La Negazione La negazione sembra una funzione di verità molto semplice: se “p” è vera “ p” è falsa; se invece “ p” è vera “p” è falsa La notazione di Wittgenstein è  p sembra perfettamente F V sensata perché inverte V F i poli della proposizione  ( p) infatti anche questa sembra V F V andare bene perché due ne F V F gazioni affermano Inoltre c’è un’altra caratteristica molto importante della negazione: Essa può riprodurre TUTTE le funzioni di verità Infatti data la solita tavola di verità VV possiamo introdurre F VF una funzione segno  F FV che è vera solo se le F FF due prop.sono false V

La negazione congiunta  Se applichiamo questa funzione a se stessa otteniamo prima la disgiunzione pq pq poi con qualche accorgi F V F mento otteniamo anche F V F l’implicazione F V F V V V ((p p)  q)) (( p p ) q)) F F V V F F V F V F F F VF V F V V V FV V F F V V F V Potrei farvi vedere che con questa funzione si possono fare TUTTE le funzioni di verità. In qualche maniera dunque la negazione è L’essenza della logica Proprio per questo, la negazione non c’è nella realtà. Come rappresentiamo una negazione con un disegno? Pensate a quei disegni che vogliono dire non fumare

La negazione:la non realtà Immaginate come si può rappresentare non fumare con un disegno.Il disegno deva avere sempre un contrassegno artificiale Che non ci può essere nella realtà Riprendiamo ora il discorso che due negazione affermano  ( p) = p oppure anche che  ( ( p)) =  p Queste regole valgono nel presente, non nel tempo. La logica è in qualche maniera eterna Vi faccio un esempio: attendete il tram, un uomo affacciato al suo negozio dice “non passa” un altro negoziante dice no, passa. O anche può dire: non è vero che non passa  ( p) = p Questo nel presente è sempre vero  ( p) = p oppure p =  ( p) Ammettete invece che i due negozianti si esprimano con i tempi futuri. Uno dice “non passerà” l’altro “non e vero che non passerà”

La logica intuizionista  ( p) = p Anche qui vale questa uguaglianza? Non sempre perché le due affermazioni dei negozianti potrebbero essere coincidenti: Non passerà alla 5 ; ma non è vero che non passerà alla 5 non significa che passerà alle 7 o alle 8 etc. La cosa si chiarifica meglio pensando ai problemi matematici Abbiamo un problema matematico: Non l’abbiamo risolto. Un matenatico coraggioso dice non è vero che è irresolvibile. Ma quest’affermazione non dà affatto La soluzione del problema. Cioè  ( p)  p mentre invece p = ( p) Cioè se ho trovato la soluzione del problema posso dire che non è vero che è irresolvibile (bella forza, uno potrebbe dire) Il logico olandese Brouwer su questo punto nega che la matematica possa fondarsi sul terzo escluso (cioè o p o  p) o p v  p che in logica è una tautologia. Brouwer in realtà criticava Hilbert

Brouwer e Hilbert Hilbert infatti aveva pensato di estendere alcune dimostrazioni di teoremi finitari nell’ambito infinitario. E’ anche l’errore di Hegel per il quale negando il finito si ottiene l’infinito. Per Brouwer invece non si ottiene nulla. La prova deve essere costruttiva, non allusiva. Si deve dimostrare p non  ( p). La logica intuizionista (costruttiva) è un raffinamento più alto e preciso della logica “eterna” quella che usiamo più spesso Kolmogorov infatti aveva dimostrato teoremi che valevano nell’ambito infinitario sostituendo sempre, al posto, di p  ( p) . Heyting perfezionò la cosa, che appariva a Brouwer paradossale. Il calcolo dei sequenti di Gentzen utilizza un altro accorgimento per discutere i problemi logici della logica intuizionista. La lohgica intuizionista non è tuttavia una logica trivalente anche se con la logica trivalente possiede il riferimento al futuro.

La logica trivalente La logica trivalente è una creazione di Lukasievicz (polacco come Tarski) studioso interessantissimo di Aristotele ma non è aceettata da come invece quella intuizionista. Eppure la usiamo tutti i giorni assieme ad un’altra logica quella modale. Ad esempio posso dire si, no, non so. Questo è fin troppo banale. Ma c’è un ambito in cui la logica trivalente ci può sorprendere. Aristotele diceva:” O Senofonte è in Atene oppure non è in Atene” Potrà essere a Sparta in Egitto etc. I casi sono due e due soltanto. Siamo nella nostra buona logica bi-polare o si o no Vero Falso etc. Tuttavia potrà anche essere che Senofonte non sia (né in Atene né fuori Atene). Cioè sia morto (e in questo caso non possiamo dire che il corpo di Senofonte sia Senofonte) Questa macabro esempio diventa più divertente se facciamo un altro esempio che ci dà più allegria, ma anche cio fa capire come la logica trivalente non è necessaria come quella bivalente. L’esempio è tratto dal passato (possiamo pensare al futuro solo al passato)

La deterrenza Sapete che negli anni passati esistevano l’U.R.S.S. e gli U.S.A. Le due potenze atomiche erano in “guerra” una guerra non guereggiata ma, si diceva, una guerra fredda. La guerra era “fredda” perché si reggeva su un equilibrio di terrore la deterrenza. Il ragionamento dei due deterrenti era pressappoco questo: Gli U.S.A. hanno tutte le intenzioni a conservare la pace, ma l’U.R.S.S. non ha questa intenzione dunque an Anche noi USA - per difenderci! - ci armiamo. Lo stesso ragionamento veniva fatto dall’URSS. Vediamo di costruire uno schema per articolare la deterrenza. A significa Arma P significa pace Gli USA dicono io amo la Pace ma l’Urss si arma quindi anche noi ci armiamo. L’Urss dice anch’io amo la pace ma gli Usa si armano dunque anch’io mi armo

La deterrenza A URSS P Lo schema riproduce tutti i possibili rappo A A A rti 3 esiti negativi Usa uno positivo P A P

Un calcolo … futuro A S P Le tre lettere significano A A S A Armi,Pace,Scon S S S S sciuto. Come vedete ci P A S P sono un caso di pace ma 5 casi sconosciuti .Nel caso più sfavorevole 3 + 1.

Il futuro …provvidenziale Ebbene possiamo dare un nome all’evento sconosciuto: la caduta del muro di Berlino. L’URSS non è più nemica. La deterrenza finisce.La pace (tra queste due nazioni) prevale sugli armamenti . Il futuro è sempre imprevedibile. Certo, ma lo è tanto più quanto più lo riduciamo sempre a due valori

Perche non usare la logica trivalente? Perché il calcolo non è sempre possibile in questa maniera. Pensate cosa può succedere per un’implicazione materiale con un sistema a tre valori: non sappiamo come battezzarli. Come del resto avevamo dei dubbi anche sul calcolo della deterrenza.Se ricordate eravamo indecisi tra 6 casi favorevoli su 3 o 4 su 5. Ma in ogni caso le probabilità favorevoli sono maggiori rispetto a quello di 1 su 4 della deterrenza bi-polare,