Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza tra il PUNTO ed il PIANO e la reciproca relazione di contenenza o inclusione. L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude e completa con alcune esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE TRA PUNTO E PIANO L’elaborato grafico della copertina è stato eseguito nell’a. s. 1989/90 da Maggio Pamela della classe 2°B dell’Istituto Statale d’Arte “ G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Disegno geometrico” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1) Indagine esplicativa e deduttiva Nel terzo caso prendiamo in considerazione il punto P ed il piano a per stabilire le leggi specifiche dell'appartenenza e/o della contenenza tra i due elementi, come sintetizzato dalla seguente espressione. PÎa  aÌ P I due elementi, singolarmente e nei vari diedri, sono rappresentati descrittivamente come di seguito (Fig.25, Fig.26). Come evidenziato nel quadro sintetico (Tabella- A- della lezione di presentazione) del paragrafo iniziale, queste due entità geometriche, così rappresentate, sono prive di elementi geometrico-rappresentativi aventi le stesse proprietà geometriche e le stesse caratteristiche fisiche, quindi non sono suscettibili di sostenere confronti e considerazioni per la ricerca di legami logici e leggi descrittive di appartenenza e/o contenenza.

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2) Indagine esplicativa e deduttiva Infatti, mentre il punto P si rappresenta, descrittivamente, mediante le proiezioni che si caratterizzano, dal punto di vista geometrico, come due punti P' e P'' che assumono l'aspetto di due punti virtuali P P’ P’’ Il punto ed i suoi elementi rappresentativi il piano a si rappresenta mediante le tracce che sono due rette reali, t1a e t2a . Esse si caratterizzano per essere costituite dalla sommatoria dell’insieme delle tracce della retta generatrice che sono punti; ma punti reali, tanto che si ha:  Il piano ed i suoi elementi rappresentativi Pertanto le due rappresentazioni ortogonali, essendo diverse sia negli elementi geometrico-rappresentativi che nelle specifiche caratteristiche fisiche, non si prestano per eventuali discussioni di ricerca di legami e leggi specifiche.

superficie punteggiata, espressa dalla seguente simbologia descrittiva Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3) Indagine esplicativa e deduttiva A questo punto è necessario ricordare che la retta r (retta punteggiata), date le sue caratteristiche geometrico-rappresentative, si presta a fare da elemento di collegamento, di congiunzione e connettivo tra gli altri due elementi geometrici: il punto P ed il piano a . Essa infatti viene rappresentata mediante quattro elementi: due tracce T1r, T2r e due proiezioni r’, r’’ che ci danno la possibilità di legare tra loro i due elementi in discussione che, altrimenti, resterebbero distinti e non confrontabili. Quindi nelle operazioni di ricerca e/o imposizione delle leggi di appartenenza e/o contenenza (Î/) tra un punto ed un piano è necessario prendere in considerazione tutti e tre gli elementi geometrici. Inoltre è bene ricordare – nuovamente- che il piano può essere riguardato sia come superficie rigata, espressa dalla seguente simbologia descrittiva: che come superficie punteggiata, espressa dalla seguente simbologia descrittiva

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4) Indagine esplicativa e deduttiva Analizziamo ora alcune possibili situazioni grafiche che possono facilmente indurre in errore (Fig.27, Fig.28, Fig.29, Fig. 30). Nei casi di queste figure possiamo affermare che P   in quanto la condizione di appartenenza è solo apparente, non potendosi stabilire alcun termine di paragone e di discussione descrittiva tra il punto P rappresentato dalle due proiezioni P’ e P’’ che sono - dal punto di vista geometrico-descrittivo- due punti virtuali, ed il piano che, al contrario, è rappresentato dalle due tracce t1 e t2 che, come tali, sono due rette reali in quanto costituite dall’insieme della sommatoria delle tracce delle rette (t =  T) e quindi di punti reali.

Analizziamo, ora, queste due situazioni grafiche. Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (5) Indagine esplicativa e deduttiva  Riscontrato quanto di sopra si possono avere le situazioni grafiche come quelle esemplificate di seguito dalla fig.31 e dalla fig. 32. Analizziamo, ora, queste due situazioni grafiche. In questo caso accade che il punto Pr in quanto si verifica P’r’ ed anche P’’r’’, ma la retta r in quanto T2rt2 ma non verifica, contemporaneamente traccia prima dato che T1rt1. Pertanto in questa situazione siamo in presenza di un legame descrittivo parziale, tra i tre elementi geometrici, per cui non si verifica totalmente il concetto espresso nella trattazione di questo argomento. Data questa incompletezza di legami possiamo affermare, quindi, che il punto non appartiene al piano, cioè, in forma insiemistica: P. L’espressione sintetica si esplicita come di seguito P  r    P  

