Genesi della Relatività Speciale Albert Einstein nel 1905 Α Ulm (Impero Germanico) 1879 Ω Princeton (Stati Uniti) 1955 V 0.73 http://lopseudoprometeo.myblog.it Nello studio di Einstein a Princeton erano appesi tre ritratti: quelli di Newton, Maxwell e Faraday (uno sperimentatore che preparò la via alle scoperte teoriche di Maxwell). A fine Ottocento si era consolidata pure la Termodinamica. Non ne parliamo, perché essa si applica ad un diverso piano della Realtà.

Genesi della Relatività Speciale La situazione della Fisica a fine Ottocento: Meccanica newtoniana Philosophiae Naturalis Principia mathematica pubblicato nel 1686 Elettromagnetismo di Maxwell A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field pubblicato nel 1865 Nello studio di Einstein a Princeton erano appesi tre ritratti: quelli di Newton, Maxwell e Faraday (uno sperimentatore che preparò la via alle scoperte teoriche di Maxwell). A fine Ottocento si era consolidata pure la Termodinamica. Non ne parliamo, perché essa si applica ad un diverso piano della Realtà.

Meccanica Newtoniana i Vettori La meccanica descrive i moti dei corpi nello spazio, in funzione del tempo. Poiché lo spazio è tridimensionale, non basta un semplice numero per caratterizzare la posizione, velocità ed accelerazione, ma occorrono i vettori:

Meccanica Newtoniana la prima legge di Newton Un oggetto che non è sottoposto a forze esterne si trova in una delle seguenti condizioni: Si muove di moto rettilineo uniforme cioè la direzione della velocità è una linea retta ed il modulo della velocità è costante È in quiete La condizione B è solo un caso particolare della A, quando il modulo della velocità è pari a zero.

Meccanica Newtoniana Sistemi Inerziali Gli osservatori (sistemi di riferimento) per i quali vale la prima legge di Newton si dicono “inerziali”. Per l’appunto, sono tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme tra loro. Non ci deve essere alcuna accelerazione! Ad esempio, un osservatore in rotazione NON è un sistema di riferimento inerziale. Tutte le leggi della Fisica assumono la stessa semplice forma in tutti i sistemi di riferimento inerziale. Nei sistemi non inerziali, bisogna introdurre forze apparenti per descrivere il moto.

Meccanica Newtoniana Sistemi Inerziali - II Ogni osservatore inerziale considera se stesso in quiete e vede gli altri in moto rettilineo uniforme. Esiste un sistema di riferimento privilegiato che sia in quiete in modo assoluto? In figura, il sistema S’ si allontana da S con velocità costante v ed è ruotato rispetto ad S ma con angoli fissi nel tempo.

Meccanica Newtoniana Sistemi Inerziali - III Newton, per motivi di ordine teologico, sostiene l’esistenza dello Spazio assoluto e del Tempo assoluto (che sono noti a Dio). In pratica, come spazio assoluto si prende quello in quiete rispetto alle stelle fisse (che in realtà non lo sono). La sua teoria funziona benissimo anche se ci limitiamo ai sistemi di riferimento inerziali relativi tra loro. Per passare da un sistema inerziale ad un altro si usano le trasformazioni di Galileo. Esse assumono che lo scorrere del tempo sia indipendente dal moto relativo dei due osservatori.

Meccanica Newtoniana Trasformazioni di Galileo L’osservatore O2 si allontana dall’osservatore O1 con moto relativo rettilineo ed uniforme lungo l’asse x, con velocità v0 x = x’ + v0∙t x’ = x - v0∙t y = y’ y’ = y z = z’ z’ = z t = t’ t’ = t

Meccanica Newtoniana Seconda Legge Un oggetto sottoposto all’azione di forze esterne lascia lo stato di quiete (o di moto rettilineo uniforme) e viene accelerato, come descritto dalla famosissima equazione : F = ma F è la somma di tutte le forze (gravitazionali, elettriche, di attrito…) ed appare in grassetto perché è un vettore. m è la massa inerziale dell’oggetto (quantità di materia) a è l’accelerazione (variazione di velocità) ed appare in grassetto perché è un vettore. Questa equazione è uguale in tutti i sistemi di riferimento inerziali!

