Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questo learning object introduce e presenta una delle leggi fondamentali della Geometria descrittiva: l’Appartenenza e/o contenenza o inclusione Mediante questa legge si studiano e definiscono i legami geometrici (presenti o non) tra gli enti fondamentali della rappresentazione descrittiva di un solido, di un oggetto o di un progetto di qualsiasi natura descritto mediante la doppia proiezione ortogonale di Monge. Con questa legge, pur essendo la rappresentazione grafica bidimensionale, si è in grado di imporre e/o verificare l’aspetto della tridimensionalità di un solido, di un oggetto, di un progetto inteso come attualizzazione del futuro, prima che esso si concretizzi. Pertanto è una legge geometrica di primaria importanza per tutti quelli che operano in senso progettuale e manipolano mentalmente gli enti geometrici.

Autore Prof. Elio Fragassi Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE LEGGI GEOMETRICHE LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Pasquale Mariani della classe 5°A dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (1) Stabilire condizioni, in generale, vuol dire definire e fissare alcune norme da rispettare e/o imporre in un dato campo dell’operare. Le condizioni possono essere di varia natura ed interessare vari e diversi aspetti del nostro fare. Ad esempio si dirà: Lo studente sarà promosso a condizione che si applichi nello studio. Il voto sarà sufficiente a condizione che il compito non presenti errori. Il regalo ci sarà a condizione che tu sia promosso. ecc. ecc. Le condizioni geometriche, in particolare definiscono e rappresentano leggi in base alle quali verificare, nella decodifica grafica degli elaborati, la presenza o meno di determinati legami geometrico-descrittivi, oppure impostare la fase elaborativa di una rappresentazione grafica in modo tale da vincolare gli elementi geometrici della stessa al rispetto delle specifiche leggi descrittive codificate.

ESPLICATIVE E/O DEDUTTIVE LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (2) Pertanto le condizioni geometriche possono avere natura e scopi duplici, possono essere APPLICATIVE Oppure DI VERIFICA Quindi Quindi IMPOSITIVE ESPLICATIVE E/O DEDUTTIVE Sono applicative quando nella risoluzione dei problemi descrittivi, la condizione viene imposta come ad esempio: Sono invece di verifica quando dalla lettura grafica si riscontra l'esplicitazione di particolari legami grafico-geometrico-descrittivi tra gli elementi geometrici, come ad esempio: definire due rette parallele tra loro, definire un punto appartenente ad una retta, definire due rette perpendicolari, ecc. ecc. se le proiezioni di due rette sono parallele tra loro, vuol dire che le rette reali sono tali, se la proiezione di una retta si presenta ortogonale alle tracce di un piano, vuol significare l'esistenza di un rapporto di perpendicolarità tra i due elementi geometrici, se per le proiezioni di un punto passano le proiezioni di due rette distinte, deduciamo di essere in presenza di due rette incidenti, ecc. ecc.

Le condizioni geometriche sono tre, ed in particolare: LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (3) Queste leggi, essendo riferite agli elementi geometrici fondamentali: punto, retta, piano, possono essere, tranquillamente, applicate o ricercate, per estensione dei concetti, sia alle figure piane che alle forme solide comunque posizionate nello spazio e quindi nei diedri rappresentativi di questo. Le condizioni geometriche sono tre, ed in particolare: 1 2 3 Condizioni di appartenenza il cui simbolo è:  , e le biunivoche leggi della contenenza o inclusione il cui simbolo è: . Condizioni di parallelismo, avente come simbolo . Condizioni di perpendicolarità o ortogonalità, il cui simbolo è: .

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (4) Le condizioni di appartenenza e/o contenenza o inclusione stabiliscono e/o verificano un legame fisico reciproco tra due e/o più elementi geometrici, per cui, se un elemento appartiene all’altro, biunivocamente vuol dire che questo secondo lo contiene: A Î r Û r Ì A viceversa Se un elemento è contenuto dall’altro, vuol significare, secondo il principio biunivoco, che questo secondo appartiene al primo; cioè in modo sintetico si ha: r Ì P Û P Î r

L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (5) Poiché le leggi dell’appartenenza e della contenenza vanno riferite agli elementi geometrico-rappresentativi degli enti fondamentali, ricordiamo, anzitutto, la seguente Tabella –A- riassuntiva degli elementi fondamentali e delle rispettive caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi e descrittivi Tabella –A - Quadro sinottico degli elementi rappresentativi degli enti fondamentali Punto, Retta, Piano Ente o elemento geometrico Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura elemento rappresentativo Caratterizzazione geometrica elemento rappresentativo Caratterizzazione fisica elemento rappresentativo Didascalia ente 1a proiezione o 1a immagine P’ Punto Virtuale P Punto 2a proiezione o 2a immagine P’’ Punto Virtuale T1r 1a traccia Punto Reale 2a traccia Punto Reale T2r Retta r 1a proiezione o 1a immagine Retta Virtuale r’ r’’ 2a proiezione o 2a immagine Retta Virtuale t1 1a traccia Retta Reale  Piano Reale t2 2a traccia Retta

L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (6) Dati gli enti geometrici di cui sopra ed i relativi specifici elementi geometrico-rappresentativi, come sopra caratterizzati, è necessario stabilire le leggi geometriche dell'appartenenza e contenenza o inclusione tra le seguenti combinazioni elementari. Punto e retta Retta e piano Punto e piano P Î r  r Ì P r Î a  a Ì r P Î a  a Ì P Il punto P appartiene alla retta r se e solo se la retta r contiene il punto P La retta r appartiene al piano  se e solo se il piano  contiene la retta r Il punto P appartiene al piano  se e solo se il piano  contiene il punto P Reciprocamente Reciprocamente Reciprocamente Se il punto P appartiene alla retta r allora, biunivocamente, la retta r contiene il punto P Se la retta r appartiene al piano a allora, biunivocamente, il piano a contiene la retta r Se il punto P appartiene al piano a allora, biunivocamente, il piano a contiene il punto P

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