in ingresso un generatore, e chiuso su di un carico, si comporta in modo ideale se: È adattato in ingresso ed uscita ( assenza di riflessioni) Non è soggetto a rumore Le sue caratteristiche non variano nel tempo Non provoca distorsione Vediamo quali sono le condizioni da imporre per non provocare distorsione.

Condizioni di non distorsione Un quadripolo non introduce distorsioni quando esso produce in uscita un segnale avente la stessa forma del segnale in ingresso: Per determinare le condizioni di non distorsione occorre analizzare il comportamento del quadripolo sia nel dominio del tempo che della frequenza Le condizioni da imporre sono: La sua caratteristica i-u deve essere lineare Lo spettro delle ampiezze deve essere costante, almeno nella banda del segnale d’ingresso. Lo spettro delle fasi deve essere lineare almeno nella banda del segnale d’ingresso

Vediamo singolarmente le condizioni Nel dominio del tempo, la caratteristica i-u del quadripolo deve essere lineare in tutto il range delle ampiezze che il segnale in ingresso può assumere. La condizione di linearità può essere espressa ( trascurando il ritardo): Nel dominio della frequenza bisogna studiare la f.d.t. del quadripolo. In particolare il quadripolo non deve modificare lo spettro delle ampiezze del segnale in ingresso ( almeno alle frequenze del segnale d’ingresso) Lo spettro delle fasi deve essere lineare ( almeno alle frequenze del segnale d’ingresso)

Funzione di trasferimento di un dipolo non distorcente Sotto le condizioni precedenti, la forma del segnale in uscita al quadripolo resta inalterata. Le condizioni di non distorsione del quadripolo devono essere verificate nella banda del segnale d’ingresso, altrove il comportamento del dipolo è ininfluente. La funzione di trasferimento del dipolo non distorcente è allora:

Distorsioni Distorsioni da non linearità: caratteristica i-u non lineare Distorsione di ampiezza: Distorsione di fase e di ritardo di gruppo:

Distorsioni da non linearità Derivano dal fatto che il quadripolo ha un legame i-u non lineare. Ciò significa che, se il segnale entra sinusoidale non ne esce sinusoidale. Tale tipo di distorsione produce sia una distorsione armonica che da intermodulazione. La distorsione armonica fa si che in uscita al mio quadripolo ottengo non solo un termine proporzionale al segnale in ingresso ( segnale utile) ma anche una seconda, terza, quarta ....armonica che sommandosi al segnale utile rendono il segnale non più sinusoidale.

Dn coefficiente di distorsione armonica dove Vn valore efficace dell’n-esima armonica. Distorsione armonica totale (TDH) La distorsione armonica viene usata nei moltiplicatori di frequenza per generare armoniche con frequenza multipla di quella generata da un oscillatore di riferimento.

Distorsione da intermodulazione Con l’analisi di Fourier un segnale non sinusoidale può essere visto come somma di tante sinusoidi. Ciascuna sinusoide subirà una distorsione armonica. Il quadripolo non è lineare per cui non vale la sovrapposizione degli effetti e quindi oltre alla distorsione armonica interviene anche un altro effetto indesiderato: distorsione da intermodulazione. Se il segnale in ingresso è composto da due componenti a frequenza f1 ed f2, la distorsione da intermodulazione determina la comparsa di altre due componenti a frequenza f1+f2 e f1-f2.

Come cambia lo spettro del segnale d’ingresso se il quadripolo non è lineare? Si(f) f1 f2 f Intermodulazione Su(f) f2-f1 f1 f2 2f1 f1+f2 2f2 f Distorsione armonica

Distorsione di ampiezza Si verifica una distorsione di ampiezza se Questo vuol dire che le componenti spettrali del segnale in ingresso non sono trattate tutte allo stesso modo. Lo spettro delle ampiezze cambia e quindi cambia la forma del segnale che si trova in ingresso al quadripolo. Per eliminare questo problema si inserisce lungo il percorso che segue il segnale, un dispositivo chiamato equalizzatore di ampiezza che possiede un f.d.t. complementare rispetto a quella del quadripolo in modo da compensarlo.

Distorsione di fase e di ritardo di gruppo Se abbiamo un quadripolo con una caratteristica di fase non lineare, al cui ingresso abbiamo un segnale non sinusoidale, nell’attraversare il quadripolo, il segnale verrà distorto in quanto ogni componente spettrale ha tempi di propagazione diversi ( fase non lineare!!!). Di conseguenza le componenti del segnale d’uscita si sommano in maniera diversa rispetto al segnale d’ingresso, modificando la forma del segnale. A seconda di come si valutano le differenze di ritardo abbiamo: Distorsione di fase Distorsione di ritardo di gruppo

Distorsione di fase Il tempo di propagazione viene calcolato considerando separatamente i tempi di propagazione di ogni componente sinusodale del segnale in ingresso. tp è il tempo di ritardo di fase ( o tempo di propagazione) corrispondente alla sinusoide alla frequenza fo.

Distorsione di ritardo di gruppo Pretendere di avere una completa linearità della caratteristica di fase è una condizione restrittiva. E’ importante che la caratteristica sia lineare nella banda del segnale in ingresso. Graficamente, bisogna imporre che la pendenza della caratteristica di fase sia costante nella banda del segnale: è chiamato ritardo di gruppo. Se questa condizione non è verificata si avrà una distorsione di ritardo di gruppo.

Esercizio 1 Il segnale Viene applicato ad un quadripolo con una f.d.t. Determinare lo spettro e l’espressione matematica del segnale in uscita e dire se il quadripolo introduce o meno distorsione. Specificare, in caso di risposta affermativa, che tipo di distorsione ha introdotto, motivando la risposta.

Esercizio 2 In ingresso ad un quadripolo si ha il segnale Mentre in uscita si rileva il seguente segnale ( scomposto secondo Fourier): Tracciare lo spettro del segnale in uscita, determinando il tipo di distorsione introdotta dal quadripolo e il TDH.