Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico- descrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le stesse caratteristiche. Si indaga quindi il rapporto relativo al parallelismo tra piani Lindagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dellanalisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. Per approfondimenti consultare il sito La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.

PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI PARALLELISMO TRA PIANI Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il disegno è stato eseguito nella. s. 1997/1998 Da Deiana Maria Paola della classe 3°B dell Istituto darte Mazara di Sulmona per la materia : Disegno geometrico e architettonico Insegnante: Prof. Elio Fragassi Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Ricordando gli specifici elementi geometrico- rappresentativi, così come caratterizzati nella tabella A della presentazione introduttiva n°1, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due piani necessita definire il caratteristico rapporto descrittivo, concreto, definito, continuo e costante In questa circostanza, considerando lintersezione tra le rispettive tracce dei piani, si origina un punto improprio. Ricordando, pertanto, le impostazioni iniziali si può esprimere, come di seguito, la formalizzazione esplicativa Cominciamo lanalisi iniziando con l INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA tra le "tracce" dei piani che, dal punto di vista geometrico, si rappresentano a modo di "rette", come nel disegno a fianco di figura 04

t 1 // t 1 t 2 // t 2 // r T 1r ; r T 2r ; r Mentre la definizione verbale può essere espressa come nel modo seguente Se le omonime tracce di due piani distinti sono parallele, allora e solo allora, possiamo asserire che tali sono i piani reali Sempre con riferimento alla fig. 04, sviluppando, graficamente, il parallelismo tra le tracce dei piani si ha quanto di seguito. Le tracce dei due piani e intersecandosi generano le tracce improprie della retta r (T 1r ; T 2r )

r // Stante, quindi, questo rapporto definito, continuo e costante tra gli stessi elementi rappresentativi di e di, si può asserire che i due piani, nel reale, sono paralleli enunciando la definizione geometrico-descrittiva che ampliata con il concetto di retta impropria recita come di seguito: Se le intersezioni delle omonime tracce di due piani distinti determinano le tracce di una retta impropria allora, e solo allora, possiamo asserire che i due piani reali sono paralleli. T 1r e T 2r della retta r sono improprie Poiché le due tracce la retta r, intersezione tra e, dovendo passare per esse sarà una retta anch'essa impropria dimostrando e verificando la soluzione descrittiva che esprime il parallelismo tra due piani nel modo seguente:

Se la condizione geometrica invece di essere ricercata, deve essere imposta o applicata a due o più piani, allora è necessario operare, graficamente, in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso al punto precedente. Di conseguenza, volendo costruire due piani paralleli è necessario imporre, durante l'elaborazione grafica, che le omonime tracce dei piani siano tali; pertanto avremmo la seguente definizione. Perché due piani siano paralleli è necessario che tali siano le rispettive omonime tracce Ampliando l'operazione ed applicando il concetto di punto improprio è necessario fare sì che l'intersezione delle omonime tracce dei piani determinino tracce improprie di una retta, anch'essa, impropria

Conseguentemente si può definire la seguente sintetica formalizzazione insiemistico-descrittiva impositiva ed applicativa t 1 t 1 t 2 t 2 // r T 1r r T 2r r Da questa ne discende la definizione insiemistico-descrittiva che si esprime come di seguito. Perché due piani siano paralleli è necessario che la relativa intersezione generi una retta impropria che può essere sintetizzata dalla seguente formalizzazione // r

Piano Piano Elemento geometrico CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE PIANI Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo t 1 1 a traccia Retta Reale t 2 2 a traccia Retta Reale Nomenclatura dell'elemento rappresentativo t 1 1 a traccia Retta Reale t 2 2 a traccia Retta Reale Definizione geometrica elemento rapprsentativo Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Definizione grafica degli elementi geometrici Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra piani Formalizzazione esplicativa Formalizzazione applicativa t 1 //t 1 t 2 //t 2 // r t 1 //t 1 t 2 //t 2 r' r" r

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto esplicativo del parallelismo tra piani diversi per tipologia e variamente collocati nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti seguenti Dato Risultato Spiegazione t 1 t 1 T 1r t 2 t 2 T 2r r T 1r T 1r T 2r T 2r Se estendiamo le prime tracce dei piani e si determina la posizione impropria della prima traccia T 1r in quella direzione così come si determina la seconda traccia impropria T 2r estendendo le seconde tracce dei due piani. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie della retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.