Meccanica Newtoniana Seconda Legge - II Ricordiamoci che la velocità è un vettore, quindi l’accelerazione provocata da una forza può variare: la direzione della velocità e/o il verso della velocità e/o il modulo della velocità L’accelerazione provoca una variazione di velocità che è indipendente dalla velocità che aveva il sistema di riferimento prima dell’applicazione (come già detto). Nota: la forza può essere funzione della velocità (ad esempio, la resistenza dell’aria).

Meccanica Newtoniana Seconda Legge - III Vediamo un esempio di un corpo che subisce una forza diretta verso un punto fisso (potrebbe essere l’attrazione gravitazionale esercitata dal Sole su un pianeta). Il pianeta tenderebbe a muoversi di moto rettilineo lungo la tangente alla sua traiettoria, ma la forza Fc lo costringe a muoversi lungo una circonferenza. La forza cambia continuamente direzione, poiché è diretta sempre verso il punto centrale.

Meccanica Newtoniana Terza Legge (Principio di Azione e Reazione) Una forza che agisce su un corpo A non nasce dal nulla. Deve esistere un secondo corpo B che origina la forza FBA su A. Però anche A genera la forza FAB su B, con la stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto. Esempio banale: il Sole attrae la Terra, ma anche la Terra attrae il Sole con la stessa forza. I due corpi ruotano attorno al loro baricentro. La massa del Sole è molto maggiore di quella della Terra ed il baricentro si trova entro il diametro solare. Ma non sempre è così. La figura si riferisce alla coppia Plutone/Caronte (il baricentro è indicato dalla crocetta rossa).

Meccanica Newtoniana Legge della Gravitazione Universale Ogni corpo attrae qualsiasi altro corpo con una forza data dalla legge riportata in figura, dove: G è la costante gravitazionale m1 e m2 sono le masse gravitazionali dei due corpi in questione r è la distanza che li separa Nota: come dalla III legge, la forza è in realtà una coppia di forze Ora sappiamo (teoria della Relatività Generale) che questa legge è valida solo quando l’intensità della Gravitazione è bassa (ad es. lontano dal Sole) e per velocità basse rispetto a quella della luce

Meccanica Newtoniana Osservazioni Un corpo, sotto l’azione di forze opportune, può essere accelerato ad una velocità infinita (no in Rel. Speciale). Il tempo scorre uniformemente per tutti gli osservatori inerziali (no in Rel. Speciale). Azione a distanza: la forza gravitazionale agisce istantaneamente nel vuoto fra i corpi, a qualsiasi distanza. Newton non riuscì a trovare una spiegazione e scrisse la famosa frase Hypotheses non fingo (no in Rel. Generale) Il valore numerico della massa inerziale e quello della massa gravitazionale sono gli stessi (no in Rel. Generale). g = accelerazione dei gravi sulla terra MINgrave ∙ g = G ∙ MGRgrave ∙ MTerra / r2Terra → g ≈ 9,8 m/s2

Elettromagnetismo Inizi Il magnetismo, ossia il fatto che pezzi di ossidi di ferro si attraggono reciprocamente, era noto già agli antichi greci. Lo studio dell’elettromagnetismo comincia quando Volta inventa la pila elettrica (fine Settecento). Essa genera una corrente continua di elettricità per lunghi periodi di tempo. Nel 1820 il danese Oersted scopre che l’ago magnetico della bussola è deviato da una corrente elettrica che fluisce nei pressi. Il francese Ampère dimostra che due fili percorsi da corrente elettrica esercitano un’interazione magnetica allo stesso modo di due calamite. Ipotizza che l’origine del magnetismo nella materia sia la circolazione di correnti elettriche elementari in essa (1821).

