GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le stesse caratteristiche . Si indaga quindi il rapporto relativo al parallelismo tra rette L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità. Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI PARALLELISMO TRA RETTE Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009 Da Di Blasio Giada della classe 3°C del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline grafico-geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

PARALLELISMO TRA RETTE INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1) Cominciamo l’analisi sul parallelismo iniziando con l’ “ INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ” Ricordando gli specifici elementi geometrico descrittivi, come caratterizzati nella tabella riassuntiva della presentazione n° 1, ed escludendo il punto, quindi anche le "tracce" della retta -per quanto detto nella presentazione n°1-, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due o più rette necessita definire lo specifico rapporto descrittivo concreto tra le "proiezioni“ delle rette, che geometricamente si caratterizzano come "rette“. Possiamo, allora, avere un caso come quello graficizzato nell’immagine di sopra (Fig. 01) In questa circostanza, considerando le rispettive proiezioni delle due rette accade che: s’ Ç r’  P’ ed anche s” Ç r”  P” Stante questo rapporto, definito, concreto,costante e continuo tra gli stessi elementi rappresentativi della retta r e della retta s, si può dedurre che le due rette reali, collocate nello spazio fisico, sono anch'esse parallele.

PARALLELISMO TRA RETTE INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2) La formalizzazione esplicativa può essere così espressa: r’ // s’ P’  P  r // s r’’ // s’’ P’’  Mentre e' possibile enunciare la seguente definizione geometrico-descrittiva: Se le omonime proiezioni di due rette distinte sono parallele, allora, e solo allora, possiamo asserire che tali sono le rette reali Ampliando la definizione con il concetto del punto improprio si ha la seguente forma sintetica: r  s  P r//s che possiamo enunciare nel modo seguente Se le intersezioni delle omonime proiezioni di due rette distinte determinano le proiezioni di un punto improprio, allora, e solo allora, possiamo asserire che le due rette reali sono parallele

PARALLELISMO TRA RETTE Procedura applicativa o impositiva (1) Se la condizione geometrica deve essere imposta tra due o più rette, è necessario operare, nel corso dell’elaborazione, in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso prima. Pertanto, volendo costruire due rette parallele è necessario imporre che le omonime proiezioni siano tali. Avremo quindi, con riferimento ai caratteri geometrici, la seguente definizione: Perché due, o più rette, siano parallele tra loro è necessario che tali siano le rispettive omonime proiezioni Ampliando la ricerca con il concetto di punto improprio è necessario fare sì che le loro intersezioni determinino le proiezioni di un punto improprio. Conseguentemente possiamo esprimere la seguente formalizzazione impositiva o applicativa: r’ s’ P’ dove r // s r Ç s P r" s” P" dove

PARALLELISMO TRA RETTE Procedura applicativa o impositiva (2) dove gli elementi R ed S delle sommatorie individuano i punti dinamici che muovendosi secondo una direzione assegnata generano le rette reali r ed s La definizione verbale può essere sintetizzata ed espressa nel modo seguente: Perché due rette siano parallele è necessario che le rispettive intersezioni delle due proiezioni determinino le proiezioni di un punto improprio Che, sinteticamente, in forma insiemistico-descrittiva può essere espressa nel modo seguente: r // s  [(r’ s’)  P’; (r” s”)  P’’]

PARALLELISMO TRA RETTE Quadro sintetico della condizione di parallelismo tra due rette CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE RETTE Nomenclatura dell'elemento rappresentativo geometrica elemento rapprsentativo Definizione Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra rette Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Didascalia elemento rappresentativo Definizione grafica degli elementi geometrici Elemento geometrico Didascalia elemento Formalizzazione esplicativa T1r 1a traccia Punto Reale r'//s' r"//s" r//s P T2r 2a traccia Punto Reale Retta r r’ 1a proiezione o 1a immagine Retta Virtuale 2a proiezione o 2a immagine r’’ Retta Virtuale Formalizzazione applicativa T1s 1a traccia Punto Reale r//s r' s' r" s" P' P" P T2s 2a traccia Punto Reale Retta s 1a proiezione o 1a immagine s’ Retta Virtuale s’’ 2a proiezione o 2a immagine Retta Virtuale

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (1) Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato r’ // s’  P’ P r’’ // s’’  P’’ Dato Risultato Poiché le estensioni di (a’, b’) e (a”, b”) generano rispettivamente P ’ , P ” si deduce che le due rette sono parallele perché la loro intersezione genera il punto improprio P ¥ Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (2) Dato Risultato P” P’ Le estensioni delle proiezioni generano due punti (P’ = a’ Ç b’) e P” = a” Ç b”) reali. Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti. Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri. Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (3) Dato Risultato Le proiezioni a’ e b’ delle due rette orizzontali nel quarto diedro essendo parallele si intersecano nel punto P’ . Le proiezioni a” e b”, essendo coincidenti, non specificano alcun rapporto di parallelismo. Mancando la possibilità di identificare l’intersezione di a” e b” non è chiaro se le due proiezioni determinano un punto reale o un punto impropio. In questo caso ci si affida solo alle prime proiezioni per cui essendo P’ improprio si deduce che le due rette sono parallele. ¥ Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma esplicativa o deduttiva (4) Dato Risultato P” P’ Anche se le proiezioni delle due rette si presentano graficamente parallele, le estensioni delle proiezioni generano due punti reali (P’ = a’ Ç b’) e P” = a” Ç b”). Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti. Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri. Spiegazione

