Le quattro operazioni

L'addizione Consideriamo due numeri naturali, per esempio 4 e 7. Contando successivamente, dopo le unità del primo, le unità del secondo si esegue l’operazione aritmetica detta addizione, il cui simbolo è “+”; 4 + 7 = 11 Possiamo quindi dire che: L’addizione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare a due numeri, detti addendi, un terzo numero, detto somma, a cui si perviene contando successivamente al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del secondo. Le parole della matematica: 4 + 7 = 11 addendi somma L’addizione è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali N, ovvero l’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione.

L'addizione e le sue proprietà Proprietà commutativa 21 + 7 + 10 = 38 7 + 21 + 10 = 38 Proprietà associativa 22 + 8 + 5 = 35 30 + 5 = 35 Proprietà dissociativa + 32 = 59 20 + 7 + 30 + 2 = 59 Possiamo riassumere dicendo che: Per la proprietà commutativa la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Per la proprietà associativa la somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Per la proprietà dissociativa la somma di due o più addendi non cambia se a uno o più di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all’addendo sostituito.

La sottrazione Consideriamo due numeri naturali, per esempio 10 e 6; se alle unità del primo numero togliamo le unità del secondo, eseguiamo l’operazione aritmetica detta sottrazione, il cui simbolo è “-”; 10 - 6 = 4 Possiamo dire che: La sottrazione è l’operazione che ci permette di associare a due numeri, detti rispettivamente minuendo e sottraendo, un terzo numero, se esiste, detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo ci dia come risultato il minuendo. 6 - 4 = 2 minuendo – sottraendo = differenza Le parole della matematica:

La sottrazione 21 30 +9 -9 Consideriamo un numero naturale, per esempio 21, e addizioniamo a esso un altro numero, per esempio 9; 21 + 9 = 30 Al risultato sottraiamo ancora 9: 30 – 9 = 21 abbiamo ottenuto il numero di partenza 21. La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. La sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali ovvero l’insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione.

La sottrazione Consideriamo le seguenti sottrazioni 6 - 10 = ? 7 - 21 = ? Come puoi vedere, se il minuendo è minore del sottraendo non esiste un numero naturale che ci dia tale differenza. La sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali ovvero l’insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione.

Proprietà invariantiva della sottrazione La differenza fra due numeri non cambia se a entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero. Proviamo con i numeri: 342 – 124 = 218 342 – 124 = (342 + 6) - (124 + 6) = 348 – 130 = 218 342 – 124 = (342 – 4) – (124 – 4) = 338 – 120 = 218

La moltiplicazione Possiamo quindi dire che: Consideriamo due numeri naturali, per esempio 3 e 4; sommando tanti addendi tutti uguali al primo numero tante volte quante sono le unità del secondo numero otteniamo l’operazione aritmetica detta moltiplicazione, il cui simbolo è “x” o “•”; 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Possiamo quindi dire che: La moltiplicazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare a due numeri, detti fattori, un terzo numero, detto prodotto, a cui si perviene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità del secondo. 3 x 4 = 12 fattori prodotto Le parole della matematica:

La moltiplicazione 3 x 4 = 12 Ricordiamo la procedura di calcolo Rappresentiamo sulla retta orientata la moltiplicazione: 3 x 4 = 12 3 6 9 12 u +3 La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali, ovvero l’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Ricordiamo la procedura di calcolo 523 x 46 = 2 3 x 4 6 = 3 1 3 8 2 0 9 2 2 4 0 5 8 43,25 x 2,3 = 4 3, 2 5 x 2, 3 = 1 2 9 7 5 8 6 5 0 9 9 , 4 7 5

La moltiplicazione e le sue proprietà Proprietà commutativa 21 x 4 = 84 4 x 21 = 84 Proprietà associativa 3 x 4 x 2 = 24 1 2 x 2 = 24 Proprietà dissociativa 2 5 x 10 = 250 5 X 5 x 10 = 250 Proprietà distributiva 3 x (7 + 4) = 3 x 11 = 33 (3 x 7) + (3 x 4) = 21 + 12 = 33

La moltiplicazione e le sue proprietà Possiamo riassumere dicendo che: Per la proprietà commutativa il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori. Per la proprietà associativa il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto. Per la proprietà dissociativa il prodotto di due o più fattori non cambia se a uno o più di essi se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito. Per la proprietà distributiva per moltiplicare un numero per una somma (o una differenza) si può moltiplicare il numero per ciascun termine della somma (o della differenza) e successivamente addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.

La divisione La divisione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare a due numeri, detti rispettivamente dividendo e divisore (di cui il divisore è diverso da zero), un terzo numero, se esiste, detto quoziente, che, moltiplicato per il divisore, ci dia come risultato il dividendo. 28 : 7 = 4 dividendo divisore quoziente Le parole della matematica: Consideriamo alcune divisioni: : 4 = 5 110 : 11 = 10 29 : 5 = ? 75 : 5 = 15 108 : 9 = 12 31 : 4 = ? Come puoi notare non sempre esiste un numero naturale che sia il quoziente fra due numeri naturali qualsiasi. Diciamo che: La divisione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali, ovvero l’insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla divisione.

