Sistemi di Lindenmayer

Sistemi di Lindenmayer Non c’è distinzione tra terminali e non terminali. Tutte le parole derivate da una parola data sono nel linguaggio. Tutte le lettere di una parola sono riscritte simultaneamente. Motivazione - la descrizione dello sviluppo di organismi filamentosi - le parole rappresentano stadi dello sviluppo di disposizioni di cellule; ogni lettera rappresenta una cellula -le produzioni corrispondono alle istruzioni con cui gli organismi sono generati e sono applicate simultaneamente alle lettere perché lo sviluppo delle cellule è simultaneo negli organismi -non ci sono terminali perché corrisponderebbero a cellule morte; la scomparsa di una cellula è rappresentata dalla parola vuota l. Le varie parti di un organismo che si sviluppa possono comunicare tra loro oppure no. Il modello di base di sistema assume che non ci sia comunicazione.

Sistemi OL (1) Un sistema OL è OLS = (V, P0, F), dove V è un alfabeto, P0 è una parola non vuota su V (assioma o parola iniziale), F è un insieme di coppie ordinate (a,P) con a  V, P  (V+ {l} tale che per ogni a V c’è almeno una parola P in (a, P)  F (scriveremo a  P). La relazione Þ OLS è definita come segue: P Þ Q vale se e solo se P = a1 … an, Q = Q1… Qn e ai  Qi , n  i  1 Il linguaggio generato è definito come L (OLS) = {P | P0 Þ * P} Un sistema OL è deterministico (DOL) se e solo se per ogni a  V c’è esattamente una parola P tale che (a,P)  F. Un sistema OL è l -free o propagante (POL) se e solo se per ogni produzione a  P in F, P non è l. Due sistemi sono equivalenti se generano lo stesso linguaggio.

Sistemi OL (2) Esempi. OLS = ({a}, a, {a  a2 }) L(OLS) = {a2n | n  0} 2) OLS = ({a, b}, a, {a  b , b  ab}) L(OLS) = {a, b, ab, bab, abbab, bababbab, …} le cui lunghezze sono i numeri di Fibonacci OLS = ({a, b, c}, a, {a  abcc , b  bcc, c  c}) L(OLS) = {a, abcc, abccbcccc, abccbccccbcccccc, …} le cui lunghezze sono i quadrati dei numeri naturali. Nota bene.Tutti i sistemi sono DOL e generano linguaggi contestuali.

Sistemi OL (3) Esempio (alga rossa). Prendiamo il sistema DOL propagante con alfabeto e produzioni come in tabella 1 2 3 4 5 6 8 ( ) # 0 2 # 3 2 2 # 4 504 6 7 8(1) ( ) # 0 Le parole derivate dall’assioma P0= 1 sono P0= 1 P1= 2 # 3 P2= 2 # 2 # 4 P3= 2 # 2 # 504 P4= 2 # 2 # 60504 P5= 2 # 2 # 7060504 P6= 2 # 2 # *(1)07060504 Pn+6 = 2 # 2 # 8(Pn)08(Pn-1) 0 … 08 P0 07060504

Sistemi OL (4) Rappresentazione Le espressioni parentesizzate sono rami la cui posizione è indicata dagli 8. Gli 0 sono rappresentati come pareti oblique alternativamente inclinate a destra e a sinistra. I rami sono attaccati alternativamente su un lato e sull’altro del ramo dove nascono. I simboli sono rappresentati come pareti verticali. 1 2 2 8 7 6 5 4 4 2 1 2 2 2 8 8 8 7 6 5 4 2 3

Proprietà dei linguaggi OL (1) Chiamiamo anti-AFL una famiglia di linguaggi che non è chiusa per unione, concatenazione l-free, omomorfismi l-free, omomorfismo inverso, intersezione con i linguaggi regolari. Teorema. La famiglia dei linguaggi OL è anti-AFL. Teorema. La famiglia dei linguaggi OL è chiusa sotto immagine speculare. Prova. Se un linguaggio è generato dal sistema (V, P0, F), la sua immagine speculare è generata dal sistema (V, mi(P0), mi(F)) dove mi(F) è ottenuto da F sostituendo le parti destre delle loro produzioni con le loro immagini speculari.

