GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Tenendo presente che nello spazio, con riferimento alle proiezioni di un punto, le rette possono caratterizzarsi come: Rette parallele Rette incidenti Rette sghembe con questo learning object si vogliono indagare, in modo specifico, le situazioni particolari di relazioni tra rette e cioè: Rette incidenti e dal punto di vista geometrico-descrittivo e logico-insiemistico. Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI CASI PARTICOLARI RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009 Da Duregon Mara della classe 3°C del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline grafico-geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore prof. Elio Fragassi

PARALLELISMO TRA RETTE RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE (1) Studiando le relazioni descrittive tra due o più rette, oltre al caso del rapporto di parallelismo – già analizzato- è necessario indagare anche i casi in cui le rette sono: incidenti sghembe o Con il paragrafo precedente è stata stabilita l’esistenza della relazione di parallelismo tra due rette mediante la determinazione delle proiezioni di un punto d’intersezione improprio: P¥ (P’ ¥; P” ¥) Ma il punto d’intersezione può essere anche reale: In questo caso le due rette non sono parallele ma incidenti nel punto reale comune. P (P’; P”) Da ricordare, anche, che nella doppia proiezione ortogonale di Monge, le proiezioni di un punto sono tali se appartengono alla medesima retta di richiamo, altrimenti siamo in presenza di proiezioni distinte di due punti diversi. Corretta proiezione del punto Errata proiezione del punto Retta di richiamo unica Rette di richiamo doppie lt P’ P” lt P’ P” Se accade quanto sopra si sta trattando il rapporto tra due rette sghembe che costituisce una diversa relazione geometrica tra rette nello spazio.

PARALLELISMO TRA RETTE RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE (2) Si precisa, infine, che nel caso di rette parallele o incidenti siamo in presenza di rette, geometricamente, complanari (che appartengono allo stesso piano) mentre nel caso di rette sghembe siamo in presenza di rette appartenenti a piani distinti che non possono essere, quindi, né parallele né incidenti. Analizziamo, ora, questi rapporti -rette incidenti e rette sghembe- come casi particolari di relazioni tra rette che possono essere sintetizzate nel modo seguente: r Ç s Þ P¥(P’¥; P”¥) = rette parallele r Ç s Þ P (P’ ; P”) = rette incidenti r Ç s Þ P (P’ P”) = rette sghembe

PARALLELISMO TRA RETTE RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE (3) Se accade quanto descritto dalle due rette a e b nel disegno di seguito, (Fig.02) considerando le proiezioni delle due rette si ha che: a' Ç b'  P' ed anche a” Ç b”  P” Stante questa relazione accade che Pa ed anche Pb nel campo del reale Poiché il punto P non è improprio ma reale ed appartiene contemporaneamente a due rette distinte, le due rette si caratterizzano come "rette incidenti” nel punto P(P’= x; P’’= y) -ove x ed y sono i valori numerici relativi all’aggetto ed alla quota del punto P- e quindi in un punto spazialmente definito.

PARALLELISMO TRA RETTE RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE (4) Pertanto, le due rette non sono parallele ma due rette incidenti in P a’  b’  P’ dove a  b  P a’’  b’’  P’’ dove ove i punti A e B individuano i punti dinamici reali che muovendosi secondo una direzione assegnata generano rispettivamente le rette a e b.

PARALLELISMO TRA RETTE RETTE INCIDENTI E RETTE SGHEMBE (5) Se le due proiezioni P' e P” non rispettano, come nel disegno della figura 3, la legge proiettiva che le vuole appartenenti alla stessa retta di In questo caso le due rette a e b non avendo in comune né un punto improprio P, né un punto reale P si caratterizzano come due “rette sghembe”, cioè non complanari e, quindi, non parallele e non incidenti. richiamo vuol significare che le due proiezioni sono riferite a due punti diversi e distinti. lt P’ P”

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