I modelli matematici: osservazioni ed esempi Prof. Mario Landucci Dip. Matematica applicata G.Sansone Anno Accademico

Compito del matematico “puro”? Primo valore della matematica è FORNIRE uno STRUMENTO per meglio CONOSCERE il MONDO FISICO l’importanza della matematica nei confronti della scienza PROVARETEOREMI PROVARE TEOREMI

 i greci furono i primi a sostenere che l’universo è disegnato secondo rigide proprietà matematiche  Galileo Galilei ( ): la scienza deve cercare di fornire leggi quantitative dobbiamo osservare i fenomeni della natura proporre un modello matematico astratto che li descriva verificarne la validità dedurre proprietà del modello

MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE Problema: Costruire un modello matematico (cioe’ formulare una legge matematica) che spieghi come una popolazione (batteri, pesci, persone) si modifica nel tempo

N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t Dopo un tempo pari a  t N(t +  t)= numero di individui incremento: velocita’ di variazione della popolazione nel tempo  t : velocita’ istantanea di variazione della popolazione   t piccolo a piacere  lim per  t  0 di Si ha la derivata di N(t) rispetto a t :

Thomas Malthus ( ): prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa equazione differenziale  soluzioni: e= numero di Eulero=2, … Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k N(t)=N(0)e kt

Tabella della dinamica della popolazione USA annoPopolazione effettiva Dati calcolati con la legge malthusiana (k=0.301) Errore% Errore T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= T= Dopo il 1860 l’equazione malthusiana non fornisce una previsione accettabile

Tabella della stima della popolazione mondiale AnnoPopolazione mondiale prevista Essendo la superficie totale della terra m 2 una semplice divisione mostra che nel 2500 sarebbero costretti a stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!

Crescita in laboratorio del piccolo roditore Microtus Arvallis (previsione con l’equazione malthusiana k=0.4) La stima malthusiana e’ accettabile Mesi02610 Numero roditori Numero roditori previsto

L’ipotesi malthusiana non è, in generale, accettabile in particolare perche’ prevede sempre una crescita indefinita

Verhulst (1837) biologo matematico: introdusse un fattore correttivo la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta equazione logistica  soluzioni:

Grafico della funzione logistica con N(0)=10, k=0.3, h=0.006 Notare la presenza dell’asintoto N(t)=k/h=50

Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente Popolazione degli Usa nel periodo e dati calcolati con la legge di crescita logistica annoPopolazione effettiva Dati calcolati con la crescita logistica erroreErrore percentuale % % % % % % % % % % % % % % % %

Modello matematico per la datazione col Carbonio 14 (Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)

Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti  L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a 14 C, un isotopo radioattivo del C.  Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante 14 C/ 12 C=  Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14 C diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

N(t)=quantità di 14 C nell’oggetto da datare al tempo t N(0)=quantità di 14 C contenuta al tempo t=0 K=costante di decadimento radiattivo del 14 C N(t) è soluzione dell’equazione: ovvero: R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

Castello di Winchester: tavola rotonda. E’ quella di Re Artù? 1977: datazione con il 14 C se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10 -4 anno -1 (legno vivo) t =700 anni La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!! R(t)= 6.08 grammo/min v. decadimento legno

Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!