I PARADOSSI di Bernardo Cicchetti -------- una lezione sui limiti del ragionamento scientifico

1. I paradossi frustranti e i paradossi stimolanti. Il paradosso costituisce una "singolarità" di una teoria.. È un momento in cui la teoria stessa si ferma, riflette su se stessa per interrogarsi, e scopre di avere dei limiti. La scoperta di una barriera è il più delle volte frustrante. Spesso, però, questi limiti costituiscono stimoli per procedere, per crescere. Così è stato per i primi paradossi storici della Matematica (per es. quelli di Zenone), mentre in altri casi i paradossi sono rimasti tali, ad additare l'impotenza di una teoria a emendare se stessa, a essere, cioè, perfetta. Un paradosso è la negazione dei principi della logica, è la contraddizione resa concreta, il "tertium datur", la terza e non contemplata possibilità dopo "vero" e "falso".

Il Principio di non contraddizione afferma che nessuna affermazione può essere vera e falsa contemporaneamente. Il Principio del terzo escluso afferma che un'affermazione è vera oppure falsa, non esiste una terza possibilità (tertium non datur). precedente

2. Il Paradosso di Achille ZENONE Achille, partendo con uno svantaggio che dovrà recuperare, non riuscirà mai a colmare tutti gli svantaggi che accumulerà a causa del moto progressivo, pur lento, della tartaruga. Sono stati necessari 2000 anni per risolvere il problema, che era un problema puramente teorico (Achille non a caso era soprannominato Pié Veloce…). E la soluzione è arrivata col calcolo differenziale di Newton/Leibniz e le teorie sulle serie convergenti.

3. Il paradosso di Russell. È un paradosso sugli insiemi, che si può così sintetizzare: Dato X = { Y : YY } dove X e Y sono insiemi, ci si domanda se XX. È semplice constatare che se XX allora X deve godere della proprietà degli elementi di X e quindi XX. Al contrario, se XX allora deve appartenere per forza a se stesso, in quanto gode della proprietà suddetta.

Zenone di Elea (450 a. C. circa) formulò diversi paradossi Zenone di Elea (450 a. C. circa) formulò diversi paradossi. I più famosi sono quelli della freccia e quello di Achille e la tartaruga. Entrambi si fondono sulla scomposizione della lunghezza in quantità infinitesimali, pervenendo all'impossibilità di "misurare" una somma di grandezze via via tendenti a zero. precedente

Bertrand Russell (1872-1970), filosofo e matematico contemporaneo, autore anche di una “Storia della Filosofia Occidentale”. precedente

4. I paradossi dell'infinito. Quando si ha a che fare con gli infiniti i paradossi abbondano e si moltiplicano, sfuggendo di mano. Basta soffermarsi su un teorema fondamentale della Geometria. L'insieme dei punti di un segmento ha cardinalità uguale all'insieme dei punti di una retta.

I punti della circonferenza corrispondono biunivocamente (nella proiezione ortogonale) ai punti del segmento; mentre, proiettandoli a partire dal centro O con delle semirette, vanno a corrispondere sempre biunivocamente ai punti della retta. Per la proprietà transitiva…

Conclusioni I paradossi entrano nel novero delle incertezze che hanno preceduto - e seguito - le affermazioni shock che Heisenberg e Gödel formularono negli anni trenta del secolo scorso e che gettarono lo scompiglio nella Matematica e nella Fisica; scompiglio che permane anche se è stato in qualche modo rimosso, avendo constatato che, in definitiva, quelle affermazioni, per quanto rivoluzionarie non aprivano la strada all'irruzione dell'irrazionalità nella Scienza.

Il Principio di Indeterminazione Il Principio afferma che non è possibile definire, contemporaneamente, posizione e moto di una particella elementare. Possiamo stabilire l'una o l'altro, ma non entrambe. precedente

Proposizioni indecidibili È del 1931 il trattato di Kurt Gödel che parla di proposizioni indecidibili all'interno di un sistema assiomatico, di proposizioni, cioè, per le quali non è possibile stabilire se sono vere o false. precedente