Elettromagnetismo Faraday Nel 1831 l’autodidatta Faraday mostra che i magneti possono produrre correnti elettriche. Fa muovere una calamita in una bobina di filo conduttore ed un galvanometro misura il passaggio di corrente. Così si completa la simmetria fra elettricità e magnetismo (però il magnete deve essere in movimento). Faraday introduce la nozione di campo elettromagnetico: in ogni punto dello spazio sono presenti delle linee di forza che rappresentano la presenza delle forze elettriche e di quelle magnetiche. Questo è il contrario del principio di azione a distanza di Newton. In figura: la limatura di ferro segue le linee di forza di un magnete.

Elettromagnetismo Maxwell Lo scozzese Maxwell (morto a 48 anni) trasformò in equazioni matematiche tutti i risultati sperimentali di Faraday. Queste sono equazioni alle derivate parziali che, in ogni punto dello spazio, mettono in relazione le variazioni del campo magnetico con le variazioni del campo elettrico indotto. Un campo può variare sia nello spazio che nel tempo. Ad esempio, la variazione parziale del campo elettrico nello spazio genera variazioni nel tempo del campo magnetico. Ne risulta la propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto con la velocità della luce! È il primo indizio che la luce non è altro che un’onda elettromagnetica. Nel 1888, dopo la morte di Maxwell, il tedesco Hertz trovò la conferma sperimentale di tutto ciò.

Elettromagnetismo Equazioni di Maxwell

Elettromagnetismo Equazioni di Maxwell - II Commentiamo la diapositiva precedente: Come al solito, i simboli in grassetto indicano grandezze vettoriali. E è il campo elettrico B è il campo magnetico ρ è la carica elettrica J è la densità di corrente elettrica ε0 e μ0 sono delle costanti che mettono a posto le unità di misura Lo studio matematico di queste equazioni mostra che corrispondono ad onde che si propagano alla velocità della luce

Elettromagnetismo Equazioni di Maxwell - III Commentiamo ancora le equazioni: La prima dice semplicemente che il campo elettrico E su una superficie chiusa viene generato dalle cariche elettriche ρ presenti all’interno della superficie stessa. La seconda dice che non esistono cariche magnetiche (poli magnetici) isolate. Esistono solo i dipoli che hanno il polo positivo e quello negativo fusi assieme. La terza (legge di Faraday) dice che un campo magnetico B variabile nel tempo genera “induce” un campo elettrico E. La quarta (legge di Ampère) dice che le correnti elettriche J e le variazioni nel tempo del campo E generano un campo magnetico B.

Elettromagnetismo Etere Dopo due secoli di meritato trionfo del meccanicismo di Newton, i contemporanei di Maxwell (egli compreso) sentono il bisogno di inserire l’elettromagnetismo in un quadro meccanico. Come le onde sonore hanno bisogno dell’aria per propagarsi, così le onde elettromagnetiche devono oscillare nell’etere, sostanza che deve permeare tutto lo spazio. Possiede caratteristiche misteriose: da un lato non deve offrire resistenza al passaggio dei corpi (ci siamo immersi dentro), dall’altro deve essere elastico per vibrare e deve essere molto rigido per consentire una velocità di propagazione altissima come quella della luce.

Elettromagnetismo Etere - II Newton sostenne la teoria corpuscolare della luce e, grazie alla sua fama, essa rimase in auge nella prima parte del ‘700. Ricordiamoci che Newton progettò e costruì il primo telescopio (mentre Galileo costruì un cannocchiale). In questa teoria il problema dell’azione a distanza si risolve facilmente: la luce è in grado di attraversare lo spazio vuoto proprio grazie ai corpuscoli dai quali è costituita. La teoria ondulatoria della luce, che ben presto prese il sopravvento, aveva bisogno di un mezzo per la propagazione delle onde: l’etere luminifero, che fu poi consacrato trionfalmente dalle equazioni di Maxwell. Adesso la meccanica quantistica afferma che le interazioni avvengono tramite i bosoni, che sono sia onda che particella.

