Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 4 Derivati e Leverage

Contratti forward L’acquirente al tempo t definisce l’acquisto al prezzo F di un lotto del titolo S, definito il sottostante, per consegna (delivery) al tempo T. Al tempo T il valore del contratto per l’acquirente è la S(T) - F

Contratti forward: ingredienti Data dell’operazione 16/03/2005 Prezzo a pronti ENEL 7,269 Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66 Prezzo forward Enel: 7,269/0,9966 = 7, ≈ 7,2938 Posizione lunga (acquisto) in un contratto forward: acquisto di Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7,2938. Valore del contratto forward alla data 16/05/ ENEL(15/09/2005) – Esempio: se si verifica ENEL(15/09/2005) = 8 euro, la posizione lunga (chi ha acquistato il contratto forward) incasserà – = 7062 euro. Se invece il prezzo scenderà a 7 euro, la posizione lunga pagherà – = – 2938

Derivati e leverage Un altro esempio di arbitraggio I contratti derivati implicano leverage Alternativa 1 Forward ENEL a 7,2938 €, 2 mesi Dopo 2 m.: Valore ENEL – Alternativa 2 Acquisto ENEL con debito di valore nominale per rimborso a 2 mesi. Dopo 2 m.: Valore ENEL – 72938

Costruzione sintetica di un forward Un posizione lunga/corta in un contratto lineare (un forward) è equivalente a una posizione dello stesso segno sul sottostante e una posizione di debito/credito per un ammontare pari al prezzo e scadenza alla data di consegna. Nel nostro caso abbiamo che, alla data di origine dell’operazione, 16/03/2005, il valore del contratto forward CF(t) è CF(t) = x 7,269 – 0,9966 x ≈ 0 All’origine il contratto forward vale zero per costruzione, perché il prezzo di consegna è fissato pari al prezzo forward.

Un giorno dopo… Data di valutazione: 17/03/2005 Prezzo a pronti ENEL 7,340 Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,656 Prezzo di consegna (delivery price) osizione lunga (acquisto) in un contratto forward: acquisto di Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7, Valore del contratto forward ENEL(17/03/2005) –0,99656 x = – = 713 €

Contratti futures Contratti lineari su mercati organizzati Standardizzazione di prodotti e delivery dates Scambio col meccanismo del “margine” –Deposito all’accensione della posizione –Regolamento giornaliero (marking-to-market) e attribuzione di profitti e perdite sul margine Presenza della “clearing-house” Esempio: il futures su Enel il 16/3/05 alla chiusura valeva 7,290

Copertura del rischio Consideriamo la seguente posizione –Lungo Enel (prezzo P Enel ) –Corto forward su Enel a T mesi Valore della posizione all’origine: P Enel – forward = P Enel – P Enel + v(t,T) [10000 P Enel /v(t,T)] = P Enel Valore della posizione a 3 mesi P Enel / v(t,T) Il valore della posizione a tre mesi è uguale al prezzo forward di Enel. Abbiamo costruito sinteticamente un investimento privo di rischio

Speculazione Consideriamo la seguente posizione –Lungo 1000 Enel (prezzo P Enel ) –Lungo forward su 1000 Enel a T mesi Valore della posizione all’origine: 1000 P Enel + forward = = P Enel P Enel – v(t,T) [10000 P Enel /v(t,T)] = P Enel Valore della posizione a T mesi 2000 P Enel – 1000P Enel /v(t,T) Abbiamo raddoppiato l’esposizione a Enel costruendo sinteticamente debito (leverage) pari a 1000P Enel /v(t,T).

Prodotti non lineari: opzioni Opzione call (put) europea: conferisce al tempo t il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare (vendere) al tempo T (tempo di esercizio) un’unità di S al prezzo K (strike o prezzo di esercizio). Payoff della call a T: max(S(T) - K, 0) Payoff della put a T: max(K - S(T), 0)

Valutazione di un’opzione call Tempo tTempo T PrezzoHL Y(t)Y(H)Y(L) C (Y,t;T,K)Max(Y(H)-K,0)Max(Y(L)-K,0) v(t,T)11

Esempio ispirato a Enel Enel = 7,269 v(t,T) = 0,9966 Call(Enel,t;7,400,T) = ? Enel (H) = 7,500 v(T,T) = 1 Call (H) = 0,100 Enel(L) = 7,100 v(T,T) = 1 Call (L) = 0 T = 16 maggio 2005 t = 16 marzo 2005

Relazioni arbitraggio tra i prezzi Consideriamo un portafoglio con Una posizione in  unità di Y Un posizione di investimento/indebitamento W Poniamo  =[max(Y(H) –K,0)–max(Y(L)–K,0))]/(Y(H)– Y(L)) Al tempo T Max(Y(H) – K,0) =  Y(H) + W Max(Y(L) – K, 0) =  Y(L) + W

Opzioni Call Per K ≥ Y(H) ≥ Y(L) il  è uguale a zero. Di conseguenza anche W è uguale a zero. L’opzione è out-of-the-money, e non verrà esercitata. Per Y(H) ≥ Y(L) ≥ K abbiamo  = 1 e W = – K. L’opzione call è in-the-money e verrà esercitata con probabilità 1: per questo motivo corrisponde a una posizione lunga in un contratto forward. Un’opzione call corrisponde a una posizione lunga nel sottostante finanziata con debito.

Call(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05) Consideriamo un portafoglio con  = (0,100 – 0)/(7,500 – 7,100) = 0,25 Enel W = – 0,25 x 7,100 = – 1,775 (leverage) Notiamo che al tempo T C(H) = 0,100 = 0,25 x 7,500 – 1,775 C(L) = 0 = 0,25 x 7,100 – 1,775 Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione 16/03/05 sia Call(Enel,t) = 0,25 x 7,269 – 0,9966 x 1,775 = 0, Una call su azioni Enel per strike price 7,400 vale quindi 4828,5 € e corrisponde a Una posizione lunga in 2500 azioni ENEL sul mercato a pronti Debito (leverage) per € di nominale al 16/05/05

Un altro esempio di arbitraggio Put-Call Parity Portafoglio A: opzione call + v(t,T)Strike Portafoglio B: opzione put + sottostante Data di esercizio della call: T Prezzo strike call = Prezzo strike put Al tempo T: Valore A = Valore B = max(sottostante,strike) …da cui abbiamo che il valore dei portafogli A e B deve essere lo stesso in ogni t < T, che implica Call + v(t,T) Strike = Put + Sottostante

Opzioni put Utilizzando la relazione di parità put-call è agevole ottenere Put = Call – Y(t) + v(t,T)K e dalla scomposizione precedente Put = (  – 1)Y(t) + v(t,T)(K + W) Il risultato è che il delta di un’opzione put varia tra zero e – 1 e la posizione nel titolo privo di rischio varia tra zero e K.

Put(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05) Il valore del delta della put e della posizione nel titolo privo di rischio sono  – 1 = 0,25 – 1 = – 0,75 Enel K + W =7,400 – 1,775 = 5,625 investimento nel titolo risk-free Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione 16/03/05 sia Put(Enel,t) = – 0,75 x 7, ,9966 x 5,625 = 0, Una contratto put su azioni Enel per strike price 7,400 vale quindi 15412,5 € e corrisponde a Una posizione corta in 7500 azioni ENEL a pronti Credito per € di nominale al 16/05/05