La divisione e le sue proprietà Proprietà invariantiva 3 6 4 : 1 4 = 2 6 (3 6 4 : 2) : (1 4 : 2) = 1 8 2 : 7 = 2 6 (3 6 4 x 2) : (1 4 x 2) = 7 2 8 : 2 8 = 2 6 Proprietà distributiva (2 5 + 1 0) : 5 = 3 5 : 5 = 7 (2 5 : 5) + (1 0 : 5) = 5 + 2 = 7 (2 4 – 1 8) : 3 = 6 : 3 = 2 (2 4 : 3) – (1 8 : 3) = 8 – 6 = 2 Possiamo riassumere dicendo che: Per la proprietà invariantiva il quoziente fra due numeri non cambia se entrambi si dividono o si moltiplicano per uno stesso numero, diverso da zero. Per la proprietà distributiva per dividere una somma (o una differenza) per un numero si può dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero e successivamente addizionare (o sottrarre) i quozienti ottenuti.

La divisione e le sue proprietà Consideriamo un numero naturale, per esempio 21, e moltiplichiamolo per un altro numero, per esempio 7: 2 1 x 7 = 1 4 7 Dividiamo il risultato ottenuto ancora per 7: 1 4 7 : 7 = 2 1 2 1 1 4 7 x 7 : 7 La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.

Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000, ... Ricordiamo le regole per eseguire rapidamente una moltiplicazione o una divisione per 10, 100, 1000, …. Per la divisione: Se il dividendo è un numero naturale, si separano con la virgola a partire da destra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del 10, 100, 1000, … per cui si divide e, se mancano cifre, si aggiungono zeri. Se il dividendo è decimale, si sposta la virgola verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri del 10, 100, 1000, … per cui si divide e, se mancano cifre, si aggiungono zeri. Per la moltiplicazione: Se il numero è naturale, si aggiungono alla sua destra tanti zeri quanti sono quelli del 10, 100, 1000, … per cui si moltiplica. Se il numero è decimale, si sposta la virgola verso destra di tanti posti quanti sono gli zeri del 10, 100, 1000, … per cui si moltiplica e, se mancano cifre, si aggiungono zeri. 3 5 x 1 0 0 = 3 5 0 0 5 , 7 x 1 0 0 = 5 7 0 7 5 : 1 0 0 = 0 , 7 5 9 1 , 7 : 1 0 = 9 , 1 7

Lo 0 e l'1 nelle quattro operazioni L’addizione e lo 0 0 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 7 + 0 = 0 + 7 = 7 13 + 0 = 0 + 13 = 13 Osserviamo che la somma di due addendi, di cui uno è 0, è uguale all’altro addendo; un qualsiasi numero naturale addizionato a 0 rimane invariato. Diciamo che lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione. La sottrazione e lo 0 0 – 0 = 0 4 – 0 = 4 0 – 4 = ? 13 – 0 = 13 0 – 13 = ? Osserviamo che se sottraiamo lo zero a un numero qualsiasi il numero resta invariato ma non vale il viceversa. Diciamo che lo 0 non è elemento neutro per la sottrazione.

Lo 0 e l'1 nelle quattro operazioni La moltiplicazione e lo 0 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 x 1 = 0 7 x 0 = 0 x 7 = 0 25 x 0 = 0 x 25 = 0 Osserviamo che il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è 0, è sempre uguale a 0. Si dice che lo zero assorbe il risultato della moltiplicazione. Diciamo che lo 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione. La divisione e lo 0 Un po’ più complesso è il comportamento dello zero nella divisione; esaminiamolo attraverso degli esempi: 0 : 0 = 0, 1, 2, 3, ….; qualsiasi numero (indeterminata) 0 : 1 = 0 diciamo che 0 : numero qualsiasi = 0 1 : 0 = ? diciamo che un numero qualsiasi : 0 è impossibile

Lo 0 e l'1 nelle quattro operazioni L’addizione, la sottrazione e l’1 In queste due operazioni l’1 non assume comportamenti particolari. La moltiplicazione e l’1 1 x 1 = 1 2 x 1 = 1 x 2 = 2 7 x 1 = 1 x 7 = 7 Osserviamo che il prodotto di due fattori, di cui uno è l’unità, è sempre uguale all’altro fattore. Cioè un qualsiasi numero moltiplicato per 1 rimane invariato. Diciamo che l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.

Lo 0 e l'1 nelle quattro operazioni La divisione e l’1 0 : 1 = 0 1 : 1 = 1 25 : 1 = 25 Se il numero 1 è divisore, si comporta come elemento neutro, lascia cioè invariato il dividendo. 1 : 2 = ? 1 : 5 = 1 1 : 29 = 1 Se il numero 1 è dividendo, la divisione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali. Quindi il numero 1 non è elemento neutro per la divisione.

Lo 0 e l'1 nelle quattro operazioni La divisione e l’1 La divisione fra due numeri uguali dà come quoziente 1. 1 : 1 = 1 2 : 2 = 1 29 : 29 = 1

Fine