Elettromagnetismo Esperimento di Michelson-Morley La teoria dell’etere luminifero, che aveva ricevuto nuovo vigore dalle equazioni di Maxwell, fece tornare in auge il concetto di spazio assoluto sostenuto da Newton. Magari questo etere poteva essere proprio lui lo spazio assoluto. Michelson, un americano nato in Polonia, studiò e costruì uno strumento (interferometro) per misurare la velocità della Terra rispetto all’etere (1887). Un interferometro sfrutta le proprietà ondulatorie della luce. Se due onde vengono sovrapposte (vedi figura), forma una immagine che consente di stabilire se sono o meno “in fase”.

Elettromagnetismo Esperimento di Michelson-Morley - II Lo strumento consiste di due bracci (di identica lunghezza) che si congiungono ad angolo retto. All’estremità di ciascun braccio è posto uno specchio. Nel punto di congiunzione è posto uno specchio semiriflettente: metà della luce passa attraverso la superficie non riflettente mentre l’altra metà viene riflessa ad angolo retto lungo il secondo braccio. I due raggi di luce rimbalzano sugli specchi alle estremità e si incontrano nuovamente nel rilevatore, interferendo l’uno con l’altro. Solo se il tempo impiegato dalla luce per percorrere i due bracci è lo stesso, i due raggi si incontreranno in fase.

Elettromagnetismo Esperimento di Michelson-Morley - III Se il tempo impiegato non è lo stesso, nell’oculare dello strumento si osservano delle “frange di interferenza” simili a quelle in figura. Essendo i due bracci identici, la fisica classica dice che può accadere solo se la velocità della luce è diversa nelle due direzioni (salto i passaggi matematici). Ad esempio, il braccio orizzontale si potrebbe trovare proprio nella direzione di scorrimento dell’etere (tangente al moto di rivoluzione della Terra). L’esperimento fu eseguito parecchie volte, a diverse ore del giorno ed in diversi mesi, cambiando anche la direzione dello strumento. Non fu mai osservata alcuna frangia di interferenza indicante velocità diverse.

Elettromagnetismo Esperimento di Michelson-Morley – IV L’esito dell’esperimento di Michelson-Morley suscitò scalpore fra i fisici di fine Ottocento. Furono formulate delle ipotesi: la forza elettromagnetica dell’etere in moto rispetto al braccio dello strumento ne aveva accorciato la lunghezza, agendo sulle molecole elettricamente cariche del metallo (contrazione di FitzGerald-Lorentz). L’esperimento fu ripetuto con bracci in legno, ma l’esito era sempre uguale. Einstein non diede importanza all’esperimento. Per lui l’esito era scontato. Egli confidava nella forza del ragionamento (esperimenti pensati) e nella creatività dell’intuizione. Chiaramente, le ipotesi andavano poi suffragate dagli esperimenti.

Relatività Speciale Einstein Einstein crede fermamente nel principio di relatività galileiano: le leggi fisiche sono identiche per tutti gli osservatori inerziali. Ciascuno di tali osservatori può giustamente affermare di essere in quiete, mentre gli altri sono in moto rettilineo uniforme rispetto a lui. Non è quindi possibile escogitare un esperimento per trovare un osservatore in quiete assoluta (spazio assoluto). Le leggi fisiche comprendono sia le equazioni meccaniche di Newton che le equazioni elettromagnetiche di Maxwell. Come conseguenza, Einstein considera ovvio il fatto che l’esperimento di Michelson-Morley non abbia determinato la presenza dell’etere (spazio assoluto).

