EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell’equazione

 SOLUZIONI   I particolari valori per cui questa è verificata sono detti soluzioni o radici dell’equazione Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile

PRINCIPI DI EQUIVALENZA Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni oppure se sono entrambe impossibili f(x) = g(x) mf(x) = mg(x) con m numero qualsiasi diverso da zero. f(x) +h(x) = g(x) +h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x.

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 x = 3 / 2

EQUAZIONI DI 2o GRADO Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x2 + c = 0

COMPLETA D = 0 2 soluzioni coincidenti a x2 + b x + c = 0 D > 0 2 soluzioni reali e distinte D = 0 2 soluzioni coincidenti D < 0 nessuna soluzione in R

ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1=3 x2=1/2

ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x2 - 3 x + 8 = 0 non ha soluzioni in R.

RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x2 + b x + c = 0

ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: ex: a = 1 x2 + 4 x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma s= -3/10 p = -1/10 x2 + (3/10) x - 1/10 = 0

FATTORIZZAZIONE D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 a x2 + b x + c = 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D < 0 -------------

EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Fattorizzare il polinomio mediante raccoglimenti: ES: x3 + x2 + x + 1 = 0 x2 (x + 1) + x + 1 = 0 (x2 + 1) (x + 1) = 0 x = - 1 RUFFINI

BIQUADRATICHE ax4 + bx2 + c = 0 (1) Pongo x2 = t at2 + bt+ c = 0 (2) Se la (2) ha soluzioni reali t1 e t2 ponendo: x2 = t1 e x2 = t2 si ottengono le soluzioni dell’equazione (1). Se la (2) non ha soluzioni reali, anche la (1) non ha soluzioni reali

ESEMPIO x4 - 3x2 - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0 x2 = t t1= -1 t2 = 4 x2 = -1 non ammette soluzioni reali x2 = 4 x1 = 2 x2 = -2

EQUAZIONI FRATTE Una equazione in cui l’incognita compare almeno una volta al denominatore I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}

ESEMPIO I = {xR: x  0}  {xR: x 2} 5x – 10x + 20 = 0 x = 4