Le Funzioni

Funzioni reali di una variabile reale algebriche Classificazione di una funzione Iniettiva Suriettiva biiettiva Rappresentazione di una funzione Classificazione delle funzioni analitiche Tabulare Analitica …… Funzioni reali di una variabile reale Proprietà specifiche di alcune funzioni Pari Dispari periodica algebriche trascendenti Razionali Irrazionali Intere fratte logaritmiche esponenziali goniometriche …… Grafici notevoli di funzioni elementari Traslazioni Contrazioni Rotazioni Simmetrie ……. Trasformazioni elementari di funzioni

LE FUNZIONI LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LOGARITMICA STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ESCI

La Funzione Esponenziale E Logaritmica

Prerequisiti Numeri reali Concetto di funzione Grafici di funzioni Concetti e proprietà fondamentali delle potenze ad esponente reale

Obiettivi Saper tracciare il grafico di una funzione esponenziale del tipo y=a f(x) e dedurre le relative proprietà esponendo le opportune considerazioni sulla base a Saper definire la funzione logaritmica e giustificare le relative proprietà Saper tracciare il grafico di una funzione logaritmica e dedurre le opportune considerazioni al variare di a

Applicazioni Saper risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche per via algebrica e per via grafica, anche con l’uso di trasformazioni geometriche

LA FUNZIONE ESPONENZIALE Dato un numero reale positivo a per qualunque valore di x è definita la funzione f:x a x Tale funzione è detta funzione esponenziale di base a Il suo dominio è l’insieme R dei numeri reali Il suo codominio è l’insieme R+ La sua equazione è : y = a x

PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1 Per es. supponiamo che sia a=2 f:x 2x -2 -1 0 1 2 x y -2 -1 1 2 ¼ ½ 4

Deduzioni possiamo assegnare qualsiasi valore ad x ottenendo un valore reale di y D=R la potenza cresce al crescere dell’esponente: x1 > x2 2x1 > 2x2 funzione crescente I valori di y sono tutti positivi C=R+ I valori di y per x > 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole, per x < 0 si avvicinano asintoticamente all’asse x a mano a mano che ci si allontana dall’origine lim 2x = 0 lim 2x =  x - x +

0<a<1 per es. a = ½ si ha f: x (1/2)x - 2 -1 0 1 2 x y -2 -1 1 2 - 2 -1 0 1 2 x y -2 -1 1 2 4 ½ ¼

Deduzioni possiamo assegnare qualsiasi valore ad x ottenendo un valore reale di y D=R la potenza decresce al crescere dell’esponente: x1 > x2 (1/2)x1 < (1/2)x2 funzione decrescente I valori di y sono tutti positivi C=R+ I valori di y per x > 0 decrescono indefinitamente , per x < 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole lim (1/2)x = 0 lim (1/2)x = x + x -

Generalizzazione lim ax = 0 lim ax = +  x - x + y 1 0 x funzione esponenziale y = a x con a > 1 dominio D= R codominio C=R+ la funzione è crescente lim ax = 0 lim ax = +  x - x + y 1 0 x funzione esponenziale y = a x con 0 <a <1 dominio D= R codominio C=R+ la funzione è decrescente lim ax = 0 lim ax = +  x + x - y 1 0 x

che rappresenta la simmetria rispetto all’asse y Osservazione 1 Osservando i due grafici si può notare che ciascuna curva curva è la simmetrica dell’altra rispetto all’asse y, cioè è ottenuta tramite la trasformazione: x -x y y che rappresenta la simmetria rispetto all’asse y

Definizione di Logaritmo Dati due numeri positivi a e b, con a1 si chiama logaritmo in base a del numero b l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero b x=logab ax=b Ciò equivale a dire che l’equazione ax=b ammette una ed una sola soluzione. Tale soluzione si chiama logaritmo di b in base a.

