Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questa presentazione espone lindagine relativa alla legge geometrico - descrittiva riguardante la condizione di parallelismo tra retta e piano sviluppando il secondo metodo cioè : La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. Per approfondimenti consultare il sito La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità. Al termine dellanalisi si definisce un abaco di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. Procedura 2. Parallelismo tra retta e piano impostato sul parallelismo tra piani Lindagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO IMPOSTATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Il disegno è stato eseguito nella. s. 2008/2009 da Laguardia Elisa della classe 3 C del Liceo Artistico G. Misticoni di Pescara per la materia : Discipline geometriche Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci

In aggiunta alla procedura discussa e basata sul parallelismo tra la retta data ed una retta del piano, possiamo sviluppare anche analisi di verifica del concetto di parallelismo tra la retta r ed il piano sulla base delle leggi del parallelismo tra piani, come nel disegno di (Fig.23). Determinate, pertanto, le tracce T 1s e T 2s di una retta s parallela alla retta data, per queste conduciamo le tracce di un piano che, per costruzione, deve essere parallelo al piano dato, che in forma sintetica si esprime come s //. Per questo dovrà essere t 1 //t 1 ed anche t 2 //t 2. Le rette così definite e qualificate come tracce di, si presentano graficamente parallele ma non si caratterizzano come tracce di un piano in quanto non sono incidenti la lt. Per questo motivo le due rette identificate come t 1 e t 2, pur contenendo le tracce della retta s, parallela alla retta data, e costruite parallele alle tracce del piano dato, non definiscono il piano in quanto t 1 ; t 2

Si può, quindi, concludere che: s // perché le tracce di non si caratterizzano come tracce di un piano [1] Avendo stabilito, per costruzione, poi, r // s [2] operando gli scambi tra la [1] e la [2] si può sviluppare quanto di seguito r //s r //s // Se sostituendo nella [1] si ha quindi r // s // r // s pertanto sarà da cui, infine r

Oltre la verifica di cui sopra, impostata sulla ipotesi dell'appartenenza di r ad un piano parallelo al piano dato che, non si caratterizza come piano; si può impostare la dimostrazione direttamente con le condizioni di parallelismo tra piani (Fig.24). Applicando direttamente il concetto del parallelismo tra piani accade che per le tracce della retta r( T 1r ; T 2r ) si devono condurre due piani distinti e paralleli al piano dato e contenenti ciascuno una sola traccia della retta. Infatti il piano // contiene solamente la T 1r così come il piano // contiene solo la T 2r. Ne discende che i due piani e pur essendo paralleli al piano dato non contenendo la retta r rendono esplicito che i due elementi non sono tra loro paralleli e, quindi la retta r è obliqua al piano e viceversa il piano è obliquo alla retta r.

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Continuando lanalisi grafica della fig. 24 accade che se definiamo per T 1r la traccia t 1 //t 1, nel disporre, graficamente, la traccia t 2 //t 2 questa non passa per T 2r ; al contrario, se attuiamo per T 2r il parallelismo in modo tale che sia t 2 //t 2, nel definire graficamente la traccia t 1 //t 1, riscontriamo che questa non passa per T 1r e quindi non verifica la condizione di appartenenza tra retta e piano. In entrambi i casi i piani e costruiti parallelamente al piano dato, non contengono la retta data r. Resta così dimostrato che, poiché (r // ), ed anche (r // ) allora neanche la retta r sarà parallela al piano e quindi si deduce che (r ) In forma sintetica si ha: r // r

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Invece può accadere, come nel disegno di Fig. 25, che, dati gli elementi geometrico- rappresentativi dei due componenti r' ed r" per la retta r e t 1 e t 2 per il piano, costruendo per r un piano parallelo al piano dato questo verifichi, oltre le condizioni di contenenza tra ed r, anche le condizioni di parallelismo tra il piano ed il piano. // s r t 1 //t 1 t 2 //t 2 T 1r t 1 T 2r t 2 r // In questa situazione si ha la seguente formalizzazione deduttiva.

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Ragionando sullo schema di cui sopra si riscontra che i due piani e si qualificano, geometricamente, come piani paralleli generando una retta impropria s, quindi è //. Inoltre il piano, costruito parallelo al piano dato, verifica la condizione geometrica della inclusione della retta data r, quindi è r Riunificando i due concetti ed eseguendo le relative sostituzioni simboliche si ha che la retta r appartiene al piano che, a sua volta, è parallelo al piano. Da ciò ne discende, come conseguenza logica, che r//. Sinteticamente si ha la seguente formalizzazione: r // Sulla base di queste risultanze si può enunciare la seguente legge descrittiva Dati un piano ed una retta, se la retta data appartiene ad un piano parallelo a quello dato, allora, e sola allora possiamo asserire che la retta è parallela al piano Ampliando questa definizione con il concetto di retta impropria si ha la seguente enunciazione Dati una retta ed un piano, se la retta appartiene ad un piano che, intersecandosi con il piano dato, genera una retta impropria, allora si può asserire che gli elementi geometrici sono paralleli tra loro