r’//s’  P’  r//s r”//s’’ P”  PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (1) Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato r’//s’  P’  r//s r”//s’’ P”  Dato Risultato b” T2b T1b b’ Data la collocazione del punto A(A’; A”) mentre (b’// a’) sono due proiezioni distinte, (b”//a”) sono due proiezioni oltre che parallele anche coincidenti. Si è completata la definizione della retta b -retta generica nel quarto diedro- anche con la definizione delle due tracce T1b e T2b. Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (2) Dato Risultato c’ º c” T1c ºT2c Considerando la collocazione e la tipologia del punto B (B’ º B”) e le proiezioni della retta b (b’; b”), le proiezioni della retta c//b (c’//b’; c”//b”) si caratterizzano come due rette coincidenti passanti per il punto B (B’ º B”) con le tracce coincidenti sulla lt. La retta c//b è, quindi, una retta generica incidente la lt. Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (3) Dato Risultato T1x x’ T2y y’ Y” x” T2x T1y Definite le proiezioni della retta y (y’; y”) passante per i due punti A(A’; A”) e B(B’; B”) si determinano le tracce che, analizzate, individuano y come una retta generica nel primo diedro. Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per C’ e C” due proiezioni della retta x tali che siano (x’//y’) e (x”//y”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro come esplicitano le posizioni spaziali delle relative tracce T1x e T2x. Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Esemplificazioni grafiche in forma applicativa o impositiva (4) Dato Risultato T1n T1m ºT2m n’ m’ º m” n” T2n La particolare tipologia dei punti X(X’ºX”) e Y(Y’ º Y”) determina una retta avente le proiezioni coincidenti tale che m(m’ºm”). La rappresentazione di m si completa con le due tracce T1m e T2m coincidenti sulla lt. Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per A’ e A” due proiezioni della retta n tali che siano (n’//m’) e (n”//m”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro. Spiegazione

PARALLELISMO TRA RETTE Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (1) Esercizio Risoluzione T2r T2s s” r” B” A’ s’ r’ T1s T1r T1 r ¥ r’ T2 r r”

PARALLELISMO TRA RETTE Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (2) Esercizio Risoluzione T2 r ¥ r” s’ T1s T1r r’ s” T2 s ¥ T2r r” s’ s” º T1s T2s º r’ T1r

PARALLELISMO TRA RETTE Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (3) Esercizio Risoluzione s” s’ T1s ¥ s” T1r T2r T1s T2s s’

PARALLELISMO TRA RETTE Proposte di temi grafici sulla condizione di parallelismo tra rette (4) Esercizio Risoluzione s” T2s T1s ¥ s’ T1s s’ T1r r’ r” T2r s” T2s

PARALLELISMO TRA RETTE Temi scritti da volgere in forma di elaborati grafici Dati i punti A(A'=4; A"=3), B(B'=6; B"=1), C(C'=1;C"=5) definire e rappresentare la retta x(A,B) quindi la retta (yC)//x. Dati i punti X(X'=1;X"=2), Y(Y'=-2;Y"=4), Z(Z'=-3;Z"=-5), W(W'=2;W"=-1) definire e rappresentare quattro rette a//b//c//d ciascuna contenente un punto di quelli assegnati. Dati la seguente retta a(T1a=4; T2a=1) ed il seguente punto A(A'=1;A"=4) definire e rappresentare una retta (bA)// a. Dati i punti D(D'=-3; D"=6), E(E'=6; E"=-3) definire e rappresentare la retta a(D,E), quindi, a scelta dell'allievo una qualsiasi retta b che sia b//a. Data la retta r(T1r=3; T2r=8) definire e rappresentare una retta s collocata nel secondo diedro tale che sia s//r. Data la retta a(T1a=3;T2a=7) e la retta b(T1b=-3), completare la rappresentazione della retta b facendo in modo che sia b//a. Dati la retta a(T1a=0; T2a=0) ed un punto B(B'=-4; B"=-6)a, definire e rappresentare una retta b//a contenente il punto A(A'=6; A"=4). Dati la retta r(T1r=-3;T2r=5) ed il punto A(A'=-6;A"=6), definire e rappresentare la retta (sA)//r Definire e rappresentare le seguenti rette [(a//b//c)1+2+] W I D Definire e rappresentare le seguenti rette [(d//e//f)1-//2+] W II D Definire e rappresentare le seguenti rette [(g//h//i)//1-2-] W III D Definire e rappresentare le seguenti rette [(l//m//n)1+2-] IV D

PARALLELISMO TRA RETTE Griglia di valutazione delle elaborazioni grafiche Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Test Eserc. Elementi della valutazione Valutazioni Punti Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 1 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 2 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 3 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 4 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 PUNTEGGIO TOTALE 10,00

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