Distribuzioni di probabilità di uso frequente Prof.ssa Fabbri Francesca Classe 5C 1415

Variabili casuali Definizione: Una Variabile Casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario (insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento) che associa ad ogni evento un numero reale. Se i possibili valori assunti da X sono in numero finito o in una infinità numerabile (come N), X si dice V. C. DISCRETA mentre si dice V. C. CONTINUA se assume valori in un intervallo di R.

Distribuzioni di Probabilità Definizione: A ciascun valore assunto dalla V. C. X si fa corrispondere la probabilità dell’evento a cui il valore è associato. L’insieme di tali probabilità costituisce la DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ della V. C. X

Funzioni di ripartizione Definizione: E’ una funzione F definita nell’insieme dei numeri reali che assume valori compresi tra 0 e 1; assegnato un valore reale a, la funzione di ripartizione si definisce come la probabilità che la V.C. assuma un valore non maggiore (minore o =) di a:

Esempio Urna con 10 palline: 6 Verdi e 4 Bianche. Si estraggono senza reimmissione 3 palline. Sia X=“n. palline verdi uscite” X 1 2 3 P(X) 1/30 3/10 1/2 1/6 F(x) 10/30 5/6

Distribuzione uniforme discreta Definizione: Si dice che una V. C. discreta ha DISTRIBUZIONE UNIFORME se tutti i suoi valori hanno la stessa probabilità. Se i valori di X sono 1, 2, 3, …, n e tutti hanno probabilità , si può dimostrare che il valor medio di X è: M(X)=(n+1)/2 e la varianza è Var(X)=(n2-1)/12

Es. Distribuzione Uniforme Si lancia un dado regolare. Sia X=“valore della faccia uscita sul dado” X 1 2 3 4 5 6 P(X) 1/6 F(x) 2/6 3/6 4/6 5/6

Distribuzione binomiale discreta Definizione: Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) se X descrive il numero di volte che si può verificare un evento aleatorio di probabilità p su n prove. Se i valori di X sono 0, 1, 2, 3, …, n e vogliamo determinare P(X=k) cioè la probabilità di avere esattamente k successi su n prove, vale: Si può dimostrare che il valor medio di X è: M(X)=np e la varianza è Var(X)=np(1-p)

Es. Distribuzione Binomiale Urna con 32 palline; 8 Nere e 24 Bianche. Si estraggono consecutivamente 5 palline con reimmissione. Sia X =“uscita pallina nera”. X 1 2 3 4 5 P(X) 0,237 0,395 0,264 0,088 0,015 0,001 F(x) 0,632 0,896 0,984 0,999

Distribuzione di Poisson Premessa: Quando si cerca il valore relativo alla probabilità ad un evento raro (con piccola probabilità) rispetto ad un numero molto elevato di prove (tutte effettuate nelle stesse condizioni), lo schema delle prove ripetute di Bernoulli risulta di difficile applicazione (per i calcoli coinvolti). In tale situazione torna utile una distribuzione come quella di Poisson che è un modello teorico per risolvere situazioni di questo tipo e che risulta una buona approssimazione di Bernoulli, specie se il numero n è grande. Definizione: Si dice che una V. C. discreta X ha DISTRIBUZIONE di POISSON se X descrive il numero di volte in cui si verifica un determinato fenomeno in un intervallo temporale o spaziale. I valori di X sono 0, 1, 2, 3, …, n e vale: dove λ corrisponde al Valor Medio ed anche alla Varianza della distribuzione, cioè λ=np, quando n è grande e p è piccolo. All’aumento del valore λ, la distribuzione della probabilità tende a diventare simmetrica attorno al valor medio.

Es.1 Distribuzione di Poisson Macchina produce pezzi difettosi con p=0,006. Su 500 pezzi, calcolare: Nessun pezzo sia difettoso; Risultino difettosi 3 pezzi Risultino difettosi più di 5 pezzi Vale λ=np=500*0,006=3 Per l’ultima domanda serve sommare e sottrarre la somma a 1. Si trova (circa) 0,084

Es.2 Distribuzione di Poisson A uno sportello bancario arrivano in media 30 persone all’ora. Calcolare la probabilità che in 5 minuti arrivino: 4 persone; Meno di 3 persone. Vale 30:60=λ:5, cioè λ=2,5: Per la seconda domanda serve sommare Si trova (circa) 0,5438

Link su collezioni.scuola.zanichelli.it