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA Se la condizione geometrica in discussione deve essere imposta o applicata nel corso di una elaborazione grafica; allora è necessario operare, graficamente in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso al punto precedente. Pertanto perché una retta sia parallela ad un piano è necessario che appartenga ad un piano che ha le tracce parallele alle tracce del piano dato. Conseguentemente la definizione impositiva della condizione in esame può essere espressa in forma verbale come di seguito. Una retta è parallela ad un piano se appartiene ad un piano parallelo a quello dato Questa definizione verbale può essere espressa in forma sintetica nel modo seguente r // Questa enunciazione teorica può essere riassunta e sintetizzata con la seguente formalizzazione applicativa in forma insiemistico - descrittiva

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA t 1 //t 1 T 1s t 2 //t 2 T 2s r// dove T 1r t 1 T 2r t 2 s La definizione può essere ampliata includendo anche il concetto di retta impropria; allora si ha la seguente enunciazione Una retta è parallela ad un piano se per essa è possibile condurre un piano che intersecandosi con quello dato genera una retta impropria. In forma sintetica si ha r // r r

Piano Elemento geometrico CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura dell'elemento rappresentativo t 1 1 a traccia Retta Reale t 2 2 a traccia Retta Reale Definizione geometrica elemento rapprsentativo Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Definizione grafica e descrittiva degli elementi geometrici Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra elementi geometrici diversi Formalizzazione esplicativa Formalizzazione applicativa Reale T 1r T 2r 1 a traccia 2 a traccia Punto r r 1 a immagine o 1 a proiezione 2 a immagine o 2 a proiezione Retta Virtuale Retta r r// r // r r P r P t 1 //t 1 t 2 //t 2 // T 1r t 1 T 2r t 2 r r //

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto esplicativo del parallelismo tra elementi geometrici diversi variamente collocati nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti seguenti Dato Risultato Spiegazione t 1 b //t 1 t 2 b 2 b // a T 1r Î t 1 b T 2r Î t 2 b r r// t 1 //t 1 t 2 //t 2 // T 1r t 1 T 2r t 2 r T 2r T 1r r r t 2 t 1 Definita la retta r//a con r//a ed r// a si individua il piano // Se il piano contiene la retta r allora significa che anche la retta a //. Se invece, come nellesempio, il piano costruito parallelo al piano non contiene la retta r significa che i due elementi sono in rapporto di obliquità accade cioè che r

DatoRisultato Spiegazione Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel II diedro ed il piano proiettante in 1° nel I diedro. Definita la retta r//a con r//a, r// a, T 2r e T 1r si individua il piano // Si ottiene che t 2 // t 2 e contiene T 2r ; invece t 1 //t 1 non contiene T 1r. Essendo T 1r una traccia impropria, significa che t 1 deve disporsi parallelamente alla proiezione r contenente T 1r. Da queste risultanze si deduce che a//r //. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità, cioè che r T 2r r r t 2 t 1 T 1r

DatoRisultato Spiegazione Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel I diedro ed il piano generico nel I diedro con le tracce allineate. Definita la retta r//a con r//a, r// a, T 2r e T 1r si individua il piano // Si ottiene che t 2 // t 2 e contiene T 2r ; invece t 1 //t 1 non contiene T 1r. Essendo T 1r una traccia impropria, significa che t 1 deve disporsi parallelamente alla proiezione r contenente T 1r. Da queste risultanze si deduce che a//r //. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità, cioè che r T 2r r r t 2 t 1 T 1r

DatoRisultato Spiegazione Sia da verificare lesistenza del parallelismo tra la retta generica a collocata nel IV diedro ed il piano generico collocato nel II diedro. Definita la retta r//a con r//a, r// a, T 2r e T 1r si individua il piano // Si ottiene che t 2 // t 2 contiene T 2r ; come anche t 1 //t 1 contiene T 1r. In questo caso accade che il il piano // contiene la retta r//a. Da queste risultanze si deduce che a//r //. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati anche se collocati in due diversi diedri sono in rapporto di parallelismo. Quindi si deduce che a// T 2r r r t 2 t 1 T 1r