Infatti, in questo caso possiamo affermare che Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (6) Indagine esplicativa e deduttiva Le considerazioni di cui sopra possono essere sviluppate e confermate anche per i casi reciproci illustrati, graficamente, nelle rappresentazioni ortogonali come alle figure di seguito (Fig. 33, Fig. 34). Infatti, in questo caso possiamo affermare che per quanto riguarda il punto P si ha P  a (P’a’ ; P”a”) per quanto riguarda la retta a si ha a  a (T1at1a; T2at2a) e pertanto la resta incompleta e non verificata

In questo caso avviene che: Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (7) Indagine esplicativa e deduttiva Oppure può accadere che si verifichi la situazione grafica di cui si discute in seguito con riferimento alla fig. 35 ed alla fig.36. In questo caso avviene che: per quanto riguarda la retta r a si ha r  a (T1rt1a; T2r t2a) per quanto riguarda il punto P si ha P  r (P’a’ ; P”  a”) In questo caso, quindi, il legame tra il punto P ed il piano a è incompleto tanto da poter affermare che PÏa perché accade che PÏ rÎ a In questa posizione si verifica solamente l'appartenenza tra due dei tre elementi e quindi siamo in presenza di un legame incompleto che non verifica il concetto teorico espresso all'inizio della trattazione di questo argomento.

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (8) Indagine esplicativa e deduttiva E' solo il caso di accennare che le considerazioni sopra esposte valgono anche nel caso in cui fosse P'Ï r' e P‘’Î r'', come graficizzato nelle figg. 37 e 38. In questo caso resterebbe, comunque, non dimostrato il legame di tutti e tre gli elementi geometrici espressi dalla formalizzazione sia del piano rigato che dalla formalizzazione del piano punteggiato necessari per la verifica e la costruzione grafica delle leggi di appartenenza tra un punto P ed un piano a

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (9) Indagine esplicativa e deduttiva Infine, può verificarsi che i tre elementi geometrici si articolino graficamente come nelle figure di seguito (Fig. 39, Fig. 40) In questo caso accade che PÎr ed anche che rÎa in quanto le coppie degli elementi menzionati verificano, singolarmente, le rispettive specifiche leggi di appartenenza e la retta r funge da elemento geometrico di legame tra il punto P ed il piano a, in quanto mentre sulle sue proiezioni r' ed r'' si trovano le rispettive proiezioni P' e P'' del punto, le sue tracce T1r e T2r stanno sulle tracce del piano t1a e t2a verificando completamente le due espressioni L’espressione sintetica viene formulata così: P  r    P   Allora possiamo dedurre ed enunciare la seguente legge di appartenenza tra punto e piano Se un punto appartiene ad una retta di un piano allora, e solo allora, si può asserire che il punto appartiene al piano

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (10) Indagine esplicativa e deduttiva Questo enunciato può essere sintetizzato, sia nella formalizzazione insiemistica che descrittiva, con l’uso della simbologia specifica come di seguito. P r   P’ r’ P” r” P  r T1rt1 T2rt2 r   dove T1r=r 1 T1r = r  1 dove T2r=r 2 T2r = r  2 dove La reciproca legge della contenenza o inclusione di un punto in un piano può essere espressa, con l’utilizzo della stessa nomenclatura e della stessa simbologia, mediante la formalizzazione esplicitata nella seguente diapositiva

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (11) Indagine esplicativa e deduttiva Inoltre, generalizzando,la stessa può essere espressa mediante la seguente enunciazione Se un piano contiene una retta che a sua volta contiene un punto allora, e solo allora, il piano contiene il punto Questo enunciato può sintetizzarsi, sia nella formalizzazione insiemistica che descrittiva e con l’uso della simbologia specifica come di seguito   r  P t1  T1r t2  T2r   r r’ P’ r”  P” r  P T1r=r 1 dove T2r=r 2 T1r = r  1 dove T2r = r  2 dove Tutto quanto sopra è inerente l’aspetto esplicativo e deduttivo della legge oggetto della trattazione

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1) Procedura applicativa o impositiva Se la condizione deve essere imposta, dati gli elementi geometrici, è necessario sviluppare una serie di operazioni, tali che si possa verificare, in fase esplicativa, quanto si è discusso sopra ed in particolare si verifichino le definizioni descrittive e Per questo, dato un punto, se si vuole che appartenga ad un piano è necessario che esso sia un punto del piano punteggiato espresso dalla o un piano rigato espresso dalla Se il dato iniziale è un piano e si vuole che esso contenga un punto è necessario imporre che il punto sia un punto del piano punteggiato espresso da o un piano rigato espresso dalla Poiché per un punto passano infiniti piani (stella di piani) infinite saranno le possibilità di legare gli elementi punto e piano

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2) Procedura applicativa o impositiva La formalizzazione applicativa della condizione oggetto di studio, allora, può essere espressa come di seguito. P   P  r   P’ r’ P’’  r’’ T1r  t1 T2r  t2 dove T1r=r 1 T1r = r  1 dove T2r = r  2 T2r=r 2 dove La reciproca legge impositiva della condizione di contenenza o inclusione può essere espressa dalla formalizzazione seguente.