Proprietà dei linguaggi OL (2) Teorema. Ogni linguaggio OL è contestuale. Prova. Sia L generato dal sistema OL H = (V, P0, F). Prendiamo la grammatica G = ({X0, X1, X2, X3}, V, X0, F1) dove F1 consiste delle produzioni X0  X1 P0 X1 X1  l X1a  X1 X2 a per ogni a  V X2 X1  X3 X1 a X3 X3 a per ogni a  V X1 X3  X1 X2a  P X2 per ogni produzione a  P in F Si dimostra che L(G) = L(H).

Proprietà dei linguaggi OL (3) Esempio. Prendiamo il sistema OLS = ({a,b}, a, {a  b, b  ab La grammatica contestuale che lo genera è G = ({X0, X1, X2, X3}, {a,b}, X0, F1) dove F1 consiste delle produzioni X0  X1 a X1 X1  l X1a  X1 X2 a X1b  X1 X2 b X2a  b X2 X2b  ab X2 X2 X1  X3 X1 a X3 X3 a b X3 X3 b X1 X3  X1

Sistemi TOL (1) Un sistema TOL è H = (V, P0, T) dove V e P0 sono come nei sistemi OL e T è una collezione di sottoinsiemi di V  (V+ {l}. Ogni t  T soddisfa la condizione: per ogni a  V c’è P  (V+ {l}) tale che t contiene la coppia (a, P) P Þ Q se e solo se esiste k  1, lettere a1 , … , ak, parole Q1 , … , Qk e t contiene la coppia (ai, Qi) per k  i  1. Il linguaggio generato è L (H) = {P | P0 Þ * P} Motivazione. A ogni passo si usano solo le produzioni appartenenti a una stessa tabella. La motivazione biologica è che a stadi differenti di sviluppo dell’organismo possono servire insiemi di regole differenti.

Sistemi TOL (2) Esempio. Prendiamo il sistema H = ({a}, a, {{a  a2}, {a  a3}}). Si ha L(H) = {ai | i = 2m3n, m,n  0. L(H) non è un linguaggio OL. Teorema. I linguaggi OL sono contenuti propriamente nei linguaggi TOL.

Sistemi 1L e 2L (1) Un sistema 2L è H = (V, P0, a0, F) dove: V e P0 sono come nei sistemi OL a0  V è l’input dall’ambiente F è un sottoinsieme di V  V  V  (V+  {l}tale che per tutte le lettere a, b, c  V (non necessariamente distinte) c’è una parola P  V+  {l} tale che F contiene la quadrupla (a,b,c,P). P Þ Q se e solo se esiste n  1, lettere a1 , … , an, parole Q1 , … , Qn tali che F contiene le quadruple (a0, a1, a2, Q1), …, (ai-1, ai, ai+1, Qi), …, (an-1, an, a0, Qn) per n-1 i  2 P = a1…an e Q = Q1…Qn. Per n= 1 F contiene la quadrupla (a0, a1, a0, Q1). Il linguaggio generato da H è L(H) = {P | P0 Þ* P}.

Sistemi 1L e 2L (2) Un sistema 2L è un sistema 1L se e solo se vale una delle condizioni seguenti: per ogni a, b, c, P F contiene la quadrupla (a,b,c,P) se e solo se contiene la quadrupla (a,b,d,P) oppure - per ogni a, b, c, P F contiene la quadrupla (a,b,c,P) se e solo se contiene la quadrupla (d,b,c,P).

Sistemi 1L e 2L (3) Teorema. C’è un linguaggio 1L che non è OL e c’è un linguaggio 2L che non è 1L.