GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 Perché l’argomento è interessante per gli studenti delle scuole superiori: da sempre l’argomento è presente nei programmi di filosofia (seconda rivoluzione scientifica, nuova epistemologia, matematica e logica nell’800 e 900). Le proposte dei nuovi programmi di matematica includono le geo non euclidee dal pdv elementare per quasi tutti gli indirizzi. Di fatto, quindi, i nostri studenti devono scontrarsi nel loro corso di studi con il problema della crisi della geo euclidea. E meno male! Infatti l’argom. delle geometrie non euclidee è un ottimo pretesto per far intravedere un fatto chiave: la matematica non è un corpus di conoscenze fisso e immutabile nel tempo, ma si evolve e modifica (cosa vuol dire fare ricerca in matematica?) Inoltre argomento interessante perché grandi ricadute in filo, letteratura, arte, fisica, quindi interdisciplinare. Approccio che cercherò di enfatizzare nel corso del corso, a seconda di interessa dei presenti, che sollecito fin f’ora a fare domande, commenti critiche, ecc…

Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Manuale di gioco

Sistema assiomatico Termini (primitivi e definiti) Assiomi e postulati Teoremi

Termini

Postulati

Assiomi

Proposizioni Le prime 28 e la 31 sono indipendenti dal V postulato Dipendono dal V postulato tutte le altre, tra cui la 29, la 32, la 47 (Teorema di Pitagora) La 17 è l’inversa del V, la 29 è l’inversa della 27 e 28, la 32 implica la 16 e 17 Proposizione 17: In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti. Proposizione 27: Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni interni uguali tra loro, le due rette saranno tra loro parallele. Proposizione 29: Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. Proposizione 32: In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti.

Digressione

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Formulazioni equivalenti

Elenco di enunciati sostitutivi

La geometria assoluta

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Dalla pallavolo al beach volley: il punto di vista del matematico moderno

Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N1 N2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r

In un triangolo la somma degli angoli interni è uguale a 180° Saccheri In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180° In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

Geometria o geometrie? “

Libertà!

La rivoluzione non euclidea Immanuel Kant (1724-1804) Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Kant … e i Munduruku

Come violette a primavera Due giuristi: Schweikart (1780-1859) e Taurinus (1794-1874) … … un militare Bolyai (1802-1860) … e un matematico Lobačevskij (1793-1856)

Letteratura

Geometrie diseducative? Giornale di matematiche ad uso degli studenti PRO Giuseppe Battaglini (1826-92) Eugenio Beltrami (1835-1900) … CONTRO Giusto Bellavitis (1803-80) Angelo Genocchi (1817-89) Luigi Cremona (1830-1903) Francesco Brioschi (1824-97) «geometrie del soprasensibile» o «da manicomio» «a causa delle sue implicazioni filosofiche l’insegnamento della geometria non euclidea si rivelerà molto utile alla gioventù. Infatti, essa dilata il confine delle nostre idee, e può dar luogo a meditazioni elevate e feconde» «i tentativi di rinnovamento radicale dei principi sono il portato naturale dello spirito critico, e quando si presentano come frutto di investigazioni coscienziose e di convinzioni sincere il dovere degli uomini di scienza è di discuterli con animo sereno, tenendosi lontano ugualmente dall’entusiasmo e dal disprezzo». «i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e menti ingannevoli, e l’insegnamento della geometria immaginaria o non euclidea nelle università e nelle scuole darebbe origine a una razza di studenti arrogante e sciocca, che potrebbe compromettere la società» «è la ragione che impone il dovere di fare un po’ di pubblicità alla geometria non euclidea, e quest’obbligo è tanto più pressante in quanto l’Italia, divenuta felicemente Nazione, è particolarmente interessata a che la sua gioventù sia al corrente dell’ininterrotto progresso delle scienze esatte». «racconti di fate», «elucubrazioni deliranti di un professore universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per merito della sua megalomania», «la geometria non euclidea non può procurare agli studenti altro che stanchezza, vuotezza, arroganza e stupidità» « solo un’incredibile ignoranza può spingere a impedirne lo studio »

Libertà: l’influenza sull’arte moderna «se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi» Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger «Lobačevskij ha fatto esplodere l’assolutismo di Euclide. Con Gauss e Riemann egli ha distrutto il rigido spazio euclideo. Tutti gli oggetti matematici che essi hanno stabilito sono inimmaginabili e inaccessibili alla sensazione. Lo schiudersi della nuova epoca, annunciata dalla costruzione di nuovi mondi matematici, portava con sé una tentazione, e gli artisti non hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. […] Noi abbiamo deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire». Eliezer El Lissitzky (1830-1941) «Un quadro è l’arte di far incontrare due linee, di cui si constata geometricamente il parallelismo, su una tela, davanti ai nostri occhi, nella realtà di un mondo trasfigurato che segua nuove condizioni e possibilità» Tristan Tzara (1896-1963) Pelham Grenville Wodehouse, Herbert George Wells, Oscar Wilde, Joseph Conrad, Ford Madox Ford, Marcel Proust, Gertrude Stein Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil

Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Caccia all’intruso ??? ???

Che cos’è un segmento? Che cos’è una retta? Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B

Le rette del mappamondo…

…e le rotte degli aerei

…e le rotte degli aerei

Caccia all’intruso - seguito

Infinito vs illimitato Nozione topologica Nozione metrica

Formalizzando: modello della sfera - S2 (geometria ellittica doppia)

Geometria dello sputo

Teoremi immediati della geometria sferica tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2π; il piano della geometria sferica ha area finita 4π; le perpendicolari a una stessa retta s si incontrano in due punti, tra loro antipodali, che chiamiamo poli della retta s;

Triangoli gonfi

Triangoli gonfi

Niente similitudini! Teorema dell’eccesso di Gauss: Area ( )= α + β + γ - π

Calcolo dell’area di un triangolo sferico

E Pitagora?

L’universo di Riemann…

…e quello di Dante!

Prospettiva sferica

Modello della semisfera - B2 (geometria ellittica singola)