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3) Procedura applicativa o impositiva T1r=r 1 T1r = r  1   P   r  P t1  T1r t2  T2r r’  P’ r” P” dove T2r = r  2 T2r=r  2 dove dove Queste due formalizzazioni applicative o impositive possono essere enunciate come di seguito

Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4) Procedura applicativa o impositiva Per quanto attiene la condizione di appartenenza si può esprimere la seguente definizione Un punto appartiene ad un piano se, e solo se, il punto appartiene ad una retta del piano (P  ) (P  r  ) Mentre, reciprocamente, per quanto attiene la legge della contenenza o inclusione si può esprimere la seguente definizione. Un piano contiene un punto se, e solo se, il piano contiene una retta che contiene il punto (  P) (  r  P)

CONTENENZA / INCLUSIONE Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o inclusione tra punto e piano Caratteristiche degli elementi geometrici Appartenenza tra punto e piano Nomenclatura elemento rappresentativo Elemento geometrico Didascalia elemento rappresentativo Didascalia elemento Definizione geometrica dell’elemento rappresentativo Definizione fisica dell’elemento rappresentativo Relazione insiemistica delle leggi dell’appartenenza o della inclusione Definizioni grafica e descrittiva degli elementi geometrici Punto APPARTENENZA 1a immagine o 1a proiezione P’ punto virtuale P  r   P   T1rt1 T2rt2 P’ r’ P”r” P P” 2a immagine o 2a proiezione punto virtuale T1r 1a traccia punto reale Retta T2r 2a traccia punto reale r CONTENENZA / INCLUSIONE r’ 1a immagine o 1a proiezione retta virtuale   P   r  P t1  T1r t2  T2r r’ P’ r” P” r” 2a immagine o 2a proiezione retta virtuale t1 1a traccia o traccia 1 retta reale Piano p t2 2a traccia o traccia 2 retta reale

Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri Seguono alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o contenenza nei diversi diedri tra punti e piani di diversa tipologia geometrica e collocazione grafica nello spazio (Fig.41, Fig.42, Fig.43, Fig.44).

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (1) risoluzione t2a t2a Y” r” r” T1r T2r X’ T1r T2r r’ t1a r’ t1a

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (2) risoluzione Y” r” T2r s” s’ r” T2s T2r T2s X’ X’ Y” T1s T1r s’ r’ T1s r’ T1r s”

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (3) risoluzione T2r T2r ¥ s” s’ º º r’ r” r” A” B” B’ T2s T1s T1r A’ r’ T1r T1s s” T2s s’

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza tra punto e piano (4) risoluzione T2b ¥ T2b b” t2a t2a a” b” T2a b’ a” a’ T2a a’ t1a T1b b’ T1a ¥ t1a T1b T1a ¥

Temi scritti da volgere e sviluppare sotto forma di elaborati grafici Dato il punto A(A’=3; A’’=3) definire e rappresentare un piano   A Dato il punto B(B’=-4;B’’= 4) definire e rappresentare una stella di tre piani tali che (, ,  ) B Dati i punti A(A’=1; A’’=2); B(B’=2; B’’=4) C(C’=3; C’’=5) definire e rappresentare il piano   (A,B,C) Dati i punti X(x’=1; X’’=5); Y(y’=-1; Y’’=5); Z(Z’=-3; Z’’=-4) definire e rappresentare il piano   (X,Y,Z). Dato un piano  (1+; 2+), definire e rappresentare (A,B)   Dato un piano  (1-; 2+;  lt), definire e rappresentare un segmento   Dato il piano (1-; 2+) definire e rappresentare il segmento   Dato il piano (1+; 2+), definire e rappresentare due punti (A,B)   Definire e rappresentare un punto AW ID tale che sia A   Definire e rappresentare un punto BW IVD tale che sia B   Definire e rappresentare un piano generico nel IIID contenente due punti distinti, estremi di un segmento EF appartenente al piano stesso Definire e rappresentare una stella di tre piani avente come sostegno un punto XW ID

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi