Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità: un possibile percorso! di Gemma Gallino e Stefania Serre

Pitagora

I numeri figurati triangolari 1 3 6

I numeri figurati triangolari 6 quadrati 1 4 9

Si può osservare che: Triangolo acutangolo: Triangolo ottusangolo: Triangolo rettangolo:

E’ utile ricordare che……. La matematica si discosta dalle altre materie perché dimostra non solo “quel che c’è”, ma anche “quello che sicuramente non c’è”

SCOPRIAMO IN QUALE MODO SIA POSSIBILE!

Teniamo presenti i numeri figurati di Pitagora

...si potrà fare lo stesso per la diagonale? Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline... ...si potrà fare lo stesso per la diagonale?

...si potrà fare lo stesso per la diagonale? Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline... ...si potrà fare lo stesso per la diagonale?

Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare spazi vuoti!

Non funziona!

E se usassimo delle palline più piccole? Non funziona!

E se usassimo delle palline più piccole?

E se usassimo delle palline più piccole? Non funziona!

E se usassimo delle palline ancora più piccole?

Si riuscirà in qualche modo? E se usassimo delle palline ancora più piccole? Non funziona! Si riuscirà in qualche modo?

GIOCO della SCACCHIERA

GIOCO della SCACCHIERA

Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera

Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera

Utilizzando questi tasselli... …proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

…proviamo a coprire tutta la scacchiera

E’ possibile coprire tutta la scacchiera ?

Osserviamo che:

Osserviamo che:

Osserviamo che: Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche Ogni tassello copre una casella bianca e una nera Quante sono le caselle bianche? Quante sono le caselle nere?

Resteranno sempre libere due caselle nere. Osserviamo che: Quante sono le caselle bianche? Quante sono le caselle nere? Ogni tassello copre una casella bianca e una nera Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche Sono in numero diverso! Resteranno sempre libere due caselle nere.

E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i nostri tasselli Abbiamo dimostrato che: E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i nostri tasselli

Dimostrare in matematica significa: - Partire da proprietà accettate come vere. - Argomentare logicamente i passaggi effettuati. - Arrivare a una conclusione sicuramente vera: E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i nostri tasselli

Siamo passati da un approccio sperimentale... “…proviamo...” …a un approccio matematico! “…dimostriamo che è impossibile...”

Lato e diagonale di un quadrato sono incommensurabili : è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale

Lato e diagonale di un quadrato sono è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

Lato e diagonale di un quadrato sono è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale incommensurabili :

Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.

il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n Supponiamo che: il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n

Supponiamo che: il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n b a A D C B il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

a/b è ridotta ai minimi termini il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Supponiamo che: b a A D C B Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele Teorema di Pitagora a2=2b2 a2 è pari a è pari a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2 a/b è ridotta ai minimi termini b2 è pari b è dispari b è pari

a/b è ridotta ai minimi termini il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Supponiamo che: b a A D C B Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele a2 è pari a è pari b è dispari a/b è ridotta ai minimi termini a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2 b2 è pari b è pari a2=2b2 Teorema di Pitagora ?

a/b è ridotta ai minimi termini il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Supponiamo che: b a A D C B Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele a2 è pari a è pari b è dispari a/b è ridotta ai minimi termini a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2 b2 è pari b è pari a2=2b2 Teorema di Pitagora contraddizione

lato e diagonale siano commensurabili Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili cioè che esista una unità di misura contenuta a volte nella diagonale e b volte nel lato... b a

lato e diagonale siano commensurabili Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili …. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie. b è dispari b è pari contraddizione

lato e diagonale siano commensurabili Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili …. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie. Perciò dobbiamo concludere che: lato e diagonale sono incommensurabili

Una dimostrazione matematica, per essere soddisfacente, deve possedere tre qualità: inevitabilità, imprevedibilità, economia. Deve somigliare a una costellazione semplice e ben delineata, non a un ammasso stellare sparso nella Via Lattea. (Hardy) fine.

fine.

Queste diapositive fanno parte di un percorso sul significato di dimostrazione intitolato “L’eredità di PITAGORA” elaborato per il CE.SE.DI Torino Le illustrazioni sono tratte dal libro di Anna Parisi “Numeri magici e stelle vaganti” ed. Lapis