Relatività Speciale Einstein – Esperimento pensato Einstein sa che le leggi di Newton NON impediscono ad un osservatore di raggiungere la velocità della luce. Basta che venga accelerato per un tempo abbastanza lungo da una forza per quanto piccola. Raggiunta la velocità della luce, questo osservatore può viaggiare alla stessa velocità di un’onda elettromagnetica, ad esempio di forma sinusoidale. Ora se l’osservatore si muove di fianco ad un picco della sinusoide (ad esempio), NON vede più l’andamento oscillatorio richiesto dalle equazioni di Maxwell. Pertanto o le equazioni di Maxwell sono sbagliate o è impossibile che un osservatore viaggi alla velocità della luce.

Relatività Speciale Trasformazioni di Galileo Einstein sa che dalle equazioni di Maxwell si può ricavare la velocità della luce: e che tale valore è una costante; μ0 e ε0 sono delle costanti che descrivono le proprietà elettromagnetiche del vuoto. Per il principio di relatività, tutti gli osservatori inerziali devono misurare questa stessa velocità per la luce, indipendentemente dalla loro velocità relativa. Pertanto le trasformazioni di Galileo, che consentono di sommare la velocità della luce a quella di un sistema di riferimento, sono sbagliate.

Relatività Speciale Trasformazioni di Galileo - II Ecco due sistemi di riferimento inerziali S e S’; S’ è una astronave che si allontana da S a velocità v nel riferimento S, a sua volta S’’ si allontana da S a velocità (costante) ω sempre lungo l’asse delle x. Le trasformazioni galileiane dicono che la velocità V di S’’ rispetto a S’ ha direzione lungo l’asse delle x e modulo: V = ω - v Supponiamo che S’’ sia un fotone con ω = c e che v = c/2 , ne consegue V = c - c/2 = c/2 , che contraddice l’invarianza della velocità della luce (teoria di Maxwell).

Relatività Speciale I Precursori Einstein è un autodidatta Quando pubblica la sua teoria (nel 1905, all’età di 26 anni) è un impiegato dell’ufficio dei brevetti di Berna e non ha alcun contatto col mondo degli scienziati e neppure ha accesso alle pubblicazioni specializzate. Quindi non sa che l’anno prima alcuni scienziati si erano avvicinati ai suoi risultati. L’olandese Lorentz aveva trovato le trasformazioni con le quali le equazioni di Maxwell non cambiano forma col sistema di riferimento, ma non capisce che esse devono sostituire anche le trasformazioni galileiane per la meccanica. Il francese Poincaré intuisce che la meccanica deve essere rinnovata, per far valere il principio di relatività anche per l’elettromagnetismo, ma non riesce ad abbandonare il concetto di spazio e tempo assoluti.

Relatività Speciale Annus Mirabilis - 1905 Nel 1905, l’Anno delle Meraviglie, Einstein pubblica quattro articoli rivoluzionari: Un punto di vista euristico sulla produzione e la trasformazione della luce: sull’effetto fotoelettrico ed i quanti di energia. Questo saggio gli valse il premio Nobel nel 1921. Il moto di piccole particelle sospese in liquidi in quiete, secondo la teoria del calore: sul moto browniano, la meccanica statistica e l’esistenza degli atomi. Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento: è la relatività speciale! L'inerzia di un corpo dipende dal contenuto di energia?: è un approfondimento dell’articolo precedente, dove si ricava la famosissima equazione E = mc2

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper Questo breve saggio inizia presentando due postulati: Postulato di relatività: il principio di relatività di Galilei deve valere per tutte le leggi della fisica, e non solo per la dinamica; in particolare deve valere anche per l’elettromagnetismo. Ciò implica che leggi di trasformazione delle coordinate spaziotemporali nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro non possono essere quelle di Galilei. Postulato dell’invarianza della velocità della luce nel vuoto: questo valore non cambia nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro. Il fatto che la velocità della luce non si componga con la velocità del sistema di riferimento implica che la legge di composizione delle velocità non sia semplicemente additiva.

