Esercizio n.17 Risolvere, in t  [0, 2  ], l’equazione differenziale che governa la distanza dall’origine di un punto materiale di massa m immerso in una distribuzione omogenea di materia di densità  e soggetto alla sola forza di gravità esercitata da tale materia. Valutare l’errore effettivo commesso dalla risoluzione numerica col metodo di a) Eulero b) leap-frog Condizioni iniziali: r(0) = r 0 e (dr/dt) t = 0 = 0. Si consideri, per comodità di calcolo, G =1, m =1 e  = 3/(4  ).

Soluzione n.17 Si tratta di una “forza elastica” di costante k = 4  G  /3. E’ un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, omogenea, a coeff. costanti, col coeff. della dr/dt nullo (caratteristica dell’oscillatore armonico senza smorzamento), la cui soluzione si può scrivere: r(t)=Acos(  t + B) dove A e B dipendono dalle cond. iniziali e  = (k/m) 1/2. Nel nostro caso: A = r 0, B = 0 e  = 1, da cui r(t) = r 0 cos t, periodica di periodo T = 2 

Soluzione n.17 Va trasformata in sistema di equazioni diff. del primo ordine!

Soluzione n.17a Metodo di Eulero t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n + v n  t v n+1 = v n  (k/m) r n  t r = r 0 cos t

Soluzione n.17a Metodo di Eulero: andamento della soluzione Soluzione numerica Soluzione analitica t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n + v n  t v n+1 = v n  (k/m) r n  t r = r 0 cos t

Soluzione n.17a Metodo di Eulero: andamento dell’errore in funzione di  t log(  t) t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n + v n  t v n+1 = v n  (k/m) r n  t r = r 0 cos t

Soluzione n.17b Metodo Leap-frog t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n  1 + 2v n  t v n+1 = v n  1  2(k/m) r n  t r 1 = r 0 + v 0  t v 1 = v 0  (k/m) r 0  t r = r 0 cos t

Soluzione n.17b Metodo Leap-frog: andamento della soluzione t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n  1 + 2v n  t v n+1 = v n  1  2(k/m) r n  t r 1 = r 0 + v 0  t v 1 = v 0  (k/m) r 0  t r = r 0 cos t

Soluzione n.17b Metodo Leap-frog: andamento dell’errore in funzione di  t log(  t) t = [0,2  ]  t = 2  /100 r n = r(n  t) v n = v(n  t) r 0 = 1 v 0 = 0 r n+1 = r n  1 + 2v n  t v n+1 = v n  1  2(k/m) r n  t r 1 = r 0 + v 0  t v 1 = v 0  (k/m) r 0  t r = r 0 cos t