La Funzione Logaritmica Sia x un numero positivo qualunque e a 1 esiste il logaritmo di x rispetto alla base a e ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di log a x , quindi: y = log a x con a > 0 e a 1 si chiama funzione logaritmica di base a

PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE Logaritmica Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1 Per es. supponiamo che sia a=2 y = log 2 x 2 1 0 1 -1 -2 x y ¼ ½ 1 2 4 -2 -1

Deduzioni Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D=R+ Il valore del logaritmo cresce al crescere dell’argomento x : x 1 > x2 log2 x1 > log2 x2 funzione crescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi quanto si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano negativi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0 lim log2x = - lim log2x =+ x 0+ x +

0<a<1 per es. a = ½ si ha y = log1/2x 2 1 0 1 -1 -2 x y ¼ ½ 1 2 0 1 -1 -2 x y ¼ ½ 1 2 4 -1 -2

Deduzioni Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D=R+ il valore del logaritmo decresce al crescere dell’argomento: x1 > x2 log1/2 x1 < log1/2 x2 funzione decrescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano positivi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0 lim log1/2x = - lim log1/2x = + x + x 0+

Generalizzazione lim log a x = - lim log a x = +  x 0 x + y 0 1 x funzione logaritmica y = log a x con a > 1 dominio D= R+ codominio C=R la funzione è crescente lim log a x = - lim log a x = +  x 0 x + y 0 1 x funzione logaritmica y = log a x con 0 <a<1 dominio D= R+ codominio C=R la funzione è decrescente lim log a x= + lim log a x =-  x 0 x +  y 0 1 x

Le funzioni

Prerequisiti Teoria degli insiemi Relazioni Insiemi numerici N, Z, Q, R Rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano

Obiettivi Definire la funzione. Conoscere le rappresentazioni di una funzione. Classificare le funzioni.

Contenuti Definizione di funzione. Rappresentazione di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzione matematica.

Definizione Dati due insiemi A e B non vuoti e non necessariamente distinti, si definisce funzione qualsiasi relazione di A in B che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B. f : A  B  x  y  (x, y)  f

Dominio, codominio e immagine Dominio: insieme A Codominio: insieme B Immagine: insieme formato dagli elementi di B che sono i corrispondenti di elementi di A

LA RELAZIONE NON È UNA FUNZIONE…. quando ci sono elementi A a cui non corrispondono elementi di B oppure corrispondono più di un elemento di B

Rappresentazione grafica di una funzione

Deduzione Poichè la funzione è una relazione; la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano si deduce che: la funzione si rappresenta come i prodotti cartesiani.

….. Rappresentazione tabulare (o per elencazione) Rappresentazione sagittale (o diagramma a frecce) Rappresentazione mediante diagramma cartesiano

La classificazione delle funzioni

Funzioni iniettive Una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti fa corrispondere immagini diverse. f : A  B  f (x1)  f(x2) x1  x2

Come riconoscere le funzioni iniettive dal grafico: Ogni elemento del codominio è al più immagine di un elemento di A.

Grafico di funzioni iniettive B A • • • • • • Ad ogni elemento del codominio arriva al massimo una freccia

Funzioni suriettive Una funzione f : A  B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A f : A  B  y B   x A  è suriettiva (x, y)  f

Grafico di funzioni suriettive B A • • • • Ad ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia

Funzioni biiettive Si dice biiettiva una funzione f: A  B che è sia iniettiva che suriettiva. f : A  B x1  x2  f (x1)  f(x2)  È biiettiva  yB  xA  (x, y)  f

Grafico di funzioni biiettive • A • Da ogni elemento di A parte una freccia In ogni elemento di B arriva una freccia

Perché sono importanti le funzioni biiettive? Perché sono invertibili

Funzione inversa Data una funzione iniettiva f: AB si dice funzione inversa la funzione f-1: B  A tale che se f(x) = y allora f -1(y) = x e viseversa se f -1(y) = x allora f(x) = y

La funzione matematica … è una funzione f : A  B in cui A e B sono insiemi numerici esiste una formula generale, del tipo y = f(x), che permette di calcolare l’immagine di ogni elemento del dominio

LE FUNZIONI STUDIO DEL GRAFICO Clic per proseguire

Lo studio di una funzione è un procedimento che coinvolge concetti elevati, conoscenze fortemente correlate. Non si tratta di imparare un meccanismo, ma di seguire una procedura di estrema razionalità, che consiste nel migliorare progressivamente le informazioni, finché abbiamo acquisito tutto quello che occorre per dominarne il comportamento e tracciarne il grafico. Per risolvere tale problema è molto importante avere un continuo controllo sulle informazioni che man mano si acquisiscono. Clic per proseguire Indietro

Nello studio di una funzione y = f(x) conviene procedere secondo il seguente schema: determinare l’insieme di esistenza della funzione. Esempi calcolare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi cartesiani. Esempio scrivere l’equazione degli eventuali asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempio Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e di flesso. Esempio Tracciare l’andamento del grafico della funzione. Esempio Indietro Clic per proseguire

Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x. Esempio. La funzione: è definita per qualsiasi valore attribuito all’incognita. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano. Indietro Clic per proseguire

Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il denominatore. Esempio. La funzione: è definita per tutti i valori della x diversi da 1. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1. Clic per proseguire Indietro

Una funzione irrazionale quadratica è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo. Esempio. La funzione: è definita per valori della x esterni all’intervallo (0;2) e pertanto non ci sarà grafico in tale intervallo. Infatti Indietro Clic per proseguire

L’’insieme di definizione di una funzione trascendente va stabilito caso per caso. Esempio. La funzione: è definita per i valori positivi della x e quindi il suo grafico si troverà nel primo e quarto quadrante Clic per proseguire Indietro Torna al menu

Per trovare le coordinate dei punti d’intersezione con gli assi cartesiani di una funzione occorre porre y = 0 (punti d’intersezione con l’asse x) e quindi x = 0 (punti d’intersezione con l’asse y). Per esempio, data la funzione: ponendo y = 0 nell’equazione si ottiene x2-1 = 0 e quindi x = ± 1. Pertanto il grafico passa per A(-1; 0) e B(1;0). Ponendo invece x = 0 si ottiene y = -1 e quindi il grafico passa per C(0; -1) Indietro Clic per proseguire Torna al menu

Per trovare l’eventuale asintoto orizzontale di una funzione bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito della funzione. Se tale limite vale il numero finito k l’asintoto orizzontale sarà y = k. Nel caso in cui tale limite risulta infinito, non esiste asintoto orizzontale e le funzione diverge. Per esempio non ammette asintoto orizzontale la seguente funzione perché il limite suddetto è infinito. Indietro Clic per proseguire

Per trovare gli eventuali asintoti verticali bisogna calcolare il limite per x che tende ad ognuno di quei valori (supponiamo che sia h) per i quali la funzione non è definita. Se tale limite risulta infinito, la retta x = h è un asintoto verticale. Nell’esempio precedente la funzione ammette la retta x = 1 come asintoto verticale essendo il limite di tale funzione infinito. Per trovare gli eventuali asintoti obliqui del tipo y = mx + q bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta m) e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta q). Nel nostro caso la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x – 1. Infatti i suddetti limiti risultano m = 1 e q = -1. Indietro Clic per proseguire Torna al menu

Per calcolare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione bisogna studiare il segno della derivata prima, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è crescente (decrescente). Per calcolare i punti di flesso bisogna studiare il segno della derivata seconda, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è concava (convessa). N.B. Per brevità non ci occupiamo delle funzioni non derivabili. Data la funzione: calcoliamo la derivata prima: e ne studiamo il segno: X = -1 pertanto per x = -1 c’è un punto di massimo relativo e per x = 1 un punto di minimo relativo F(x) Indietro Clic per proseguire X = +1

Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2 Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2. Quindi la funzione ha un massimo relativo nel punto A(-1;-2) e un minimo relativo nel punto B(1;-2). Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione e ne studiamo il segno: Pertanto la funzione è concava per x>0 e convessa per x<0. Di conseguenza y(0) = 0 e quindi la funzione ha un flesso nel punto C(0;0), cioè nell’origine Il grafico evidenzia i punti di massimo e minimo relativo e il punto di flesso. Indietro Clic per proseguire Torna al menu

Come esempio finale trattiamo lo studio completo di una funzione algebrica razionale fratta. Sia data la funzione: La funzione è definita per x ≠ 1 Se x = 0 allora y = 0 e viceversa. Quindi l’unico punto d’intersezione della funzione con gli assi cartesiani è l’origine O(0;0). La funzione non ha asintoti orizzontali perché il limite per x che tende ad infinito è infinito. La funzione ammette come asintoto verticale la retta di equazione x = 1 perché il limite per x che tende ad 1 della funzione è più infinito sia da destra che da sinistra. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y = x + 2 perché il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x è 1 e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx è 2. Indietro Clic per proseguire

Studiamo il segno della derivata prima, che può essere calcolata con facili passaggi algebrici: Pertanto (sempre attraverso facili passaggi algebrici), la curva presenta un flesso nell’origine e un minimo nel punto (3;27/4). La derivata seconda: Non annullandosi al di fuori dell’origine, ci indica che la funzione non presenta altri flessi IL grafico della funzione è rappresentato nella successiva diapositiva. Indietro Clic per proseguire

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FINE COMPONENTI DEL PROGETTO: Prof.ssa Anna Maria Luppino Prof.ssa Rosella Macchioni Prof. Nino Manerchia Prof.ssa Antonella Paolillo ANNO 2002