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper - II Il saggio continua così: Il concetto di “etere luminifero” diventa superfluo, perché la teoria non ha bisogno di uno spazio assoluto con proprietà particolari. Critica del concetto di simultaneità: possiamo sapere se due orologi, in quiete nel nostro sistema di riferimento, sono sincronizzati. Basta misurare la distanza fra di essi, ponendo una serie di metri l’uno accanto l’altro, poi ci mettiamo nel punto mediano e diciamo a collaboratori posti vicino agli orologi di inviare dei segnali di luce quando i rispettivi orologi segnano ad esempio le sette. Se i due segnali arrivano simultaneamente nel punto mediano, allora sappiamo che i due orologi sono sincronizzati.

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper - III Relatività della simultaneità Due eventi che appaiono simultanei ad osservatori in stato di quiete, appaiono tali anche ad osservatori in stato di moto? Immaginiamo un osservatore in stato di quiete a metà strada fra i due orologi per eseguire la prova di prima e che proprio mentre comincia l’esperimento un osservatore in movimento passi per tale punto mediano. Entrambi gli orologi in stato di quiete segnano le 7 ed emettono un segnale luminoso, come convenuto. Dal punto di vista dell’osservatore in stato di quiete che si trova a metà strada, i due segnali si incontrano simultaneamente alcuni istanti dopo. Invece, dal punto di vista dell’osservatore in movimento, questo non accade!

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper - IV Relatività della simultaneità (continuazione) L’osservatore in moto si sta muovendo verso una delle due luci e si sta allontanando dall’altra, quindi la distanza percorsa dal primo segnale verso di lui è minore di quella percorsa dalla seconda luce. Per il postulato dell’invarianza della velocità della luce, il primo raggiungerà l’osservatore in anticipo rispetto al secondo. L’osservatore in movimento sosterrà che i due orologi non sono sincronizzati. Il tempo misurato da un osservatore in moto è diverso da quello misurato dall’osservatore in quiete. È una conseguenza del fatto che la velocità della luce non è infinita. Gli orologi in stato di moto vanno più lentamente di quelli in stato di quiete.

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper - V Ecco le trasformazioni per passare da un sistema di riferimento inerziale all’altro (dette trasformazioni di Lorentz): È evidente che il tempo t’ scorre diversamente dal tempo t. L’osservatore O1 vede che il tempo t’ in O2 scorre più lentamente di quello t misurato nel suo stesso sistema O1 (dilatazione del tempo). O1 si accorge pure che un righello, fermo lungo l’asse x, è più corto rispetto alla misura ricavata in O2 (contrazione della lunghezza).

Relatività Speciale Zur Elektrodynamik bewegter Körper - VI Nella diapositiva precedente, compare il fattore moltiplicativo detto fattore di Lorentz: Dal grafico di γ in funzione di v, si vede che esso tende all’infinito per v → c. Sempre dalla diapositiva precedente, si può vedere che per c che si avvicina ad infinito (c → ∞), le trasformazioni di Lorentz diventano quelle di Galileo.

Relatività Speciale Contrazione della Lunghezza Ecco la derivazione matematica della contrazione della lunghezza. Nel sistema S’, che si allontana da S con velocità v lungo l’asse delle x, poniamo un regolo di lunghezza L’ tra i punti x’A e x’B . Chiaramente è: L’ = x’B - x’A Scriviamo le trasformazioni di Lorentz: x’A = γ(xA - v∙t) x’B = γ(xB - v∙t) Di conseguenza il regolo, nel sistema S, ha lunghezza pari a: L = xB - xA = (x’B - x’A)/ γ + v∙t - v∙t = L’/γ (1/γ è < 1) La lunghezza di un regolo dipende dal sistema di riferimento in cui la si misura ed assume il valore massimo quando viene misurata nel sistema di riferimento in cui il regolo è in quiete.

Relatività Speciale Dilatazione del Tempo

Relatività Speciale Dilatazione del Tempo Dal teorema di Pitagora si ricava: ( ½ct )2 - (½vt)2 = L2 t è il tempo del sistema in moto Ricordiamoci che: T = 2L/c T è il tempo del sistema in quiete Sostituendo: ⅟₄ (ct)2 - ⅟₄ (vt)2 = ⅟₄c2T2 Si ricava:

Relatività Speciale Composizione delle Velocità Ecco due sistemi di riferimento inerziali S e S’; S’ è una astronave che si allontana da S con velocità v nel riferimento S, a sua volta S’’ si allontana da S con velocità (costante) ω sempre lungo l’asse delle x. Le trasformazioni relativistiche dicono che la velocità V di S’’ rispetto a S’ ha direzione lungo l’asse delle x e modulo: V = (ω – v) / (1 - ω∙v/c2) Supponiamo che S’’ sia un fotone con ω = c e che v = c/2 , ne consegue V = ½c / (1 - ½) = c , in pieno accordo con l’invarianza della velocità della luce (teoria di Maxwell).

Relatività Speciale E = mc2 L’ultimo saggio del 1905 in sole tre pagine ricava dalla teoria della Relatività Speciale questa equazione fondamentale ed inattesa: E = mc2 (dove E è l’energia, m è la massa del corpo). Se l’osservatore è in quiete rispetto al corpo, m è la massa a riposo (m0) corrispondente alla massa inerziale di Newton; E indica l’energia immagazzinata all’interno del corpo stesso. Se invece il corpo è in moto rispetto all’osservatore, m è la massa relativistica (che aumenta con la velocità) ed E è la somma dell’energia interna e dell’energia cinetica dovuta al moto stesso.

Relatività Speciale E = mc2 Esiste la seguente relazione relativistica tra l’energia totale E di una particella e il modulo p della sua quantità di moto: E2 = p2c2 + m2c4 dove m è la massa a riposo. Questa equazione è storicamente importante perché, dopo averla introdotta nelle equazioni quantistiche delle particelle libere, è stata scoperta l’esistenza delle antiparticelle. Una spiegazione semplicistica potrebbe essere questa: E2 corrisponde ai due valori +E e –E, rispettivamente della particella e della sua antiparticella.

Relatività Speciale E = mc2 - Applicazioni Il fisico inglese Dirac introdusse le formule relativistiche dell’energia e della quantità di moto all’interno della meccanica quantistica. Ciò consentì di predire l’esistenza dell’antimateria (1928). L’antielettrone (o positrone) venne scoperto poco dopo, nel 1932. È risaputo che la massa del protone è molto maggiore di quella dell’elettrone (1836 volte). Invece pochi sanno che questa massa è dovuta al frenetico movimento dei quark e dei gluoni che formano internamente il protone, simile all’agitarsi di una mosca intrappolata in una mano. L’energia cinetica di questi movimenti si converte nella massa del protone.

Relatività Speciale Spaziotempo di Minkowski Minkowski, che era stato un insegnante di Einstein, si accorge che la Relatività dimostra che lo spazio ed il tempo sono uniti in uno spaziotempo quadridimensionale. Un evento è qualunque cosa accada in un dato luogo e in un dato istante. Possiamo caratterizzarlo con le tre coordinate spaziali che indicano dove ha avuto luogo, associate alla coordinata temporale che indica quando si è verificato. Usiamo i simboli x, y, z per indicare le tre coordinate spaziali e la variabile t per indicare quella temporale. Un evento è univocamente determinato dalla quaterna (x, y, z, t).