DatoRisultato Spiegazione T 1r T 2r r r Estendendo la t 1 fino ad intersecare la t 1 si ottiene la traccia reale della retta dintersezione T 1r. Allo stesso modo, estendendo t 2 fino ad intersecare la t 2 si ottiene la traccia reale T 2r della retta dintersezione. Avendo individuato le tracce reali della retta r, possiamo graficizzare a completamento della rappresentazione della retta reale dintersezione anche le due proiezioni r e r. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una retta reale, si deduce che i due piani non sono paralleli.

DatoRisultato Spiegazione T 1r T 2r T 1r T 2r La particolare posizione dei due piani proiettanti non deve ingannarci. Infatti le tracce dei piani oltre ad essere parallele sono allineate. Pertanto estendendo le prime tracce dei piani e otteniamo due rette che, oltre ad essere parallele sono anche coincidenti determinando, su questa direzione, la posizione impropria della traccia T 1r. La medesima cosa si ottiene estendendo le seconde tracce dei piani determinando, su questa direzione, la posizione impropria della traccia T 2r. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie della retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.

DatoRisultato Spiegazione Anche in questo caso è bene non farsi ingannare dal parallelismo grafico ma è necessario controllare laspetto grafico con la formalizzazione teorica. Il piano proiettante in 2 ° proiezione nel II D interseca con la t 1 la t 1 definendo la traccia reale T 1r. Estendendo, poi, la t 2 e la t 2 del piano proiettante in prima proiezione nel II D si determina la posizione della traccia reale T 2r. Completando la rappresentazione della retta r con le proiezioni r ed r si completa la rappresentazione della retta r ottenuta come intersezione dei due piani. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una retta reale, si deduce che i due piani non sono paralleli. T 1r T 2r r r

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto applicativo del parallelismo tra piani diversi per tipologia e variamente collocati nello spazio dei diedri Dato Risultato Spiegazione Data la seguente formalizzazione applicativa risolvere i quesiti a lato // t 1 t 1 T 1r t 2 t 2 T 2r Definite le tracce del piano (t 1 ; t 2 ) rispettando la collocazione spaziale e grafica del terzo diedro, si costruiscono le due tracce del piano (t 1 ; t 2 ) in modo tale che le intersezioni di queste con le omonime del piano determinino le tracce improprie T 1r e T 2r della retta r dintersezione tra e. t 1 t 2 T 1r T 2r T 2r T 1r

DatoRisultato Spiegazione a a T 1a T 1b T 2a T 2b b b t 2 x x T 2x T 1x t 2 Si definiscono, anzitutto, gli elementi rappresentativi delle due rette a (A,B) e b (B,C) per determinare le rispettive proiezioni e tracce. Mediante le tracce di queste due rette si determina il piano (A,B,C) che si caratterizza come un piano orizzontale perpendicolare a 2 +. Conducendo, poi, per il punto X(X;X) la retta (x//a) si determinano le tracce T 1x e T 2x per le quali condurre //. Poiché la traccia T 1x è impropria e la traccia T 2x è reale, il piano passante per essa sarà un piano orizzontale perpendicolare a 2 -. Pertanto il risultato sarà costituito da due piani orizzontali //.

