La filosofia interroga la matematica V. Michele Abrusci (filosofia, Roma Tre) & Mario Girardi (matematica, Roma Tre), Liceo Classico “Socrate”, Roma 23 febbraio 2012

Dalla matematica alla filosofia Alcuni contributi importanti offerti dalla matematica al pensiero filosofico. Fra di essi: La dimostrazione di una proposizione universale mediante un “oggetto generico” (matematica greca, prima di Platone) L’elaborazione del metodo assiomatico (Euclide) e del metodo assiomatico formale (geometria ed algebra del secolo XIX) I diversi programmi di fondazione della matematica, proposti da eminenti matematici, fra la fine del XIX secolo e l’inizio del XX secolo.

Dimostrare le proposizioni universali, 1 Proposizioni universali: “ogni A è B” Esempio: “ogni triangolo ha la somma degli angoli interni pari a 180°” Dimostrare una proposizione universale: verificare ogni singolo caso? Impossibile quando i casi sono “tanti” (un numero elevato, o infiniti) E allora? Scoperta nella matematica greca: verificare un solo caso, prendendo in considerazione un “oggetto” e trattandolo come “generico”

Dimostrare le proposizioni universali, 2 Dimostrare “ogni A è B” Si prende un oggetto che è A (ad esempio, un triangolo) Si dimostra che quell’oggetto è B (ad esempio che la somma degli angoli interni è 180°), Usando nella dimostrazione solo quelle proprietà di quell’oggetto che discendono dal suo “essere A” e non le sue particolari proprietà (nell’esempio, solo le proprietà di essere triangolo) Una maniera geniale di dimostrazione, un patrimonio della nostra civiltà Alla base delle “idee” platoniche?

Metodo assiomatico , Euclide, 1 Metodo di organizzazione delle conoscenze, metodo di organizzazione di una disciplina, individuato nella matematica greca (ad esempio, la geometria, Euclide) In una disciplina ci sono I concetti che devono essere “capiti”, “spiegati”, “definiti” (ad esempio, “punto”, “triangolo”, ecc.) Le proposizioni riconosciute come “vere” e che parlano dei concetti della disciplina, i cosiddetti “teoremi” (ad esempio, I “teoremi” della geomeria)

Metodo assiomatico, Euclide, 2 Trovare il più piccolo numero di concetti della disciplina dai quali tutti gli altri concetti possano essere “definiti” mediante “definizioni logiche”; tali concetti sono chiamati “concetti primitivi” Trovare il più piccolo numero di teoremi della disciplina dai quali tutti gli altri teoremi possono essere dimostrati mediante “dimostrazioni logiche”; tali teoremi sono chiamati “postulati” o “assiomi” Esempio: la geometria euclidea, e poi la fisica di Newton, o l’Etica di Spinoza.

Metodo assiomnatico, Euclide, 3 In una disciplina organizzata secondo il metodo assiomatico: Concetti: La comprensione dei concetti primitivi è data dalla “intuizione” dell’oggetto della disciplina (nella geometria, l’intuizione dello spazio); le definizioni logiche trasmettono questa comprensione a tutti gli altri concetti Teoremi: La verità degli assiomi o postulati è stabilita sulla base dell’intuizione dell’oggetto della disciplina; le dinostrazioni logiche trasmettono questa verità a tutti gli altri teoremi.

Metodo assiomatico: la crisi del secolo XIX Nella geometria: Si scopre l’utilità e la sensatezza delle “geometrie non euclidee” (nelle quali viene negato il quinto postulato di Euclide) ad opera di Gauss, Lobačevskij , Riemann). Ma così si hanno, in geometria, diversi sistemi di assiomi, incompatibili tra loro! L’intuizione geometrica può assicurare solo uno di quei sistemi di assiomi; e gli altri su cosa si basano? Nell’algebra: Analoga crisi proviene dall’emergere dell’algebra astratta nel secolo XIX “Liberalizzare” il metodo assiomatico …

Metodo assiomatico formale, Hilbert La condizione di accettabilità di un sistema di assiomi – che sia utile in matematica – non è data dall’intuizione, bensì dall’accertamento che gli assiomi siano “non-contraddittori” (da essi non deve derivare alcuna contraddizione). Il significato dei concetti primitivi è dato dagli assiomi stessi: i “punti”, le “rette” e I “piani” sono le cose che si comportano come è stabilito dagli assiomi della geometria. Esempi: gli assiomi delle diverse geometrie (vedi Hilbert 1899), gli assiomi dell’aritmetica di Peano, gli assiomi delle strutture algebriche (gruppi, anelli, ecc.)

Programmi per la Fondazione della Matematica, 1 Hilbert: fondare la matematica è dimostrare la sua non-contradditorietà (dopo averla presentata in sistemi assiomatici), usando solo metodi della matematica più intuitiva (matematica finitaria). Frege e Russell: (“logicismo”) fondare la matematica è mostrare che essa è tutta ricostruibile all’interno della logica. Brouwer: (“costruttivismo”) fondare la matematica consiste nel sottoporre ad un esame tutte le sue teorie, conservando ciò che può essere ottenuto sulla base di costruzioni effettive, e eliminando tutto il resto.

Fondazione della Matematica, 2 Tutti questi programmi “fondazionali” hanno contribuito a comprendere molta parte della attività matematica; Hanno contribuito all’avanzamento della matematica (ad esempio, il programma di Hilbert e quello di Brouwer hanno contribuito a gettare le basi dell’informatica) Ma tutti questi programmi “fondazionali” sono falliti Per la scoperta della impossibilità del programma di Hilbert (teorema di Goedel, 1931) Per la scoperta di antinomie nel programma del logicismo Per l’impossibilità di basare su costruzioni effettive buona parte delle teorie matematiche che sono peraltro indispensabili nella conoscenza scientifica Riflettere su cosa vuol dire “fondazione della matematica” … una fondazione che non sia un riduzionismo, non sia troppo semplicistica, tenga conto (renda conto) di tutta la matematica Interagire con i matematici , interrogare i matematici

La filosofia interroga la matematica Domanda 1 Quali sono le principali branche della matematica?

La filosofia interroga la matematica Domanda 2 Qual è il rapporto tra la conoscenza della realtà e la conoscenza matematica? La matematica viene dalla realtà? La matematica si riferisce alla realtà?

La filosofia interroga la matematica Domanda 3 Qual è il rapporto tra la matematica e le altre scienze, oggi?

La filosofia interroga la matematica Domanda 4 In che cosa consiste il lavoro del matematico?