Spazio euclideo Distanza tra due punti La distanza tra i punti A e B è data dalla formula: _________________ d = √ (xB – xA)2 + (yB – yA)2 (2 dimensioni) __________________________________ d = √ (xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2 + (tB – tA)2 (4 dimensioni)

Relatività Speciale Spaziotempo di Minkowski – Intervallo Sappiamo che i punti della geometria quadridimensionale di Minkowski si chiamano eventi. La distanza tra due eventi A e B si chiama intervallo e qui lo indichiamo con d: d2 = c2(tB - tA)2 – (xB - xA)2 – (yB - yA)2 – (zB – zA)2 Questo valore è una invariante per qualsiasi osservatore inerziale. E’ l’analogo della distanza euclidea, ma confrontandolo con la diapositiva precedente, si vede che è diverso, a causa della comparsa del segno “-”. La geometria di Minkowski è pseudo-euclidea. Non è uno spazio curvo (vedi Relatività Generale).

Relatività Speciale Spaziotempo di Minkowski – Intervallo II Supponiamo che l’evento A corrisponda all’emissione di un segnale luminoso e che l’evento B corrisponda all’arrivo di questo segnale luminoso. Per la definizione di velocità: (xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB – zA)2 –––––––––––––––––––––––– = c2 (tB – tA) Si ricava immediatamente (vedi diapositiva precedente) che l’intervallo che separa i due eventi “invio di un segnale luminoso” e “arrivo di un segnale luminoso” è uguale a zero. Questo è vero per qualsiasi osservatore.

Relatività Speciale Classificazione degli intervalli Il quadrato dell’intervallo (che è indipendente dal sistema di riferimento) può essere: Nullo: l’intervallo è detto di tipo luce (come già visto) Positivo: l’intervallo è detto di tipo tempo. E’ il caso di due eventi separati spazialmente nel sistema S; si trova che esiste un sistema S’ in cui i due eventi occupano la stessa posizione nello spazio. Se i due eventi sono relativi alla stessa particella materiale, l’intervallo tra essi è sempre di tipo tempo. Negativo: l’intervallo è detto di tipo spazio. E’ il caso di due eventi che avvengono in istanti differenti nel sistema S; si trova che esiste un sistema S’ in cui i due eventi avvengono simultaneamente. La prossima diapositiva (il Cono di Luce) chiarisce questi concetti.

Relatività Speciale Cono di Luce Per comodità, è raffigurata una sola dimensione spaziale. A e B sono eventi separati da un intervallo di genere tempo. A e C sono eventi di genere spazio.

Relatività Speciale Cono di Luce: commenti Tutti gli eventi interni al cono luce e corrispondenti a istanti successivi a quello di A costituiscono il futuro assoluto di A, qualsiasi sia il sistema di riferimento inerziale. Esiste però un sistema di riferimento in cui i due eventi occupano lo stesso punto dello spazio. Tutti gli eventi esterni al cono luce costituiscono l’altrove assoluto di A. Questi eventi rimangono, in qualsiasi sistema di riferimento, in punti dello spazio diversi da A. Non esiste alcun sistema nel quale uno di tali eventi coincida spazialmente con l’evento A. Però esistono dei sistemi nei quali esso è successivo ad A, oppure esso precede A, oppure esso accade simultaneamente ad A. Il confine del cono è costituito dai raggi di luce che partono da A o arrivano in A.

Osservazioni conclusive Nel 1905, il tempo era ormai maturo per la nascita della Relatività Speciale. Fin dai tempi di Maxwell i migliori scienziati discutevano sull’etere e la velocità della luce. Alcuni, per amore di polemica, dicono che lo scopritore della relatività fu Poincaré, subito prima di Einstein. In realtà Poincaré sostenne sempre l’esistenza dello spazio assoluto (anche se non poteva essere identificato) ed inoltre ragionava su modelli fisici particolari (ad esempio, la materia è formata da elettroni sferici piuttosto che ellittici…). Einstein usò invece ragionamenti puramente geometrici, di validità generale e di stile filosofico. Einstein portò all’estremo il suo stile di ragionamento, che dava molta importanza alla intuizione ed alla creatività, arrivando alla titanica teoria della Relatività Generale (RG) nel 1915. L’unica sconfitta di Einstein fu contro la nascente Meccanica Quantistica (MQ). Tuttora RG e MQ sono due teorie irriducibili.