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative allaspetto applicativo del parallelismo tra elementi geometrici diversi variamente collocati nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione applicativa risolvere i quesiti seguenti Dato Risultato Spiegazione Definita una retta a, applicando le leggi dellappartenenza e del parallelismo si costruisce la retta r//a contenente il punto assegnato A. Quindi sarà r//a ed anche A r. Si individuano così le due proiezioni r ed r parallele rispettivamente ad a ed a, A r e A r. La retta r sarà parallela al piano ed apparterrà al piano //. (La definizione di non è richiesta) r // t 1 // t 1 t 2 //t 2 T 1r t 1 T 2r t 2 T 2r r r t 2 t 1 T 1r T 2a a a T 1a

DatoRisultato Spiegazione Si definisce, anzitutto, una retta a. Applicando le leggi del parallelismo e dellappartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto A, quindi sarà r//a ed anche A r. Si individuano così le due proiezioni r ed r parallele rispettivamente ad a ed a ed anche A r e A r. La retta r, così identificata conterrà il punto A e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a. Inoltre per le tracce di r possiamo condurre un piano // (Questo passo, non richiesto, può essere omesso) T 2r r r t 2 t 1 T 1r T 2a a a T 1a

DatoRisultato Spiegazione Come per lesercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a. Applicando le leggi del parallelismo e dellappartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi sarà r//a ed anche X r. Si individuano così le due proiezioni r // a, r//a ed anche, per lappartenenza, X r e X r. La retta r, così identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a. Inoltre per le tracce di r (T 1r,T 2r ) possiamo condurre un piano //, piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà. r r t 2 t 1 T 1r T 2a a a T 1a La T 2r appartenente a t 2 esce fuori dal rettangolo grafico

DatoRisultato Spiegazione Come per lesercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a. Applicando le leggi del parallelismo e dellappartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi sarà r//a ed anche X r. Si individuano così le due proiezioni r // a, r//a ed anche, per lappartenenza, X r e X r. La retta r, così identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a. Inoltre per le tracce di r (T 1r,T 2r ) possiamo condurre un piano //, piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà. T 2a a a T 1a r r T 2r t 2 t 1 La T 1r appartenente a t 1 esce fuori dal rettangolo grafico

RisoluzioneEsercizio t 2 t 1 No perché: a // r//a r T 2r T 1r No perché: r a

RisoluzioneEsercizio t 2 t 1 No perché: s

RisoluzioneEsercizio a a T 2a t 2 t 1 T 1a a a T 2a T 1a r r T 2r T 1r

RisoluzioneEsercizio s s T 2s T 1s t 2 t 1 s s T 2s T 1s r r T 2r T 1r

1.Dati la retta r(T 1r =3; T 2r =6) ed il punto A(A=1; A=3) definire e rappresentare un piano tale che sia ( A)//r. 2.Dati la retta s(T 1s =-4; T 2s =8) ed il punto B(B=3; B=5) definire e rappresentare un piano tale che sia ( B)//s 3.Dati ed il punto C(C=-1; C=-7) definire e rappresentare un piano tale che sia ( C)//r (A,B). A(A=3; A=7) B (B=5; B=1) r 4.Dati ed il punto W(W=3; W=3) definire e rappresentare un piano tale che sia ( W)//s (X,Y). X(X=-3; X=7) Y (Y=7; Y=-3) s 1.Dati la retta a( 1 + ; 2 + ) ed un punto L a, definire e rappresentare un piano ( b)//a| ( 1 - ; 2 + ). 2.Dati la retta b( 1 - ; 2 + ) ed un punto M b definire e rappresentare un piano ( M)//b| ( 1 + ; 2 + ; //lt).

3.Dati il piano ( 1 - ; 2 + ; //lt) ed un punto A definire e rappresentare la retta (r A)//. 4.Dati il piano ( 1 + ; 2 + ) ed un punto B definire e rappresentare la retta (s B)//. 1.Dati i seguenti punti A(A'=3; A''=5), B(B'=6;B''=1), C(C'=4; C''=4), D(D'=1; D''=6), definire e costruire il piano (A,B,C), quindi condurre per D una retta s tale che sia s// 2.Dati i punti seguenti E(E'=1; E''=6), F(F'=1; F''=1), G(G'=3; G''=3); H(H'=6; H''=2), verificare se la retta a (E,F) è parallela alla retta b (G,H). 3.Dati i punti A(A'=-3; A''=6), B(B'=-5; B''=1), C(C'=-7; C''=3) definire e rappresentare il piano (A,B,C) quindi per un punto X(X'=6; X''=-2) costruire e rappresentare la retta (s X)//b (A,B) // | s. 4.Dati i punti D(D'=7; D''=3), E(E'=5; E''=1), F(F'=3; F''=6) definire e rappresentare il piano (D,E,F) quindi per un punto Y(Y'=2; Y''=-6) costruire e rappresentare la retta (r Y)//a (E,F) // | r.

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi ) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Elementi della valutazione Valutazioni Punti PUNTEGGIO TOTALE 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 2,50 10,00 Test Eserc.

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