LE SUCCESSIONI Si consideri la seguente sequenza di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento! Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente: ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

LE SUCCESSIONI Le successioni (introdotte prima delle funzioni) sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei numeri reali. Le successioni vengono indicate : Ovvero come : Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

LE SUCCESSIONI Esempio 1. Si consideri la successione: al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0. Esempio 2 Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi Esempio 3 Si consideri la successione : Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

LE SUCCESSIONI I tre esempi precedenti esibiscono i tre diversi comportamenti di una successione: Convergente, divergente ed oscillante. Studiare una successione equivale ad individuarne il comportamento al crescere di n verso ovvero a calcolare il :

LE SUCCESSIONI Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da: Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

LE SUCCESSIONI Proprietà dei limiti: A) B) C) D)

LE SUCCESSIONI Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n: Esempio 4: Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha: In generale si ha:

LE SUCCESSIONI Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione: A) h>k B) h=k C) h<k

LE SUCCESSIONI In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato: Nel caso A) si ha Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a mentre il denominatore converge a –1 quindi la successione diverge a

LE SUCCESSIONI Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene: Per cui e quindi la successione è convergente a - 1.

LE SUCCESSIONI Nel caso C) si ha: Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: =0 La successione è convergente.

LE SUCCESSIONI Concludendo: A) se h>k la successione è divergente a B) se h=k la successione è convergente a C) se h<k la successione è convergente a 0.

LE SUCCESSIONI Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma: si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ , perché si genera la forma indeterminata

LE SUCCESSIONI Si consideri la successione : Essa da luogo alla forma indeterminata ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnx.

LE SUCCESSIONI Si consideri ora la successione: Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:

LE SUCCESSIONI Calcolando il limite si ottiene:

LE SUCCESSIONI Esempio 5. Si consideri la successione Il calcolo del limite porta a:

LE SUCCESSIONI La successione geometrica: Se la successione è oscillante e non esiste. Se la successione è convergente e Se q=1 la successione è costante e Se la successione è divergente e

LE SUCCESSIONI Esempio 6.

LE SERIE Si consideri una successione: Si chiama serie numerica la successione I cui elementi sono così definiti: … Una serie (essendo una successione) può essere convergente, divergente o oscillante.

LE SERIE Esempio 7 La successione: genera la serie “armonica”: Si noti che la successione generatrice è convergente a 0.

LE SERIE Esempio 8 La successione genera la serie:

LE SERIE Esempio 9 La successione genera la serie di “Mengoli”. Si osservi che : Per cui Si osservi che la successione generatrice converge a 0.

LE SERIE La prima serie (quella armonica) diverge (cfr esempio 5.22). La seconda serie è oscillante (il non esiste) La terza serie è convergente (il ) Il calcolo di genera che nulla dice circa il comportamento della serie. Il calcolo del limite è invece efficace (vedi Esempio 9) se si riesce ad esprimere come funzione di n.

LE SERIE La successione geometrica: Genera la serie geometrica La ridotta n-esima (per valori della ragione diversi da 1) può essere espressa da: Per cui il comportamento della serie può essere determinato attraverso il calcolo del limite.

LE SERIE Il comportamento della serie geometrica è sintetizzato nella seguente tabella:

LE SERIE Criterio del confronto: Date due successioni: con allora si può affermare che: Se la serie maggiorante converge allora anche la minorante converge. Se la serie minorante diverge anche la maggiorante diverge.

LE SERIE Criterio del rapporto Se allora la serie converge. Se allora la serie diverge. Se allora il criterio è inefficace.

LE SERIE Esempio 10 Applicando il criterio del rapporto si ottiene La serie converge.

LE SERIE Esempio 11 Applicando il criterio del rapporto si ottiene La serie diverge.

LE SERIE Esempio 12 Applicando il criterio del rapporto si ottiene Il criterio è inefficace.

LE SERIE Criterio della radice. Se allora la serie è convergente. Se allora la serie è divergente. Se allora il criterio è inefficace.

LE SERIE Esempio 13 Il criterio della radice applicato alla serie è Inefficace. Infatti si ha Nel caso della serie generata dalla successione: L’applicazione del criterio porta a concludere che la serie è convergente, infatti:

LE SERIE Si consideri la successione: essa genera la serie armonica generalizzata, detta anche p-serie. La serie armonica generalizzata è convergente se . La serie armonica generalizzata è divergente se .

LE SERIE È opportuno sottolineare che ogni qual volta l’applicazione di un criterio conduce alla conclusione che la serie converge, NULLA SI PUO’ DIRE SUL VALORE AL QUALE LA SERIE CONVERGE. Quello che si può fare è individuare una stima del valore della somma della serie, eseguendo la somma algebrica di un numero “grande” di addendi! Si ricordi ancora che la convergenza a 0 della successione generatrice è SOLO UNA CONDIZIONE NECESSARIA per la convergenza della serie!

LE SERIE Serie a termini di segno variabile Si consideri la serie numerica a termini di segno alterno: generata dalla successione: La serie è convergente (criterio di Leibniz) se:

LE SERIE Esempio 14 Si consederi la serie: Soddisfa il criterio di Leibniz ed è quindi convergente.

LE SERIE Una serie numerica è assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti è convergente. L’assoluta convergente è una proprietà più forte della convergenza. La serie dell’esempio 14 è convergente (soddisfa il criterio di Leibniz) ma non è assolutamente convergente perché la serie dei valori assoluti altro non è che la serie armonica che è divergente.

LE SERIE