Cap. 12 Area dei quadrilateri e del triangolo

Area Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano Si definisce area la misura di questa porzione di piano a L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea spezzata chiusa non intrecciata

Misure diretta di un’area Innanzitutto ricordiamoci cosa significa misurare? Ho eseguito una misura diretta di superficie perché ho preso una superficie unitaria e ho visto quante volte era contenuta nella superficie da misurare Nel caso di un’area questa grandezza corrisponde ad una superficie unitaria come mostrato in figura Misusrare significa confrontare una grandezza con un'altra ad essa omogenea area Se vado a contare quante volte la superficie unitaria entra nell’area trovo il valore si 32 Superficie unitaria

Misura indiretta di un’area Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le lunghezze dei lati in u (a = 4u e d = 8u) e il segmento unitario Ripetiamo la stessa suddivisione precedente dell’area Abbiamo 4 file da 8 quadratini di area u2 , otteniamo lo stesso risultato facendo 4u x 8u Questo equivale a fare: A = a x d In questo modo non abbiamo fatto una misura diretta dell’area ma l’abbiamo calcolata. Il calcolo di un’area equivale ad una misura indiretta perché non ho fatto alcun confronto fra la grandezza in esame e la sua unità di misura

Area del rettangolo A b h L'area di un rettangolo è data Consideriamo il seguente rettangolo Indichiamo con b la base e con h l’altezza Per quanto detto prima l’area sarà: altezza base A b h = x L'area di un rettangolo è data dal prodotto della base per l'altezza

Altezza di un triangolo Consideriamo un triangolo Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A Sia H la proiezione di A su AC Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo Cioè la distanza di A dal lato BC

Area del triangolo Area rettangolo = c x h Consideriamo il seguente triangolo Tracciamo l’altezza relativa al lato c Risulta chiaro che in questo caso noi mon possiamo semplicemente moltiplicare c x h per trovare l’area Se lo facessimo troveremmo l’area di questo rettangolo Area rettangolo = c x h Ma che relazione esiste fra l’area del triangolo e quella del rettangolo? …. Cerchiamo di scoprirla

Secondo criterio di congruenza 2 triangoli sono uguali se hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180° l’altro angolo sarà necessariamente uguale Perciò i due triangoli sono uguali Cosa centra? Vediamolo subito

Relazione fra area del triangolo e del rettangolo aventi la stessa base ed altezza Consideriamo la eseguente figura DE e AB sono paralleli perché perpendicolari ad AD b è la trasversale a e a1 sono uguali perché alterni interni b e b1 sono uguali perché alterni interni I triangoli DCA e ACN sono uguali per il secondo principio di congruenza hanno il lato b in comune e i due angoli ad esso adiacenti congruenti

a è anch’essa una trasversale dei stessi lati paralleli perciò sono uguali per lo stesso motivo gli angoli g e g1 d e d1 I triangoli BCE e CNB sono uguali per il secondo principio di congruenza hanno il lato a in comune e i due angoli ad esso adiacenti congruenti

L’area del rettangolo è il doppio dell’area di un triangolo Conclusioni Il rettangolo ADEB risulta suddiviso dall’altezza h in due rettangoli ADCN e CNBE Il triangolo è suddiviso dall’altezza in due triangoli ACN e NCB BDCN è il doppio di ACN perché è formato da 2 triangoli uguali a ACN NCEB è il doppio di NCB perché è formato da 2 triangoli uguali a NCB L’area del rettangolo è il doppio dell’area di un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza

Formula dell’area del triangolo rettangolo è data dal semiprodotto della base per l’altezza ad essa relativa Formula dell’area del triangolo A rettangolo = 2 A triangolo At 1 Ar = 2 Ar b h = x At 1 b h = x x 2

Area del trapezio Consideriamo il seguente trapezio Sia M il punto medio del lato l2 Tacciamo la retta che passa per B1 ed M Essa intercetta il prolungamento di B nel punto E Consideriamo i triangoli B1CM e DME Essi sono uguali per il secondo criterio di congruenza CM = DM per costruzione a = b perché opposti al vertice g = d perché alterni interni L’area del trapezio è equivalente a quella del triangolo AB1E perché è come se noi tagliassimo dal trapezio il triangolo B1CE e lo andassimo ad incollare al lato MD

Perciò se noi calcoliamo l’area di questo triangolo è come se avessimo calcolato l’area del trapezio Se B1CM e DME sarà anche c = b (base minore) La base del mio triangolo sarà esattamente uguale alla somma della base maggiore e della base minore del trapezio AE = B+b L’altezza h è rimasta la stessa perciò l’area del triangolo AB1E sarà: At = 1/2 x (B + b) x h AE = base maggiore + base minore

L’area del trapezio è data dalla somma delle basi per l’altezza diviso 2 (B + b) x h A = ____________ 2

Area del parallelogrammo Consideriamo il seguente parallelogrammo Lo possiamo suddividere in un triangolo e in un trapezio rettangolo Immaginiamo di spostare il triangolo ADE facendo coincidere il lato e col lato l Otteniamo un rettangolo la cui base e altezza coincidono con quelle del rettangolo In pratica il rettangolo DEFC è equivalente al parallelogrammo ABCD Perciò l’area del parallelogrammo sarà ….. A = b x h

Area del rombo d1 x d2 A = ____________ 2 Prendiamo il seguente rombo Tracciamo le diagonali Da A e C tracciamo le parallele alla diagonale d1 Da B e D quelle parallele alla diagonale d2 Si intersecano nei punti HKLM che saranno anche gli estremi di un rettangolo Questo rettangolo ha la base uguale a d1 e l’altezza pari a d2 La sua area sarà A = d1 x d2 Per motivi analoghi al triangolo la sua area è il doppio di quella del rombo d2 d1 d1 x d2 A = Pertanto l’area del rombo sarà…. ____________ 2

Area del deltoide d1 x d2 A = ____________ 2 Come si vede dalla seguente figura la situazione è analoga a quella del rombo pertanto la formula della sua area sarà la stessa d1 x d2 A = ____________ 2

A = l x l= l2 Area del quadrato Il quadrato è un rettangolo perciò la sua area sarà A = b x l Ma nel quadrato questi due valori saranno uguali e vengono indicati con l pertanto l’area del quadrato è ….. A = l x l= l2