DatoRisultato Spiegazione Dopo aver costruito, a piacere, una retta r appartenente al piano dato, applicando i concetti di appartenenza tra punto e retta e di parallelismo tra rette, si determina la retta s contenente il punto A ma anche parallela alla retta r appartenente al piano. Completata la ricerca delle tracce della retta s(T1s; T2s) per queste ultime si conduce un piano che sarà //. Il piano contenente il punto A come il piano dato sarà un piano generico con le tracce allineate. r r T 2r T 1r s s T 2s T 1s t 2 t 1

DatoRisultato Spiegazione t 1 t 2 x x T 2x T 1x t 1 t 2 Definito il piano (t 1 ; t 2 ) passante per le rette r ed s; applicando i concetti di appartenenza tra punto e retta e di parallelismo tra rette, definiamo la retta x(x, x) in modo tale che contenga il punto X (X, X) e sia parallela alle rette assegnate r ed s. Completata la ricerca delle tracce della retta x (T 1x, T 2x ) per esse si conducono la tracce del piano //. Siccome T 1x è il punto di una traccia impropria, dovendo associare al concetto di punto improprio il concetto di parallelismo, è necessario cha la traccia t 1 sia parallela alla proiezione x che contiene la traccia T 1x.

EsercizioRisoluzione s s r r T 2r T 2s T 1r T 1s t 2 t 1 a a b b T 1a T 2a T 1b T 2b t 2 t 1 t 2 t 1 T 1x T 2x x x

Esercizio Risoluzione s s T 2s T 1s r r T 1r T 2r t 2 t 1 r r T 2r T 1r x x T 2x T 1x y y T 2y T 1y t 1 t 1

Esercizio Risoluzione r r T 2r T 1r T 1s s s T 2s t 2 t 1 T 2s T 1s T 2r T 1r s s r r t 2 t 1

Esercizio Risoluzione a a T 2a T 1a b b T 2b T 1b t 2 t 1 T 1r T 2r r r s s T 1s T 2s t 2 t 1

1.Dati X(X'=4; X"=6) ed Y(Y'=2; Y"=3) definire un piano X quindi costruire e rappresentare un piano ( Y)// 2.Dati i punti A(A'=1; A"=6), B(B'=2; B"=4), C(C'=6; C"=1) definire il piano (A,B) quindi per il punto C condurre il piano // 3.Dati la retta r(T 1r =3; T 2r =6) ed il punto B(B'=1; B"=1) costruire il piano (r,B), quindi per X(X'=- 3; X"=6) definire e rappresentare il piano //. 4.Dati il punto X(X'=2; X"=-3) e due rette (r,s) X, definire e rappresentare (r,s), quindi per il punto Y(Y'=-2; Y"=3) costruire e rappresentare il piano ( Y)//. 1.Dati il piano ( 1 + ; 2 + ) ed il punto A(A'=3; A"=3) condurre per questo punto un piano //. 2.Dati il piano ( 1 - ; 2 + ) ed il punto B(B'=1; B"=-5) condurre per questo punto un piano //. 3.Dati il piano ( 1 + ; 2 + ) ed il punto C(C'=-3; C"=3) condurre per questo punto un piano //. 4.Dati il piano ( 1 + ; 2 + //lt) ed i punti X(X'=-3; X"=6), Y(y'=6;Y"=-3) costruire e definire per essi due piani e distinti tali che ( X)// e ( Y)//. 1.Definire e rappresentare i piani (// 1 + ; 2 + ), (// 1 + ; 2 + ) in modo tale che sia //. 2.Definire e rappresentare i piani e aventi le seguenti caratteristiche ( 1 + ; 2 + )// ( 1 + ; 2 + ). 3.Definire e rappresentare due piani proiettanti in seconda proiezione, paralleli tra loro e collocati nel II D. 4.Definire e rappresentare due piani proiettanti in prima proiezione, paralleli tra loro e collocati nel IV D.

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi ) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Elementi della valutazione Valutazioni Punti PUNTEGGIO TOTALE 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 2,50 10,00 Test Eserc.

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